13.3等腰三角形
基础巩固
1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为( )
A．108° B．72°
C．54° D．36°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝( )
A．72° B．60°
C．75° D．45°
若等腰三角形的周长为26 cm，一边为11 cm，则腰长为( )
A．11 cm B．7.5 cm
C．11 cm或7.5 cm D．以上都不对
4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
5．如图所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，还应增加的条件是( )
①AB＝AC ②∠B＝∠C ③AD⊥BC ④AB＝BC
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则AB＝__________.
能力提升
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的关系是( )
A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°
C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝4.2 cm，则AD＝__________.
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：
(1)分别以A，B为圆心，以大于
的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q；
(2)作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若CE＝4，则AE＝__________.
12．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长．
13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥BC.
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，CH⊥BD，交BD的延长线于H，求证：BD＝2CH.
15．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
参考答案
1．D 点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36°，故选D.
2．A 点拨：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x，
因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
所以x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°，所以∠C＝72°，故选A.
3．C 点拨：边长为11 cm的边长可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论．一种情况腰长为11 cm；另一种情况底边为11 cm，此时腰长为7.5 cm，两种情况都成立，故选C.
4．D 点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D.
5．C 点拨：①②说明△ABC为等腰三角形，由“三线合一”可知BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故选C.
6．8 点拨：由题意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°，
所以AC＝2AD，AB＝2AC.
所以AB＝4AD＝4×2＝8.
7．D 点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5个，故选D.
8．C 点拨：如图，共有8个格点．注意3和8也是，故选C.
9．D 点拨：因为AB＝BD，
所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.
因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
所以180°－2∠1＝∠1－∠2，
整理得180°＋∠2＝3∠1，故选D.
10．1.4 cm 点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，DA⊥BA于A，所以BD＝2AD.
所以BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)．
所以AD＝1.4 cm.
11．8 点拨：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°.
∴
.∴AE＝8.
12．解：如图，过P作PE⊥OB，垂足为E.
∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，
∴PD＝PE.
∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°.
∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°，
在Rt△CPE中，∠ECP＝30°，
∴
.
∴PD＝PE＝2.
13．证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，
∴
.
∵∠AEF＝∠AFE，
∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，
∴
.
∴∠EFA＝∠BAD.
∴EF∥AD，∴EF⊥BC.
14．证明：如图，分别延长CH，BA交于点E.
∵CH⊥BD，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH.
又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH.
∴CH＝EH.∴CE＝2CH.
∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB.
∵∠CAB＝∠CAE＝90°，
∴∠E＋∠ECA＝90°.
∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°.
∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA.
∴CE＝BD.∴BD＝2CH.
15．解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°.
∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.
设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x.
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴
，即
，
解得x＝2.∴AP＝2.
(2)当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°.
∵点P，Q速度相同，∴AP＝BQ.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°.
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF.
在△APE和△BQF中，
∠AEP＝∠BFQ，∠A＝∠FBQ，AP＝BQ，
∴△APE≌△BQF(AAS)．
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF.
∴四边形PEQF是平行四边形．
∴
.
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴
.
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3.
∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．