1 为什么要证明 综合练习
点击要点
要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步，有根有据地进行_________．
学习策略
解答本节习题注意体会检验数学结论的常用方法；实验验证、举反例、推理等，培养推理意识．
一、训练平台（每小题12分，共36分）
1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F，M，N分别为AD，AB，BC，CD的中点，连接EF，FM，MN，EN，你能肯定四边形EFMN是平行四边形吗？为什么？若将梯形ABCD改变成等腰梯形，其他条件不变，你又会得到EFMN是什么四边形呢？为什么？
2．用火柴棒按如图所示的方式拼图形．
（1）你知道第6个图形需要多少根火柴棒吗？
（2）第n个图形需要多少根火柴棒呢？
（3）你能肯定（2）中猜想是正确的吗？请验证一下当n=4时的情形．
3．在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示，他们制作模型所用的铁丝是一样长吗？请通过计算说明．
二、提高训练（每小题12分，共36分）
1．如图所示，若已知C，D是线段AB上两点，且AC=DB，E是AB中点，那么点E的位置有什么特点？你能说明原因吗？
2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？若已知纸条宽为1，又量得∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积是多少？若∠ABC=90°呢？若∠ABC=120°呢？由此你得到关于四边形ABCD的面积的什么结论？
3．如图所示，△DEF是将△ABC沿BC边平移而得到的，且DE经过AC边的中点O，问O一定是DE边的中点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
三、探索发现（共14分）
易知：等腰三角形三边分别为4，4，5；5，5，6；6，6，7时，其周长分别为4+4+5=13，5+5+6=16，6+6+7=19，那么，等腰三角形的两条边分别为3和8时，其周长一定是14，这一结论对吗？
四、拓展创新（共14分）
问题：你能很快算出1995吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5时自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可写成：10n+5，即求（10n+5）的值（n为自然数）．请你试分别n=1，n=2，n=3…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳，猜想得出结论．
（1）通过计算，探索规律：
152=225，可写成100×1（1+1）+25；
252=625，可写成100×2（2+1）+25；
352=1225，可写成100×3（3+1）+25；
452=2025，可写成100×4（4+1）+25；
752=5625，可写成____________；
852=7225，可写成____________；
（2）从第（1）题结果归纳，猜想得：（10n+5）2=________；
（3）根据上面的归纳，猜想，请计算19952=________．
中考演练
如图所示，在等边三角形△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，DC=AE，AD，BE交于点F，请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论．
参考答案
一、1．四边形EFMN是平行四边形，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（这里用到三角形中位线定理）．
证明：∵E，F，M，N分别是各边中点，
∴EN
AC，FM
AC，∴EN
FM．
∴四边形EFMN是平行四边形．
当梯形为等腰梯形时，四边形EFMN是菱形．
因为有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．（1）32根 （2）7+5（n-1） （3）当n=4时，共有7+5（4-1）=22．
3．一样长，说明略．
二、1．解：点E也是线段CD的中点，原因如下：
∵E是线段AB中点，∴AE=BE，
又AE-AC=BE-DB，∴CE=DE，即E是CD的中点．
2．解：是菱形，因为四边形ABCD四边相等且对边平行．
当∠ABC=60°时，AB=
，∴S=
．
当∠ABC=90°，AB=1，∴S=1．
当∠ABC=120°，AB=
，∴S=
．
当两张纸条垂直放置时，四边形ABCD的面积最小．
3．提示：是，可证△AOD≌△COE，∴DO=OE．
三、解：不对，因为3+3<8，所以另一边不能为3，只能为8，此时周长为3+8+8=19．
四、（1）100×7（7+1）+25 100×8（8+1）+25
（2）100×n（n+1）+25
（3）100×199（199+1）+25=3980025
※∠BFD=60°
证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴△ABE≌△CDA．∴∠AEB=∠ADC，
又∠DAC+∠ADC=120°，
∴∠AEB+∠DAC=120°，∴∠AFE=∠BFD=60°．