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【330174】19.3.1 第1课时 矩形的性质

时间:2025-02-08 16:51:28 作者: 字数:6457字

19.3.1矩形

1课时 矩形的性质

教学目标

1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别与联系;(重点)

2.会运用矩形的概念和性质来解决有关问题.(难点)

教学过程

一、情境导入

1.展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等),想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质?

2.思考:拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么(动画演示拉动过程如图)?

3.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形),引出本课题及矩形定义.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都是矩形.

有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形,矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.

二、合作探究

探究点一:矩形的性质

【类型一】 矩形的四个角都是直角

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图,矩形ABCD中,点EBC上,且AE平分∠BAC.BE4AC15,则△AEC的面积为(  )

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>


A15 B30 C45 D60

解析:如图EEFAC垂足为F.

AE平分BACEFACBEAB

EFBE4

SAECAC·EF×15×430.故选B.

方法总结:矩形的四个角都是直角常作为证明或求值的隐含条件.

【类型二】 矩形的对角线相等

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>  <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD60°AD2,则AC的长是(  )

A2

B4

C2

D4

解析:根据矩形的对角线互相平分且相等可得OCODOAACAOD60°AOD为等边三角形即可求出AC的长.故选B.

方法总结:矩形的两条对角线互相平分且相等即对角线把矩形分成四个等腰三角形当两条对角线的夹角为60°120°图中有等边三角形可以利用等边三角形的性质解题.

探究点二:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图,已知BDCE是△ABC不同边上的高,点GF分别是BCDE的中点,试说明GFDE.

解析:本题的已知条件中已经有直角三角形有斜边上的中点由此可联想到应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一定理.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

解:连接EGDG.

BDCE是△ABC的高,

∴∠BDC=∠BEC90°.

GBC的中点,

EGBCDGBC

EGDG.

又∵点FDE的中点,

GFDE.

方法总结:在直角三角形中遇到斜边中点常作斜边中线进而可将问题转化为等腰三角形的问题然后利用等腰三角形三线合一的性质解题.

探究点三:矩形的性质的运用

【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图,已知矩形ABCD中,EAD上的一点,FAB上的一点,EFEC,且EFECDE4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.

解析:先判定AEF≌△DCECDAE再根据矩形的周长为32cm列方程求出AE的长.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

解:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠D90°

∴∠CED+∠ECD90°.

又∵EFEC

∴∠AEF+∠CED90°

∴∠AEF=∠ECD.

EFEC

∴△AEF≌△DCE

AECD.

AExcm

CDxcmAD(x4)cm

则有2(x4x)32,解得x6.

AE的长为6cm.

方法总结:矩形的各角为直角常作为全等的一个条件用来证三角形全等可借助直角的条件解决直角三角形中的问题.

【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图,在矩形ABCD中,AEBDE,∠DAE∶∠BAE31,求∠BAE和∠EAO的度数.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

解析:BAEDAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数从而得ABO的度数再根据矩形的性质易得EAO的度数.

解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB90°

AOACBOBDACBD

∴∠BAE+∠DAE90°AOBO.

又∵∠DAE:∠BAE31

∴∠BAE22.5°,∠DAE67.5°.

AEBD

∴∠ABE90°-∠BAE90°22.5°67.5°

∴∠OAB=∠ABE67.5°

∴∠EAO67.5°22.5°45°.

方法总结:矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据.

【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图所示,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交ABCDEF,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(  )

  1. B. C. D.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

解析:由四边形ABCD为矩形易证得BEO≌△DFO则阴影部分的面积等于AOB的面积AOB的面积为矩形ABCD面积的故阴影部分的面积为矩形面积的.故选B.

方法总结:求阴影部分的面积时当阴影部分不规则或比较分散时通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形,再求其面积.

【类型四】 矩形中的折叠问题

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> 如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C处,BCAD于点EAD8AB4,求△BED的面积.

解析:这是一道折叠问题折后的图形与原图形全等从而得BCD≌△BCD则易得BEDE.RtABE,利用勾股定理列方程求出BE的长即可求得BED的面积.

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

解:∵四边形ABCD是矩形,

ADBC,∠A90°

∴∠2=∠3.

又由折叠知△BCD≌△BCD

∴∠1=∠2

∴∠1=∠3,∴BEDE.

BEDEx,则AE8x.

RtABE中,AB2AE2BE2

42(8x)2x2,解得x5.

DE5.

SBEDDE·AB×5×410.

方法总结:矩形的折叠问题是常见的问题本题的易错点是对BED是等腰三角形认识不足解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析.




三、板书设计

 <a href="/tags/16/" title="课时" class="c1" target="_blank">课时</a> <a href="/tags/386/" title="性质" class="c1" target="_blank">性质</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

教学反思

经历矩形的概念和性质的探索过程,把握平行四边形的演变过程,迁移到矩形的概念与性质上来,明确矩形是特殊的平行四边形.培养学生的推理能力以及自主合作精神,掌握几何思维方法,体会逻辑推理的思维价值.