13.3等腰三角形
基础巩固
1.若等腰三角形底角为72°,则顶角为( )
A.108° B.72°
C.54° D.36°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=BD=BC,则∠C=( )
A.72° B.60°
C.75° D.45°
若等腰三角形的周长为26 cm,一边为11 cm,则腰长为( )
A.11 cm B.7.5 cm
C.11 cm或7.5 cm D.以上都不对
4.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③ B.①②④
C.①③ D.①②③④
5.如图所示,已知∠1=∠2,要使BD=CD,还应增加的条件是( )
①AB=AC ②∠B=∠C ③AD⊥BC ④AB=BC
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D,若AD=2,则AB=__________.
能力提升
7.如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,EF过D点,且EF∥BC,图中等腰三角形共有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
8.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
9.如图,D是△ABC中BC边上一点,AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是( )
A.∠1=2∠2 B.∠1+∠2=90°
C.180°-∠1=3∠2 D.180°+∠2=3∠1
10.如图,△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于A,BC=4.2 cm,则AD=__________.
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,按以下步骤作图:
(1)分别以A,B为圆心,以大于
的长为半径做弧,两弧相交于点P和Q;
(2)作直线PQ交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若CE=4,则AE=__________.
12.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,求PD的长.
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,且∠AEF=∠AFE.求证:EF⊥BC.
14.如图,在△ABC中,∠ACB=45°,∠A=90°,BD是∠ABC的角平分线,CH⊥BD,交BD的延长线于H,求证:BD=2CH.
15.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A,C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
参考答案
1.D 点拨:等腰三角形两底角相等,所以顶角为36°,故选D.
2.A 点拨:设∠A=x,由已知可知,∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A=2x,
因为∠A+∠ABC+∠C=180°,
所以x+2x+2x=180°.
解得x=36°,所以∠C=72°,故选A.
3.C 点拨:边长为11 cm的边长可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况讨论.一种情况腰长为11 cm;另一种情况底边为11 cm,此时腰长为7.5 cm,两种情况都成立,故选C.
4.D 点拨:①②为判定定理,③每个外角都相等,则都是120°,所以每个内角都是60°,④一腰上的中线也是这条腰上的高,说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线,所以腰等于底,也是等边三角形,四个都成立,故选D.
5.C 点拨:①②说明△ABC为等腰三角形,由“三线合一”可知BD=CD,由③能得到△ABD≌△ACD,所以BD=CD,④不能得到BD=CD,故选C.
6.8 点拨:由题意可知,在Rt△ACD和Rt△ABC中,∠ACD=∠B=30°,
所以AC=2AD,AB=2AC.
所以AB=4AD=4×2=8.
7.D 点拨:由题意知,AB=AC,AE=AF,BE=DE,CF=DF,BD=CD,所以所有的三角形都是等腰三角形,共有5个,故选D.
8.C 点拨:如图,共有8个格点.注意3和8也是,故选C.
9.D 点拨:因为AB=BD,
所以∠B=180°-2∠1,∠C=∠1-∠2.
因为AB=AC,所以∠B=∠C.
所以180°-2∠1=∠1-∠2,
整理得180°+∠2=3∠1,故选D.
10.1.4 cm 点拨:由已知可以推出∠B=∠CAD=∠C=30°,AD=DC,DA⊥BA于A,所以BD=2AD.
所以BC=3DC=3AD=4.2(cm).
所以AD=1.4 cm.
11.8 点拨:由题意可得出:PQ是AB的垂直平分线,∴AE=BE.
∵在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,
∴∠CBA=30°,∴∠EAB=∠CAE=30°.
∴
.∴AE=8.
12.解:如图,过P作PE⊥OB,垂足为E.
∵∠AOP=∠BOP=15°,PD⊥OA,
∴PD=PE.
∵PC∥OA,∴∠CPO=∠AOP=15°.
∴∠BCP=∠BOP+∠CPO=30°,
在Rt△CPE中,∠ECP=30°,
∴
.
∴PD=PE=2.
13.证明:如图,过A作AD⊥BC,垂足为D,∵AB=AC,
∴
.
∵∠AEF=∠AFE,
∠BAC=∠AEF+∠AFE,
∴
.
∴∠EFA=∠BAD.
∴EF∥AD,∴EF⊥BC.
14.证明:如图,分别延长CH,BA交于点E.
∵CH⊥BD,BD是∠ABC的角平分线,
∴∠CHB=∠EHB=90°,∠CBH=∠EBH.
又∵BH=BH,∴△CBH≌△EBH.
∴CH=EH.∴CE=2CH.
∵∠ACB=45°,∠CAB=90°,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACB=∠ABC.∴AC=AB.
∵∠CAB=∠CAE=90°,
∴∠E+∠ECA=90°.
∵CH⊥BD,∴∠E+∠EBH=90°.
∴∠ECA=∠EBH.∴△ECA≌△DBA.
∴CE=BD.∴BD=2CH.
15.解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB=60°.
∵∠BQD=30°,∴∠QPC=90°.
设AP=x,则PC=6-x,QB=x,
∴QC=QB+BC=6+x.
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴
,即
,
解得x=2.∴AP=2.
(2)当点P,Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交AB的延长线于点F,连接QE,PF,又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°.
∵点P,Q速度相同,∴AP=BQ.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°.
在△APE和△BQF中,
∵∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF.
在△APE和△BQF中,
∠AEP=∠BFQ,∠A=∠FBQ,AP=BQ,
∴△APE≌△BQF(AAS).
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF.
∴四边形PEQF是平行四边形.
∴
.
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴
.
又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3.
∴当点P,Q运动时,线段DE的长度不会改变.