课后训练
1．(如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )．
(第1题图)
A．6 B．5 C．4 D．3
2．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上的任意两点，则∠CAD与∠CBD之间的关系是( )．
A．∠CAD＞∠CBD B．∠CAD＝∠CBD C．∠CAD＜∠CBD D．不能确定
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是( )．
A．6 B．8 C．9 D．10
(第3题图) (第4题图)
4．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC＝5 cm，BC＝4 cm，那么△DBC的周长是( )．
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
5．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是( )．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
6．已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为D,点P是MN上一点,若AB＝10 cm,则BD＝ cm；若PA＝10 cm，则PB＝__________ cm.
7．如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________．
(第7题图)
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交BC于E，BE＝5，则AE＝______，∠AEC＝______.
(第8题图)
9．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为________．
(第9题图)
10．如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，连接CE.求证：AB＞AC.
(第10题图)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使点P到点A，B的距离相等(保留作图痕迹，不用证明)．
(第11题图)
12．如图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，连接EF.求证：OP垂直平分EF.
(第12题图)
13．如图所示，已知OA＝OB，AC＝BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD的中点．求证：(1)OM平分∠AOB；(2)OM是CD的垂直平分线．
(第13题图)
答案与解析
1．B 2．B
3．B 解析：利用线段的垂直平分线的性质可知,△CDE的周长即为CD＋DE＋EC的长,CD＋DE＋EC＝CD＋AD＝3＋5＝8.
4．D 解析：△DBC的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝5＋4＝9(cm)．
5．C
6．5 10
7．45° 解析：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°.∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD.∴∠ABD＝∠A＝30°.∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－30°＝45°.
8．5 30° 解析：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等，故AE＝BE.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故∠AEC＝2∠B.
9．6 解析：∵DE是BC边的垂直平分线，∴EC＝EB.∴△EDC的周长等于△BDE的周长,即BD＋BE＋DE＝24①.
又∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴BD＋BE－DE＝12②.
∴①－②，得2DE＝12.∴DE＝6.
10．证明：∵ED是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC.
又∵在△AEC中，AE＋EC＞AC，
∴AE＋EB＞AC，即AB＞AC.
11．解：如图，分别以A，B为圆心，以大于
的长为半径作弧分别交于M，N两点，过M，N作直线交AC于点P，则点P即为所求．
(第11题答图)
解析：在以A,B为圆心画弧时,一定要以大于
的长为半径作弧,否则由于两弧不相交而得不到交点．
12．证明：∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°.
∵OM平分∠AOB，∴∠EOP＝∠FOP.
在△PEO和△PFO中，
∵
∴△PEO≌△PFO.(AAS)
∴PE＝PF，EO＝FO.
∴O，P在EF的垂直平分线上．
∴OP垂直平分EF.
13．证明：(1)如图，连接OC，OD.
(第13题答图)
∵OA⊥AC，OB⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.
在△AOC和△BOD中，
∵
∴△AOC≌△BOD.(SAS)
∴∠AOC＝∠BOD，OC＝OD.
∵M是CD的中点，
∴CM＝DM.
在△CMO和△DMO中，
∵
∴△CMO≌△DMO.(SSS)
∴∠COM＝∠DOM.
∴∠AOC＋∠COM＝∠BOD＋∠DOM，
即∠AOM＝∠BOM，
∴OM平分∠AOB.
(2)由(1)，得△CMO≌△DMO，
∴∠OMC＝∠OMD＝90°，
∴OM⊥CD.
又∵M是CD的中点，
∴OM是CD的垂直平分线．