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【329562】2.5.2 矩形的判定1

时间:2025-02-02 18:24:02 作者: 字数:5684字

2.5.2 矩形的判定

要点感知1 三个角是__________角的四边形是矩形.

预习练习1-1 在四边形ABCD中,若∠A=∠B=∠C=∠D,则四边形ABCD__________.

要点感知2 对角线__________的平行四边形是矩形.

预习练习2-1 如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,应添加的条件是_______(只填一个).

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知识点1 三个角是直角的四边形是矩形

1.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是( )

A.测量对角线是否相互平分

B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否为直角

D.测量四边形的其中三个角是否都为直角

2.如图,从下列图中选择四个拼图板,可拼成一个矩形,正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).

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3.已知:如图,ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH为矩形.

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知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形

4.如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,需添加的条件是( )

A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠1=∠2

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4题图 第5题图 第6题图

5.如图,四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O,已知下列6个条件:①AB∥DC;②AB=DC;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )

A.①②③ B.②③④ C.②⑤⑥ D.④⑤⑥

6.如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AEBF.当∠ACB__________度时,四边形ABFE为矩形.

7.如图,四边形ABCD是平行四边形,ACBD交于点O,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是矩形.

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8.ABCD中,ACBD于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )

A.AB=AD B.OA=OB C.AC=BD D.DC⊥BC

9.下列关于矩形的说法,正确的是( )

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相平分的四边形是矩形

C.矩形的对角线互相垂直且平分

D.矩形的对角线相等且互相平分

10.如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是( )

A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC

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10题图 第11题图 第12题图

11.如图△ABC中,AC的垂直平分线分别交ACAB于点DFBE⊥DFDF的延长线于点E,已知∠A=30°BC=2AF=BF,则四边形BCDE的面积是( )

A.2 <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> B.3 <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> C.4 D.4 <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a>

12.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).

13.如图,ABACADAEDEBC,且∠BAD=∠CAE,求证:四边形BCDE是矩形.

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14.如图,四边形ABCD的对角线ACBD交于点O,已知OAC的中点,AE=CFDF∥BE.

(1)求证:△BOE≌△DOF

(2)OD= <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> AC,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.


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15.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.MN交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角角平分线于点F.

(1)求证:OE=OF

(2)CE12CF5,求OC的长;

(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.


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参考答案


要点感知1

预习练习1-1

要点感知2 相等

预习练习2-1 答案不唯一,如∠BAD=90°AC=BD


1.D 2.①②③④

3.四边形ABCD是平行四边形,

∴BC∥ADAB∥CD.

∴∠ABC+∠BCD=180°,∠BAD+∠ABC=180°.

ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.

∴∠BAF+∠ABF=90°,∠GBC+∠GCB=90°.

∴∠GFE=∠AFB=90°,∠G=90°.

同理可证∠GHE=90°,∠E=90°.

四边形EFGH为矩形.

4.C 5.C 6.60

7.证明:∵∠1=∠2

∴BO=CO,即2BO=2CO.

四边形ABCD是平行四边形,

∴AO=COBO=OD.

AC=2COBD=2BO.

∴AC=BD.

四边形ABCD是平行四边形,

四边形ABCD是矩形.

8.A 9.D 10.C 11.A 12.答案不唯一,如:∠ABC=90°AC=BD

13.证明:∵ACABADAE,∠BAD=∠CAE

∴∠BAD-∠CAB=∠CAE-∠CAB,即∠CAD=∠BAE.

∴△ADC≌△AEBSAS.

∴DCBE.

又∵DEBC

四边形BCDE是平行四边形.

连接BDCE.

∵ABACADAE,∠BAD=∠CAE

∴△ABD≌△ACE(SAS).

∴BDCE.

四边形BCDE是矩形.

14.(1)证明:∵OAC的中点,∴OA=OC.

∵AE=CF,∴OE=OF.

∵DF∥BE,∴∠OEB=∠OFD.

又∵∠EOB=∠FOD

∴△BOE≌△DOF.

(2)∵△BOE≌△DOF,∴OD=OB.

∵OA=OC

四边形ABCD是平行四边形.

∵OD= <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> ACOD= <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> BD

∴AC=BD

四边形ABCD是矩形.

15.(1)证明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD

∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.

∴OF=OC

同理可证:OC=OE

∴OE=OF.

(2)(1)知:OF=OCOC=OE

∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.

∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC

而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°

∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°

∴EF= <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> = <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> =13.

∴OC= <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> EF= <a href="/tags/868/" title="判定" class="c1" target="_blank">判定</a> <a href="/tags/900/" title="矩形" class="c1" target="_blank">矩形</a> .

(3)当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形.

理由:由(1)OE=OF,当点O移动到AC中点时有OA=OC

四边形AECF为平行四边形.

又∵∠ECF=90°

四边形AECF为矩形.