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【329972】13.4课题学习最短路径问题

时间:2025-02-07 09:15:08 作者: 字数:3871字

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13.4课题学习最短路径问题

基础巩固

1.有两棵树位置如图,树脚分别为AB.地上有一只昆虫沿AB的路径在地面上爬行.小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树顶C处,问小鸟飞至AB之间何处时,飞行距离最短,在图中画出该点的位置.

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2.已知,如图所示,甲、乙、丙三个人做传球游戏,游戏规则如下:甲将球传给乙,乙将球立刻传给丙,然后丙又立刻将球传给甲.若甲站在∠AOB内的P点,乙站在OA上,丙站在OB上,并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须站在何处,才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少?

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3.如图所示,PQ为△ABC边上的两个定点,在BC上求作一点R,使△PQR的周长最小.

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4.七年级(1)班同学做游戏,在活动区域边OP放了一些球(如图),则小明按怎样的路线跑,去捡哪个位置的球,才能最快拿到球跑到目的地A?

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能力提升

5.公园内两条小河MONOO处汇合,两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示).现计划在两条小河上各建一座小桥QR,并在半岛上修三段小路,连通两座小桥与景点,这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少?请说明理由.

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6.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,AB到河岸CD的距离分别为ACBD,且ACBD,若A到河岸CD的中点的距离为500 m.

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(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?在图中作出该处,并说明理由;

(2)最短路程是多少?









































参考答案

1.解:如图,作D关于AB的对称点D,连接CDAB于点E,则点E就是所求的点.

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2.解:如图所示,(1)分别作点P关于OAOB的对称点P1P2

(2)连接P1P2,与OAOB分别相交于点MN.

因为乙站在OA上,丙站在OB上,所以乙必须站在OA上的M处,丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少.

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3.解:(1)作点P关于BC所在直线的对称点P

(2)连接PQ,交BC于点R,则点R就是所求作的点(如图所示)

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4.解:如图,作小明关于活动区域边线OP的对称点A,连接AAOP于点B,则小明行走的路线是小明→BA,即在B处捡球,才能最快拿到球跑到目的地A.

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5.解:如图,作P关于OM的对称点P,作P关于ON的对称点P,连接PP,分别交MONOQR,连接PQPR,则PQPQPRPR,则QR就是小桥所在的位置.

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理由:在OM上任取一个异于Q的点Q,在ON上任取一个异于R的点R,连接PQPQQRPRPR,则PQPQPRPR,且PQQRRPPQQRRP,所以△PQR的周长最小,故QR就是我们所求的小桥的位置.

6.解:(1)作法:如图作点A关于CD的对称点A

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连接ABCD于点M.则点M即为所求的点.

证明:在CD上任取一点M,连接AMAMBMAM

因为直线CDAA的对称轴,MMCD上,所以AMAMAMAM

所以AMBMAMBMAB.

在△AMB中,因为AMBMAB

所以AMBMAMBMAMBM,即AMBM最小.

(2)(1)可得ACACBD

所以△ACM≌△BDM

AMBMCMDM

所以MCD的中点,且AB2AM

因为AM500 m

所以ABAMBM2AM1 000 m.

即最短路程为1 000 m.