1.4 角平分线的性质

教学目标

1．角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．

3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

教学重难点

重点：角平分线的性质及其应用．

难点：灵活应用两个性质解决问题．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．

Ⅱ．导入新课

角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．

折出如图所示的折痕PD、PE．

画一画

按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？

投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．

结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？

[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．

由已知事项推出的事项：PD=PE．

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)

问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL)．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．

由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？

分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．

思考：

如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？

1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？

2．比例尺为1：20000是什么意思？

结论：

1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：

第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

III例题与练习

P23例1 如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2.

(1)求证：点B在∠ADC的平分线上；

(2)求证：BD是∠ABC的平分线.

P25如图1-30，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE + PF与PB的大小关系.

练习：

强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．

IV．课时小结

今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．