2.5.2 矩形的判定
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）
①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．三个角是直角的多边形是矩形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形
4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．
图1 图2
5．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______．
6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E，OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．
7
．如图所示，□ABCD的四个内
角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．
8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？
9
．（一题多解题）如图所示，△AB
C为等腰三角形，AB=AC，CD⊥
AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？
1
0．如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？
11．如图所示是一个书架，你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？
12．已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
1
3．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．
图1 图2
1
4．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点
D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．
参考答案
1．C 2．B 3．D 4．8cm 5．矩；1：2 6．8cm；4cm
7．解：∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°，
所以四边形EFGH是矩形．
8．解：四边形AECF是矩形．∠ECF=
（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°，
点拨：本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．
9．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．
四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．
图1
又
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．
又
因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC
所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．
图2．
解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，
四边形HEDC是矩形．所以EH=PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．
△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．
10．解：是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE=
BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．
11．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．12．D
13．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：
方法一：如图（1），方法二：如图（2）
14．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，
则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=
，所以BE=BD-DE=BD-AD=
-1，BG=AB-AG=2-AG，设AG=EG=x，则BG=2-x．在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=（
-1）2+x2，
解
得x=
，即AG=
．