1.4 角平分线的性质

第1课时 角平分线的性质定理

要点感知 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.

预习练习 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )

A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm

知识点 角平分线的性质

1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )

A.5 B.4 C.3 D.2

2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

第2题图 第3题图 第4题图

3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )

A.3对 B.2对 C.1对 D.没有

4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.

5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.

第5题图 第6题图

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.

7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.

求证：OB=OC.

8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

求证：∠B=∠C.

9.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S₁、S₂，则S₁∶S₂等于( )

A.2∶1 B. ∶1 C.3∶2 D.2∶

第9题图 第10题图 第11题图

10.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于( )

A.4 B.3 C.2 D.1

11.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S_△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )

A.3 B.4 C.5 D.6

12.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为( )

A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.无法确定

第12题图 第13题图 第14题图

13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.

14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.

15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.

16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.

17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC于E,F两点.求证：AD⊥EF.

18.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.

参考答案

要点感知 角的两边

预习练习 B

1.C 2.B 3.A 4.3∶2 5.DE=DF=DG 6.8

7.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

∴OE=OD.

在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，

∴△OBE≌△OCD(ASA).

∴OB=OC.

8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.

∵D是BC的中点，

∴BD=CD.

在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).

∴∠B=∠C.

9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.5

15.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE.

∴BC=BD+CD=BD+DE.

∵AC=BC，

∴AC=BD+DE.

16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，

∴DE=DC.

又∵BD=DF，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).

∴CF=EB.

17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.

∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，

∴∠EDA=∠FDA.

∴AD⊥EF.

18.相等.

证明：连接EB，EC.

∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，

∴EF=EG.

∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，

∴EB=EC.

∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).

∴BF=CG.