2.2.2平行四边形的判定

第一课时

教学目标

1、经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的判定方法；会判定一个四边形是不是平行四边形。

2、经历“观察—猜想—验证—说理—建模”探索过程和思维过程，丰富学生从事数学活动的经历，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性。

3、在观察分析探究问题过程中发展主动探索、独立思考的习惯。

教学重难点

重点：探索平行四边形的两种判别方法

难点：平行四边形的判别方法的理解和应用

教学过程

一、复习导入（出示ppt课件）

1．平行四边形定义是什么？如何表示？

2．平行四边形性质是什么？如何概括？

定 义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD；AD∥BC；

AB=CD；AD=BC；∠BAC=∠BCD；∠ABC=∠ADC；OA=OC；OB=OD

3 、问题：具有什么条件的四边形是平行四边形？

二、合作交流（出示ppt课件）

1、定义法：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

如图∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形

跟 踪训练：如图，在□ABCD中，AE与CF平行并分别

交BC、AD于点E、点F，

试说明四边形AECF是平行四边形

证明：在□ABCD中，∵AD∥BC，即：AF∥CE，

又∵AE∥CF，∴四边形ABCD是平行四边形

还有其他的方法判定四边形是平行四边形吗？

2 、从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB 出发，画出一个平行四边形呢？

如图，把线段AB平移到某一位置，得到线段DC，

则可知AB∥DC ，且AB=DC. 由于点A，B的

对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移

的性质: 两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC.由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.

把上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？

如 图，已知AB∥DC，且AB=DC，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.

可证明：△ABC≌△CDA(SAS)

∴∠3=∠4∴AD∥BC，又AB∥DC

∴四边形ABCD是平行四边形

由此得到平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

三、知识应用（出示ppt课件）

例 1 已知：如图，在□ABCD的边BC，AD上分别取一个点E，F，使得 ， . 连结BF，DE. 求证：四边形BEDF是平行四边形.

证明：由于四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥ BC，AD= BC，又∵ ，

∴ BE=FD. 又 BE∥FD，

所以四边形BEDF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)

如 图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔

能摆成一个平行四边形的形状吗？

问题抽象出来是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？

已 知，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC

求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：连接AC. ∵ AB=CD，BC=DA，AC=CA ，

∴ △ABC≌△CDA. ∴ ∠1=∠2.

则 AD∥BC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

由此得到平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

例 2、如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明： ∵ △ABC≌△CDA ，∴ AB=DC ，AD=BC .

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

例 3.如图，四边形ABCD中，CF⊥BC交BD于点F，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E， 且AE=CF.

求证:(1)四边形ABCD是平行四边形． (2) AF=EC.

证明：(1) ∵ AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF， 又CF⊥BC ，AE⊥AD

∴∠EAD=∠FCB=90°，AE=CF

∴△AED≌△CFB(AAS)

∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

(2)∵△ AED≌△CFB，∴∠AED=∠CFB ∴ AE ∥ FC ，

∵ AE=FC, ∴四边形AECF是平行四边形． ∴ AF=EC.

四、巩固练习（出示ppt课件）

五、课堂小结（出示ppt课件）

思考：1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？

2.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？

六、作业：p46练习 p49 A 4、5

第二课时

教学目标

1、使学生掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算。

2、经历观察、归纳等教学活动过程，培养学生的合作精神和有条理的思考和探究的能力。 

3、通过生动有趣的数学活动，让学生主动探索、敢于表达、乐于合作交流，进一步体验数学在生活中的应用，体验因学习而带来的快乐。

教学重难点

重点：理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理

难点：判定定理的证明方法及运用

教学过程

一 、知识复习（出示ppt课件）

我们学习了哪些平行四边形的判定方法？

平 行四边形的定义

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

两组对边分别相等

已知：四边形ABCD中，AD∥BC，分别添上哪些条件，能使四边形ABCD为平行四边形？

AB∥CD；AD=BC；∠A=∠C；∠A+∠D=∠B+∠C.

若 把已知条件换成“AD=BC”呢？

二、探究新知（出示ppt课件）

观察下图 ，将两根细木条的中点重叠，用小钉钉在一起，

从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，

你 能画出一个平行四边形吗？

抽象成几何作图：

过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC，

OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，

则四边形ABCD是平行四边形，如图

你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？

由于OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD

因此△OAB≌△OCD. (SAS) 从而 AB = CD ，∠ABO=∠CDO .

于是 AB∥DC. 同理:BC∥AD 所以四边形ABCD是平行四边形.

由此得到平行四边形的判定定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形.

三、知识应用（出示ppt课件）

例 1.已知：如图，在□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E，F在BD上且OE=OF.

求证：四边形AECF是平行四边形.

证明：由于四边形ABCD是平行四边形，

因此OA=OC.

又OE=OF，

所以四边形AECF是平行四边形.

例2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C ，∠B=∠D.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证 明：∵ ∠A =∠C， ∠B =∠D，∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，

∴

∴BC∥AD . 同理，AB∥DC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.

从 例2 可以看出， 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

例3.如图，在□ABCD中，点E、F是对角线

AC上两点，且AE=CF.

求证：四边形BFDE是平行四边形

解法一 ；证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴ AB//CD，AB=CD, ∴∠BAE=∠DCF,

∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF，

∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=∠DFE,

∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形。

解法二：证明：连结BD，交AC于点O

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OB＝OD，OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）

∵AE＝FC，∴OE＝OF，

∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

思考：本例把结论改成“求证：∠EBF=∠FDE. ”怎么证明？

议一议：1.两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？

如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.

2.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？

如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.

四、巩固练习（出示ppt课件）

五、归纳小结（出示ppt课件）

1、通过这节课的学习，需要我们熟练掌握

平行四边形的性质和判定并能灵活运用其解决相关的计算与证明。

2、课外请同学们：分别用文字语言、图形语言、符号语言总结归纳平行四边形的判定方法。（列表）（见ppt课件）

六、作业：p50 A 6 B 8、9、10