【329475】1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理

1.4 角平分线的性质

第2课时 角平分线的性质定理的逆定理

要点感知 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.

预习练习 如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是____________________.

知识点 角平分线的判定

1.如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=( )

A.20° B.25° C.30° D.50°

第1题图 第2题图 第3题图

2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )

A.线段CD的中点

B.OA与OB的中垂线的交点

C.OA与CD的中垂线的交点

D.CD与∠AOB的平分线的交点

3.如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是( )

A.AD=CP B.点D在∠ABC的平分线上

C.△ABD≌△CBD D.∠ADB=∠CDB

4.如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.

第4题图 第5题图

5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.

6.如图：在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为F，DE=BD，CE=FB.求证：点D在∠CAB的角平分线上.

7.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.

8.下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9.如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中( )

A.全部正确 B.仅①和②正确 C.仅①正确 D.仅①和③正确

第9题图 第10题图

10.如图，直线l₁，l₂，l₃表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( )

A.1处 B.2处 C.3处 D.4处

11.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=__________.

12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线.

13.如图，某校八年级学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN，请你找出点P.

14.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请你证明你的结论；

(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.

参考答案

要点感知 角的平分线

预习练习 角平分线定理的逆定理

1.B 2.D 3.A 4.PC=PD 5.27°

6.证明：∵DF⊥AB，∠C=90°，

∴∠DFB=∠C=90°.

在Rt△CED和Rt△FBD中，DE=DB,CE=FB,

∴△CED≌△FBD(HL).

∴DC=DF.

∵DF⊥AB，DC⊥AC，

∴点D在∠CAB的角平分线上.

7.证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°.

在△BDF与△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，

∴△BDF≌△CDE(AAS).

∴DF=DE.

∴AD是∠BAC的平分线.

8.B 9.B 10.D 11.115°

12.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BDE和△DCF是直角三角形.

∵BD=CD，BE=CF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).

∴DE=DF.

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是△ABC的角平分线.

13.作法：(1)作出∠BAC的平分线AD；

(2)连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.

∴点P就是所求的点.图略.

14.(1)AM平分∠DAB.

证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E.

∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2.

∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC.

又∵MC=MB，∴ME=MB.

∵MB⊥AB，ME⊥AD，

∴AM平分∠DAB.

(2)AM⊥DM.

理由：∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥CB，AB⊥CB.

∴CD∥AB.

∴∠CDA+∠DAB=180°.

又∵∠1= ∠CDA，∠3= ∠DAB，

∴2∠1+2∠3=180°.

∴∠1+∠3=90°.

∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.