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【329970】13.3等腰三角形

时间:2025-02-07 09:15:05 作者: 字数:6923字

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13.3等腰三角形

基础巩固

1.若等腰三角形底角为72°,则顶角为(  )

A108° B72°

C54° D36°

2.如图,在△ABC中,ABACADBDBC,则∠C(  )

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A72° B60°

C75° D45°

  1. 若等腰三角形的周长为26 cm,一边为11 cm,则腰长为(  )

A11 cm B7.5 cm

C11 cm7.5 cm D.以上都不对

4.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(  )

A.①②③ B.①②④

C.①③ D.①②③④

5.如图所示,已知∠1=∠2,要使BDCD,还应增加的条件是(  )

ABAC ②∠B=∠C ③ADBC ④ABBC

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A.① B.①②

C.①②③ D.①②③④

6.如图所示,在△ABC中,∠ACB90°,∠B30°CDAB于点D,若AD2,则AB__________.

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能力提升

7.如图,在△ABC中,ABACBDCD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,EFD点,且EFBC,图中等腰三角形共有(  )

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A2B3

C4D5

8.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知AB是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是(  )

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A6 B7 C8 D9

9.如图,D是△ABCBC边上一点,ABACBD,则∠1和∠2的关系是(  )

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A.∠12∠2 B.∠1+∠290°

C180°-∠13∠2 D180°+∠23∠1

10.如图,△ABC中,ABAC,∠C30°DABAABC4.2 cm,则AD__________.

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11.如图,在△ABC中,∠C90°,∠CAB60°,按以下步骤作图:

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(1)分别以AB为圆心,以大于 <a href="/tags/387/" title="三角形" class="c1" target="_blank">三角形</a> <a href="/tags/906/" title="等腰三角形" class="c1" target="_blank">等腰三角形</a> <a href="/tags/920/" title="三角" class="c1" target="_blank">三角</a> 的长为半径做弧,两弧相交于点PQ

(2)作直线PQAB于点D,交BC于点E,连接AE.CE4,则AE__________.

12.如图所示,∠AOP=∠BOP15°PCOAPDOA,若PC4,求PD的长.

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13.如图所示,在△ABC中,ABAC,点ECA的延长线上,且∠AEF=∠AFE.求证:EFBC.

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14.如图,在△ABC中,∠ACB45°,∠A90°BD是∠ABC的角平分线,CHBD,交BD的延长线于H,求证:BD2CH.

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15.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,PAC边上一动点,由AC运动(AC不重合)QCB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由BCB延长线方向运动(Q不与B重合),过PPEABE,连接PQABD.

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(1)当∠BQD30°时,求AP的长;

(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.







































参考答案

1D 点拨:等腰三角形两底角相等,所以顶角为36°,故选D.

2A 点拨:设∠Ax,由已知可知,∠BDC=∠C=∠ABC2∠A2x

因为∠A+∠ABC+∠C180°

所以x2x2x180°.

解得x36°,所以∠C72°,故选A.

3C 点拨:边长为11 cm的边长可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况讨论.一种情况腰长为11 cm;另一种情况底边为11 cm,此时腰长为7.5 cm,两种情况都成立,故选C.

4D 点拨:①②为判定定理,③每个外角都相等,则都是120°,所以每个内角都是60°,④一腰上的中线也是这条腰上的高,说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线,所以腰等于底,也是等边三角形,四个都成立,故选D.

5C 点拨:①②说明△ABC为等腰三角形,由“三线合一”可知BDCD,由③能得到△ABD≌△ACD,所以BDCD,④不能得到BDCD,故选C.

68 点拨:由题意可知,在Rt△ACDRt△ABC中,∠ACD=∠B30°

所以AC2ADAB2AC.

所以AB4AD4×28.

7D 点拨:由题意知,ABACAEAFBEDECFDFBDCD,所以所有的三角形都是等腰三角形,共有5个,故选D.

8C 点拨:如图,共有8个格点.注意38也是,故选C.

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9D 点拨:因为ABBD

所以∠B180°2∠1,∠C=∠1-∠2.

因为ABAC,所以∠B=∠C.

所以180°2∠1=∠1-∠2

整理得180°+∠23∠1,故选D.

101.4 cm 点拨:由已知可以推出∠B=∠CAD=∠C30°ADDCDABAA,所以BD2AD.

所以BC3DC3AD4.2(cm)

所以AD1.4 cm.

118 点拨:由题意可得出:PQAB的垂直平分线,∴AEBE.

在△ABC中,∠C90°,∠CAB60°

∴∠CBA30°,∴∠EAB=∠CAE30°.

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12.解:如图,过PPEOB,垂足为E.

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∵∠AOP=∠BOP15°PDOA

PDPE.

PCOA,∴∠CPO=∠AOP15°.

∴∠BCP=∠BOP+∠CPO30°

Rt△CPE中,∠ECP30°

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PDPE2.

13.证明:如图,过AADBC,垂足为D,∵ABAC

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∵∠AEF=∠AFE

BAC=∠AEF+∠AFE

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∴∠EFA=∠BAD.

EFAD,∴EFBC.

14.证明:如图,分别延长CHBA交于点E.

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CHBDBD是∠ABC的角平分线,

∴∠CHB=∠EHB90°,∠CBH=∠EBH.

又∵BHBH,∴△CBH≌△EBH.

CHEH.∴CE2CH.

∵∠ACB45°,∠CAB90°

∴∠ABC45°

∴∠ACB=∠ABC.∴ACAB.

∵∠CAB=∠CAE90°

∴∠E+∠ECA90°.

CHBD,∴∠E+∠EBH90°.

∴∠ECA=∠EBH.∴△ECA≌△DBA.

CEBD.∴BD2CH.

15.解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB60°.

∵∠BQD30°,∴∠QPC90°.

APx,则PC6xQBx

QCQBBC6x.

Rt△QCP中,∠BQD30°

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解得x2.∴AP2.

(2)当点PQ运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:

QFAB,交AB的延长线于点F,连接QEPF,又∵PEABE

∴∠DFQ=∠AEP90°.

PQ速度相同,∴APBQ.

∵△ABC是等边三角形,

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∴∠A=∠ABC=∠FBQ60°.

在△APE和△BQF中,

∵∠AEP=∠BFQ90°

∴∠APE=∠BQF.

在△APE和△BQF中,

AEP=∠BFQ,∠A=∠FBQAPBQ

∴△APE≌△BQF(AAS)

AEBFPEQFPEQF.

四边形PEQF是平行四边形.

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EBAEBEBFAB

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又∵等边△ABC的边长为6,∴DE3.

当点PQ运动时,线段DE的长度不会改变.