1.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
要点感知 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.
预习练习 如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是____________________.
知识点 角平分线的判定
1.如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=( )
A.20° B.25° C.30° D.50°
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )
A.线段CD的中点
B.OA与OB的中垂线的交点
C.OA与CD的中垂线的交点
D.CD与∠AOB的平分线的交点
3.如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是( )
A.AD=CP B.点D在∠ABC的平分线上
C.△ABD≌△CBD D.∠ADB=∠CDB
4.如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.
第4题图 第5题图
5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.
6.如图：在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为F，DE=BD，CE=FB.求证：点D在∠CAB的角平分线上.
7.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
8.下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中( )
A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确
第9题图 第10题图
10.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
11.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=__________.
12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.
13.如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P.
14.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
参考答案
要点感知 角的平分线
预习练习 角平分线定理的逆定理
1.B 2.D 3.A 4.PC=PD 5.27°
6.证明：∵DF⊥AB，∠C=90°，
∴∠DFB=∠C=90°.
在Rt△CED和Rt△FBD中，DE=DB,CE=FB,
∴△CED≌△FBD(HL).
∴DC=DF.
∵DF⊥AB，DC⊥AC，
∴点D在∠CAB的角平分线上.
7.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF与△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS).
∴DF=DE.
∴AD是∠BAC的平分线.
8.B 9.B 10.D 11.115°
12.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△DCF是直角三角形.
∵BD=CD，BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线.
13.作法：(1)作出∠BAC的平分线AD；
(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.
∴点P就是所求的点.图略.
14.(1)AM平分∠DAB.
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E.
∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2.
∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC.
又∵MC=MB，∴ME=MB.
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB.
(2)AM⊥DM.
理由：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB.
∴CD∥AB.
∴∠CDA+∠DAB=180°.
又∵∠1=
∠CDA，∠3=
∠DAB，
∴2∠1+2∠3=180°.
∴∠1+∠3=90°.
∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.