19.3.1矩形
第1课时 矩形的性质
教学目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)
2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)
教学过程
一、情境导入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么(动画演示拉动过程如图)?
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．
二、合作探究
探究点一：矩形的性质
【类型一】 矩形的四个角都是直角
如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为( )
A．15 B．30 C．45 D．60
解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，
∴EF＝BE＝4，
∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30.故选B.
方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．
【类型二】 矩形的对角线相等
如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是( )
A．2
B．4
C．2
D．4
解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长．故选B.
方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，可以利用等边三角形的性质解题．
探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝BC，DG＝BC，
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
探究点三：矩形的性质的运用
【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度
如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32cm列方程求出AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠CED＋∠ECD＝90°.
又∵EF⊥EC，
∴∠AEF＋∠CED＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD.
而EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝CD.
设AE＝xcm，
∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm，
则有2(x＋4＋x)＝32，解得x＝6.
即AE的长为6cm.
方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．
【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小
如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO的度数．
解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，
AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.
又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.
∵AE⊥BD，
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°，
∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.
方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据．
【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积
如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )
B. C. D.
解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BEO≌△DFO，则阴影部分的面积等于△AOB的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的，故阴影部分的面积为矩形面积的.故选B.
方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．
【类型四】 矩形中的折叠问题
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE.在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE的长，即可求得△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知△BC′D≌△BCD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
即DE＝5.
∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析．
三、板书设计
教学反思
经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值.