【330256】2018-2019学年湖南省张家界市慈利县八年级下期末数学试卷

2018-2019学年湖南省张家界市慈利县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（3分）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）

A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断

3．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22

4．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD

5．（3分）一次函数y＝kx+k的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

6．（3分）已知点（﹣2，y₁），（1，0），（3，y₂）都在一次函数y＝kx﹣2的图象上，则y₁，y₂，0的大小关系是（　　）

A．0＜y₁＜y₂ B．y₁＜0＜y₂ C．y₁＜y₂＜0 D．y₂＜0＜y₁

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形，AB＝AO＝5，BO＝6，则点A的坐标为（　　）

A．（3，4） B．（4，3） C．（3，5） D．（5，3）

8．（3分）下列命题正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

二、填空题（每小题3分，共6道小题，合计18分）

9．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　 　．

10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC＝4：3，则S_△ABD：S_△ACD＝　 　．

11．（3分）已知点P（a+3，7+a）位于二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为　 　．

12．（3分）平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣4）到x轴的距离为　 　．

13．（3分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积是　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃…都在x轴上，点B₁，B₂，B₃…都在直线y＝x上，△OA₁B₁，△B₁A₁A₂，△B₂B₁A₂，△B₂A₂A₃，△B₃B₂A₃…都是等腰直角三角形，且OA₁＝1，则点B₂₀₁₉的坐标是　 　．

三、解答题：（共9道大题，共58分）

15．（6分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3．

①求∠C的度数；

②求CE的长．

16．（6分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁；

（2）平移△ABC，使点A移动到点A₂（0，2），画出平移后的△A₂B₂C₂并写出点B₂、C₂的坐标；

（3）△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂成中心对称，写出其对称中心的坐标．

17．（6分）某校为了了解学生孝敬父母的情况（选项：A．为父母洗一次脚；B．帮父母做一次家务；C．给父母买一件礼物；D．其它），在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如图表（部分信息未给出）：学生孝敬父母情况统计表：

选项	频数	频率
A	m	0.15
B	60	p
C	n	0.4
D	48	0.2

根据以上信息解答下列问题：

（1）这次被调查的学生有多少人？

（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．

（3）该校有1600名学生，估计该校全体学生中选择B选项的有多少人？

18．（6分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF．

（1）求证：DE＝CF；

（2）求EF的长．

19．（6分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

20．（6分）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．

（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量．

21．（6分）已知两直线L₁：y＝k₁x+b₁，L₂：y＝k₂x+b₂，若L₁⊥L₂，则有k₁•k₂＝﹣1．

（1）应用：已知y＝2x+1与y＝kx﹣1垂直，求k；

（2）直线经过A（2，3），且与y＝ x+3垂直，求解析式．

22．（8分）如图，已知过点B（1，0）的直线l₁与直线l₂：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．且l₁与y轴相交于C点，l₂与x轴相交于A点．

（1）求直线l₁的解析式；

（2）求四边形PAOC的面积；

（3）若点Q是x轴上一动点，连接PQ、CQ，当△QPC周长最小时，求点Q坐标．

23．（8分）如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．

（1）求证：△BDE≌△BAC；

（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．

（3）直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

2018-2019学年湖南省张家界市慈利县八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选：C．

【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　）

A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断

【分析】连接OP，易知OP就是斜边AB上的中线，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么OP＝ AB，由于AB不变，那么OP也就不变．

【解答】解：不变．连接OP，

在Rt△AOB中，OP是斜边AB上的中线，

那么OP＝ AB，

由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，OP都是一个定值．

故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道木棍AB的长度不变，也就是斜边不变．

3．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．22

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，AC＝12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，

∴OA＝ AC＝6，BD＝2OB，

∵AB⊥AC，AB＝8，

∴OB＝ ＝10，

∴BD＝2OB＝20．

故选：C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．

4．（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD

【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可．

【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC≠BC，

∴平行四边形ABCD不是，故本选项错误；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD

∴四边形ABCD是矩形，不是菱形．

故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

5．（3分）一次函数y＝kx+k的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．

【解答】解：当k＞0时，函数图象经过一、二、三象限；

当k＜0时，函数图象经过二、三、四象限，故B正确．

故选：B．

【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函数图象经过二、三、四象限是解答此题的关键．

6．（3分）已知点（﹣2，y₁），（1，0），（3，y₂）都在一次函数y＝kx﹣2的图象上，则y₁，y₂，0的大小关系是（　　）

A．0＜y₁＜y₂ B．y₁＜0＜y₂ C．y₁＜y₂＜0 D．y₂＜0＜y₁

【分析】先根据点（1，0）在一次函数y＝kx﹣2的图象上，求出k＝2＞0，再利用一次函数的性质判断出函数的增减性，然后根据三点横坐标的大小得出结论．

【解答】解：∵点（1，0）在一次函数y＝kx﹣2的图象上，

∴k﹣2＝0，

∴k＝2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∵﹣2＜1＜3，

∴y₁＜0＜y₂．

故选：B．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．也考查了一次函数的性质．

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等腰三角形，AB＝AO＝5，BO＝6，则点A的坐标为（　　）

A．（3，4） B．（4，3） C．（3，5） D．（5，3）

【分析】先过点A作AC⊥OB，根据△AOB是等腰三角形，求出OA＝AB，OC＝BC，再根据点B的坐标，求出OC的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标．

【解答】解：过点A作AC⊥OB，

∵△AOB是等腰三角形，

∴OA＝AB，OC＝BC，

∵AB＝AO＝5，BO＝6，

∴OC＝3，

∴AC＝ ，

∴点A的坐标是（3，4）．

故选：A．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A的坐标．

8．（3分）下列命题正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形

B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

C．对角线相等的四边形是矩形

D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．

【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；

B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；

C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．

二、填空题（每小题3分，共6道小题，合计18分）

9．（3分）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　八　．

【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．

【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，

（n﹣2）•180°＝3×360°，

解得n＝8，

∴这个多边形为八边形．

故答案为：八．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．

10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，若AB：AC＝4：3，则S_△ABD：S_△ACD＝　4：3　．

【分析】根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h₁，h₂，

∴h₁＝h₂，

S_△ABD：S_△ACD＝AB：AC＝4：3，

过作AE⊥BC于E，

∵S_△ABD：S_△ACD＝4：3，

故答案为：4：3．

【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．

11．（3分）已知点P（a+3，7+a）位于二、四象限的角平分线上，则点P的坐标为　（﹣2，2）　．

【分析】根据二、四象限的角平分线上点的坐标特征得到a+3+7+a＝0，然后解方程即可求解．

【解答】解：根据题意得a+3+7+a＝0，

解得a＝﹣5，

a+3＝﹣5+3＝﹣2，

7+a＝7﹣5＝2．

则点P的坐标为（﹣2，2）．

故答案为：（﹣2，2）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标特征计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．

12．（3分）平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣4）到x轴的距离为　4　．

【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．

【解答】解：平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣4）到x轴的距离为4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．

13．（3分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积是　7　．

【分析】由∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，求出AB＝6，根据AB+AC+BC＝14，求出AC+BC，根据勾股定理得出AC²+BC²＝AB²＝36推出AC•BC＝14，根据S＝ AC•BC即可求出答案．

【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，

∴AB＝2CD＝6，

∵AB+AC+BC＝14，

∴AC+BC＝8，

由勾股定理得：AC²+BC²＝AB²＝36，

∴（AC+BC）²﹣2AC•BC＝36，

AC•BC＝14，

∴S＝ AC•BC＝7．

故答案为：7．

【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据性质求出AC•BC的值是解此题的关键．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A₁，A₂，A₃…都在x轴上，点B₁，B₂，B₃…都在直线y＝x上，△OA₁B₁，△B₁A₁A₂，△B₂B₁A₂，△B₂A₂A₃，△B₃B₂A₃…都是等腰直角三角形，且OA₁＝1，则点B₂₀₁₉的坐标是　（2²⁰¹⁸，2²⁰¹⁸）　．

【分析】根据OA₁＝1，可得点A₁的坐标为（1，0），然后根据△OA₁B₁，△B₁A₁A₂，△B₂B₁A₂，△B₂A₂A₃，△B₃B₂A₃…都是等腰直角三角形，求出A₁A₂，B₁A₂，A₂A₃，B₂A₃…的长度，然后找出规律，求出点B₂₀₁₉的坐标．

【解答】解：∵OA₁＝1，

∴点A₁的坐标为（1，0），

∵△OA₁B₁是等腰直角三角形，

∴A₁B₁＝1，

∴B₁（1，1），

∵△B₁A₁A₂是等腰直角三角形，

∴A₁A₂＝1，B₁A₂＝ ，

∵△B₂B₁A₂为等腰直角三角形，

∴A₂A₃＝2，

∴B₂（2，2），

同理可得，B₃（2²，2²），B₄（2³，2³），…B_n（2^n﹣1，2^n﹣1），

∴点B₂₀₁₉的坐标是（2²⁰¹⁸，2²⁰¹⁸）．

故答案为（2²⁰¹⁸，2²⁰¹⁸）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．

三、解答题：（共9道大题，共58分）

15．（6分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3．

①求∠C的度数；

②求CE的长．

【分析】①根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABD，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD，求得∠C＝∠CBD，根据三角形的内角和得到∠C＝30°；

②根据直角三角形的性质即可得到结论．．

【解答】解：①∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵ED是BC的垂直平分线，

∴CD＝BD，

∴∠C＝∠CBD，

∵∠A＝90°，

∴∠C+∠ABC＝90°，

∴∠C＝30°；

②∵∠C＝∠ABD＝∠CBD＝30°，∠A＝90°，AD＝3，

∴AB＝2AD＝6，

∴BC＝2AB＝12，

∴CE＝ BC＝6．

【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

16．（6分）如图，在正方形网络中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣2，0）、（﹣4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁；

（2）平移△ABC，使点A移动到点A₂（0，2），画出平移后的△A₂B₂C₂并写出点B₂、C₂的坐标；

（3）△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂成中心对称，写出其对称中心的坐标．

【分析】（1）先作出点A、B、C关于原点的对称点，A₁，B₁，C₁，顺次连接各点即可；

（2）平移△ABC，使点A移动到点A₂（0，2），画出平移后的△A₂B₂C₂，由点B₂、C₂在坐标系中的位置得出各点坐标即可；

（3）连接B₁B₂与C₁C₂相交，得出其交点H的坐标即可．

【解答】解：（1）如图所示△A₁B₁C₁即为所求；

（2）如图所示，由图可知，B₂（0，﹣2），C₂（﹣2，﹣1）；

（3）连接B₁B₂与C₁C₂，相交于点H，则点H即为对称中心，由图可知H（1，﹣1）．

【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．

17．（6分）某校为了了解学生孝敬父母的情况（选项：A．为父母洗一次脚；B．帮父母做一次家务；C．给父母买一件礼物；D．其它），在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，得到如图表（部分信息未给出）：学生孝敬父母情况统计表：

选项	频数	频率
A	m	0.15
B	60	p
C	n	0.4
D	48	0.2

根据以上信息解答下列问题：

（1）这次被调查的学生有多少人？

（2）求表中m，n，p的值，并补全条形统计图．

（3）该校有1600名学生，估计该校全体学生中选择B选项的有多少人？

【分析】（1）用D选项的频数除以D选项的频率即可求出被调查的学生人数；

（2）用被调查的学生人数乘以A选项的和C频率求出m和n，用B选项的频数除以被调查的学生人数求出p，再画图即可；

（3）用该校的总人数乘以该校全体学生中选择B选项频率即可．

【解答】解：（1）这次被调查的学生有48÷0.2＝240（人）；

（2）m＝240×0.15＝36，

n＝240×0.4＝96，

p＝ ＝0.25，

画图如下：

（3）若该校有1600名学生，则该校全体学生中选择B选项的有1600×0.25＝400（人）．

【点评】此题考查了条形统计图和频数、频率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

18．（6分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF．

（1）求证：DE＝CF；

（2）求EF的长．

【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE＝FC；

（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．

【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE BC，

∵延长BC至点F，使CF＝ BC，

∴DE＝FC；

（2）解：∵DE FC，

∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DC＝EF，

∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，

∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，

∴DC＝EF＝ ．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出DE BC是解题关键．

19．（6分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE＝OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．

【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

∴OE＝OF，

又∵OB＝OD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形．

【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE＝OF是解题关键．

20．（6分）已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．

（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量．

【分析】（1）设y关于x的函数关系式y＝kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）把水费620元代入函数关系式解方程即可．

【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式y＝kx+b，则

，

解得 ，

所以，y关于x的函数关系式是y＝6x﹣100；

（2）由图可知，当y＝620时，x＞50，

所以，6x﹣100＝620，

解得x＝120，

答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量．

21．（6分）已知两直线L₁：y＝k₁x+b₁，L₂：y＝k₂x+b₂，若L₁⊥L₂，则有k₁•k₂＝﹣1．

（1）应用：已知y＝2x+1与y＝kx﹣1垂直，求k；

（2）直线经过A（2，3），且与y＝ x+3垂直，求解析式．

【分析】（1）根据L₁⊥L₂，则k₁•k₂＝﹣1，可得出k的值即可；

（2）根据直线互相垂直，则k₁•k₂＝﹣1，可得出过点A直线的k等于3，得出所求的解析式即可．

【解答】解：（1）∵L₁⊥L₂，则k₁•k₂＝﹣1，

∴2k＝﹣1，

∴k＝﹣ ；

（2）∵过点A直线与y＝ x+3垂直，

∴设过点A直线的直线解析式为y＝3x+b，

把A（2，3）代入得，b＝﹣3，

∴解析式为y＝3x﹣3．

【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值的乘积为﹣1．

22．（8分）如图，已知过点B（1，0）的直线l₁与直线l₂：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．且l₁与y轴相交于C点，l₂与x轴相交于A点．

（1）求直线l₁的解析式；

（2）求四边形PAOC的面积；

（3）若点Q是x轴上一动点，连接PQ、CQ，当△QPC周长最小时，求点Q坐标．

【分析】（1）把点P（﹣1，a）代入y＝2x+4，得到P的坐标为（﹣1，2），设直线l₁的解析式为：y＝kx+b，解方程组即可得到结论；

（2）根据l₁与y轴相交于C点，得到C的坐标为（0，1），由直线l₂与x轴相交于A点，得到A点的坐标为（﹣2，0），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）作点C关于x轴对称点C'，连接PC′交x轴于Q，则此时，△QPC周长最小，求得直线C’P：y＝﹣3x﹣1，当 y＝0时，x＝﹣ ，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线y＝2x+4上，

∴2×（﹣1）+4＝a，

∴a＝2，

则P的坐标为（﹣1，2），

设直线l₁的解析式为：y＝kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直线l₁的解析式为：y＝﹣x+1；

（2）∵l₁与y轴相交于C点，

∴C的坐标为（0，1），

又∵直线l₂与x轴相交于A点，

∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，

而S_{四边形PAOC}＝S_△PAB﹣S_△BOC，

∴S_{四边形PAOC}＝ ×3×2﹣ ×1×1＝ ；

（3）作点C关于x轴对称点C'，连接PC′交x轴于Q，

则此时，△QPC周长最小，

∵P（﹣1，2），C′（0，﹣1），

∴直线C’P：y＝﹣3x﹣1，

当 y＝0时，x＝﹣ ，

∴点Q坐标为（﹣ ，0）时△QPC周长最小．

【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求得一次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．

23．（8分）如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．

（1）求证：△BDE≌△BAC；

（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．

（3）直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？

②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，

（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG＝180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；

（3）①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG＝90°．然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；

②由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG＝90°，且AG＝AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC＝ AB．

【解答】（1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，

∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．

∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2）∵△BDE≌△BAC，

∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的对角线，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°．

∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，

∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

＝225°﹣∠BAC

∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°

∴DE∥AG，

∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．

则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，

即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；

②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．

由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．

∵四边形ABDI是正方形，

∴AD＝ AB．

又∵四边形ACHG是正方形，

∴AC＝AG，

∴AC＝ AB．

∴当∠BAC＝135°且AC＝ AB时，四边形ADEG是正方形．

【点评】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．

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日期：2019/10/8 17:36:40；用户：15527082918；邮箱：15527082918；学号：27022530