【329704】4.5一次函数的应用

4.5 一次函数的应用（一）

教学目标

知识与技能：1．进一步训练学生的识图能力；2．能利用函数图象解决简单的实际问题。

过程与方法：1．通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识；2．通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。

情感态度与价值观：通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。

教学重难点

重点: 一次函数图象的应用

难点: 利用一次函数的知识解决实际问题

教学过程

一、创设情境、导入新课

我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？

二、合作交流、解读探究

（动脑筋）

某地为了保护环境，鼓励节约用电，实行阶梯电价收费，规定每户居民每月用电量不超过160kW·h，则按0.6元/(kW·h)收费；若超过160kW·h，则超出部分按每1kW·h加收0.1元。

1、写出某户居民某月应交电费y（元）是用电量x(kW·h)之间的函数表达式；（2）画出这个函数的图象；（3）小王家3月份，4月份分别用电150kW·h和200kW·h，应缴纳电费各多少元？

分析：（1）电费与用电量有关，当0≤x≤160时，y=0.6x;

当x>160时，y=160×0.6+（x-160）×(0.6+1)=0.7x-16。此函数为分段函数，应该合起来表示。（2）图象由一个正比例函数和一个一次函数拼接在一起。（3）已知自变量的值求函数值，直接把自变量的取值代入相应函数解析式即可。

解：略。

例1、甲乙两地相距40km,小明8：00骑自行车由甲地去乙地，平均车速为8km/h，小红10：00坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h。设小明所用时间为x(h),小明与甲地的距离为y₁（km），小红离甲地的距离为y₂（km）。（1）分别求出y_1、y₂与x之间的函数关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象。并指出谁先到达乙地。

分析：对于上题中甲乙行驶的情况，回答：①乙出发后多少小时追上甲？ ②乙出发后多少小时超过甲？你能用几种方法来解答和说明呢？哪种方法更简单些呢？③自变量x的取值有什么限制？

练习：教材P134页 练习 1、2题

1、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米³)与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，观察图象后填空：

(1)当干旱持续10天，蓄水量为 ，

当 连续干旱20天，蓄水量为 。

2. 蓄水量小于400万米³时，将发生严重干

旱警报.干旱 天后将发出严重

干旱警报。

(3)按照这个规律，预计持续干旱 天水库将干涸。

2、山区的气温t(⁰c)与海拔的高度h（米）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：

（1）山脚0米处的气温是多少？

（2）海拔高度h＝1500米时的气温是多少？

（3）某种中草药适宜生长在温度为12——15⁰c的山区，那么这种中草药种在山区的哪个高度最适宜？

3 、一根弹簧长15cm，它能挂的物体质量不能超过18kg，并 且每挂1kg就伸长0.5cm。写出挂上物体后的弹簧长度y（cm） 与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式、定义域。并且画出它的图象。

分析：此函数为一次函数

（0 ≤x≤18）

经过点A（0，15）、B（18，24）作函数图象。

说明：要注意函数自变量的取值范围。

本题图象为线段AB，而不是直线。

4、某门市部出售化肥，毎袋售价80元。为了促进销售，规定买3袋按售价计算，从第4袋开始每袋优惠5元。购买这种化肥的总金额m(元)与购买袋数n（袋）的函数解析式为：

m= （0≤n≤3,且n为整数）

m= （n≥4, 且n为整数）

知识点拨：此函数为分段函数。

5、某市出租车5千米内起步价为8元，以后每增加1千米加价2元。(不足1千米按1千米收费) 。 收费y（元）与乘坐出租车路程x（千米）的函数关系式为：

y= (0＜x≤5)

y= (x＞5，且x为整数)

四、小结：

1、会从函数图象中正确读取信息；2、用一次函数的知识解决有关实际问题3、画图象时注意函数的定义域。

五、作业

教材P139页 A组 1、2题 P140页 6题

三、应用迁移、巩固提高

课后反思：

一次函数的应用（二）

教学目标

知识与技能：使学生了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题。

过程与方法：1．通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识。

2．通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。

情感态度与价值观：通过函数图象来解决实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题。

教学重难点

重点: 一次函数图象的应用

难点: 会从不同信息中获取一次函数表达式

教学过程

一、创设情境、导入新课

1、（练习）根据下列条件写出一次函数的解析式：

（1）k=3, b=4

（2）k=2, b=－1

结论：对于一次函数 ，当 确定，解析式也就确定。

2、王大强和张小勇两人比赛跑步，路程和时间的关系如图：

根 据图象回答下列问题：

⑴王大强和张小勇谁跑的快？

⑵出发几秒后两人相遇？

⑶相遇前谁在前面？相遇后谁在前面？

⑷你还能读出什么信息？

二、合作交流、解读探究

教材：P135页 动脑筋

(学生自学)

（1） 求出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？

解：略

例2、某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：

⑴ 请分别写出汽车、火车运输的总费用 （元）、 （元）与运输路程 （ ）之间的函数关系；

⑵你能说出用哪种运输方式较好吗？

练习：

教材：P137 练习 1、2.

三 、应用迁移、巩固提高

1、某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同，

以每月用车路程 计算，甲汽车租赁公司的

月租费是 元，乙汽车租赁公司的月租费是 元，

如果 、 与 之间的关系如图所示，那么：

（1）月用车路程是多少时，租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同？（2）每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租赁公司的车所需要费用较少？⑶如果每月用车的路程约为2300 ，那么租用哪家的车所需费用较少？

2、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。

(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你给设计出来；(2)设生产A、B两种产品获总利润为y (元)，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明 (1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

四、全课小结

对于选择类问题，我们需首先针对两个关系列出对应的函数关系式，然后找到它们的平衡的地方或者说是共同之处，最后再做进一步的分类和选择。“平衡的地方或者是共同之处”实际上就是我们刚才所讨论几个问题中函数图象的交点。

五、作业 教材P140—P141 页3、4题

课后反思：

一次函数的应用（三）

教学目标

知识与技能：1.理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点；2.掌握利用二元一次方程确定一次函数的表达式；3.进一步理解方程与函数的联系。

过程与方法：1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略；2.在对作图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化；3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。

情感态度与价值观：1.在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验。

教学重难点

重点: 1、二元一次方程和一次函数的关系；2、能根据一次函数的图象求二元一次方程的近似解

难点: 方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力

教学过程

1. 复习回忆、引入新课

   1. 同学们:什么叫二元一次方程及二元一次方程的解?

   2. 一次函数的图象是什么?

   3. 如图,求一次函数的图象的解析式

二 、合作交流、解读探究

问题：

1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来

[方程x+y=5的解有无数多个，如：

x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3

y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等

2．在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图象上吗？

3.在一次函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象相同吗？

归纳：在上面直角坐标系中描出以x+y=5的解为坐标的点，我们很容易发现这些点都在一次函数y=5－x的图象上．在函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标一定适合方程x+y=5．以x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象是相同的．综上所述，二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上．（2）反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．

问：你能找出下面两个问题之间的联系吗？

（1）解方程：3x-6=0.（2）已知一次函数y=3x-6，问x取何值时，y=0?

学生讨论后归纳：一般地，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解。任何一个一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标。

例1、已知一次函数y=2x+6,求这个函数的图象与x轴交点的横坐标。

解法一：令y=0代入……

解法二：画图（略）

练习：教材P139页 练习 1、2、3题

三、应用迁移、巩固提高

讨 论：在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 x+y=5

2x－y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？

[一次函数y=5－x和y=2x－1的图象的交点为（2，3），因此， x=2 y=3就是方程组

x +y=5

2x－ y=1

的 解。 用作图象的方法解方程组 x-2y= - 2

2x – y=2

解：由x-2y= - 2可得y= ，

同理，由2x – y=2可得y=2x – 2，

在同坐标系中作出一次函数y= 的图象和y=2x – 2的图象，

观 察图象，得两直线交于点（2，2），所以方程组 x-2y= - 2

2x – y=2

的 解是 x = 2

y= 3

同学们你从本题中感悟到什么？

归纳：我们解二元一次方程组除了代入法和加减法 外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：1、把二元一次方程化成一次函数的形式；2、在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点。3、交点坐标就是方程组的解。

练 习：1、用作图象的方法解方程组 2x+y=4

2x-3y=12

[由2x+y=4 得 y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y= 在同一直角坐标系中作出函数y= -2x+4和函数y= 的图象，观察图象可得交点为（3，-2），所以方程组

2 x+y=4 的解是 x =3

2x-3y=12 y= - 2

1. 在图中的两直线l₁、l₂的

交点坐标可以看作 的解。

答案： y=1+2x y=4 - x

四、试一试

1、有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？

2、一次函数y=2 –x，y=5 - x的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？

学生经过尝试是很容易发现x+y=2和x+y=5时没有一组数同时适合这两个二元一次方程的．即 这个二元一次方程组无解．

对于一次函数y=2－x，y=5－x的图象可以让学生作出它们的图象（下图）观察可以发现它们的图象（直线）是互相平行的，即它们无公共点．

结果：我们从中可以“悟”出：方程组的解与函数图象交点之间的关系：当函数的图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数的图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解．反之也成立．

我们可以得到：

二元一次方程组无解<=>一次函数的图象平行（无交点）

二元一次方程组有一解<=>一次函数的图象相交（有一个交点）

二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图象重合（有无数个交点）

四、小结

1、二元一次方程的图象实际上就是一次函数的图象

2、用图象法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图象法来解代数问题。

五、作业

教材：P140—141页5、7、8

课后反思：