2.5.2 矩形的判定
要点感知1 三个角是__________角的四边形是矩形.
预习练习1-1 在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是__________形.
要点感知2 对角线__________的平行四边形是矩形.
预习练习2-1 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是_______(只填一个).
知识点1 三个角是直角的四边形是矩形
1.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否为直角
D.测量四边形的其中三个角是否都为直角
2.如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).
3.已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠1=∠2
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
6.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.
8.在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )
A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC
9.下列关于矩形的说法，正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
10.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC
第10题图 第11题图 第12题图
11.如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )
A.2
B.3
C.4 D.4
12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).
13.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.
14.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD=
AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.
15.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角角平分线于点F.
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
参考答案
要点感知1 直
预习练习1-1 矩
要点感知2 相等
预习练习2-1 答案不唯一，如∠BAD=90°或AC=BD等
1.D 2.①②③④
3.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AB∥CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°.
又□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.
∴∠BAF+∠ABF=90°，∠GBC+∠GCB=90°.
∴∠GFE=∠AFB=90°，∠G=90°.
同理可证∠GHE=90°，∠E=90°.
∴四边形EFGH为矩形.
4.C 5.C 6.60
7.证明：∵∠1=∠2，
∴BO=CO，即2BO=2CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD.
∴AC=2CO，BD=2BO.
∴AC=BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
8.A 9.D 10.C 11.A 12.答案不唯一，如：∠ABC=90°或AC=BD
13.证明：∵AC＝AB，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD-∠CAB＝∠CAE-∠CAB，即∠CAD=∠BAE.
∴△ADC≌△AEB（SAS）.
∴DC＝BE.
又∵DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形.
连接BD，CE.
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD＝CE.
∴四边形BCDE是矩形.
14.(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA=OC.
∵AE=CF，∴OE=OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB=∠OFD.
又∵∠EOB=∠FOD，
∴△BOE≌△DOF.
(2)∵△BOE≌△DOF，∴OD=OB.
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵OD=
AC，OD=
BD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
15.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.
∴OF=OC，
同理可证：OC=OE，
∴OE=OF.
(2)由(1)知：OF=OC，OC=OE，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC.
∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC，
而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°，
∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°，
∴EF=
=
=13.
∴OC=
EF=
.
(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形.
理由：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时有OA=OC，
∴四边形AECF为平行四边形.
又∵∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形.