【329474】1.4 第1课时 角平分线的性质定理
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理
要点感知 角平分线的性质定理:角的平分线上的点到__________的距离相等.
预习练习 已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,则点D到AC的距离是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
知识点 角平分线的性质
1.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,BC=8,BD=5,则点D到AB的距离等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图,P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合),过P分别向角的两边作垂线PD,PE,垂足是D,E,连接DE,那么图中全等的直角三角形共有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.没有
4.已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且AB∶AC=3∶2,则△ABD与△ACD的面积之比为__________.
5.如图,已知BD是∠ABC的内角平分线,CD是∠ACB的外角平分线,由D出发,作点D到BC,AC和AB的垂线DE,DF和DG,垂足分别为E,F,G,则DE,DF,DG的关系是__________.
第5题图 第6题图
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE是∠ABC的平分线,ED⊥AB于D,ED=3,AE=5,则AC=__________.
7.如图,已知CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.
求证:OB=OC.
8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:∠B=∠C.
9.如图,△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=2,BD是∠ABC的平分线,设△ABD,△BCD的面积分别为S1、S2,则S1∶S2等于( )
A.2∶1 B.
∶1
C.3∶2 D.2∶
第9题图 第10题图 第11题图
10.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图所示,若AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.无法确定
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,AC=8 cm,且CD∶AD=1∶3,则点D到AB的距离为__________cm.
14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图,P是△ABC的内角平分线的交点,已知P点到AB边的距离为1,△ABC的周长为10,则△ABC的面积为__________.
15.已知:在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,求证:BD+DE=AC.
16.已知:如图所示,△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:CF=EB.
17.如图,△ABC中,若AD平分∠BAC,过D点作DE⊥AB,DF⊥AC,分别交AB,AC于E,F两点.求证:AD⊥EF.
18.如图,△ABC中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于E,EF⊥AB,交AB于F,EG⊥AC,交AC的延长线于G,试问:BF与CG的大小如何?证明你的结论.
参考答案
要点感知 角的两边
预习练习 B
1.C 2.B 3.A 4.3∶2 5.DE=DF=DG 6.8
7.证明:∵AO平分∠BAC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,
∴OE=OD.
在Rt△OBE和Rt△OCD中,∠EOB=∠DOC,∠BEO=∠CDO=90°,
∴△OBE≌△OCD(ASA).
∴OB=OC.
8.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF,DB=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.5
15.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE.
∴BC=BD+CD=BD+DE.
∵AC=BC,
∴AC=BD+DE.
16.证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DC⊥AC于C,
∴DE=DC.
又∵BD=DF,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB.
17.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°.
∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°,∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°,
∴∠EDA=∠FDA.
∴AD⊥EF.
18.相等.
证明:连接EB,EC.
∵AE是∠BAC的平分线,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵ED⊥BC于D,D是BC的中点,
∴EB=EC.
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).
∴BF=CG.
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