勾股定理的应用

一、选择题

1. 现有两根木棒，长度分别为44cm和 55cm，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）cm

A. 55 B. 44 C. 33 D.22

2. 如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）

A. 45m B. 40m C. 50m D. 56m.

3. 如图，已知雕塑底座的AB边长160cm ,AD为120cm,要使AB垂直于AD,BD的长应为（ ）

A. 180cm B. 200cm C. 220cm D. 240cm

4. 如图，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（ ）

A. 14m B. 13m C.12m D.10m

5. 如图，在高为5m,坡长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A. 17m B. 18m C. 25m D. 26m

6.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（ ）

A. 8 B. 5 C. 3 D. 2

7. 放学后，斌斌先去同学小华家玩了一会，再回到家里。已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（ ）

A. 正东方向 B. 正南方向 C. 正西方向 D. 正北方向

8.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是 （ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形

C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对

二、填空题

9. 一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.

10.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行15千米，此时轮船与A点的距离为______。

11. 如图，一个高2米，宽3米的大门上，在相对角的定点间加了一块加固木板，则以这块加固木板为边长的正方形的面积为______.

12. 在△ABC中，∠C=90°，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以20cm/s的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要 分钟的时间.

13. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

14. 在一个长6米，宽3米，高2米的房间里放进一根竹竿，这根竹竿最长是_______米。

15. 如图，某农户有一块直角三角形地，两直角边长分别为15米和36米，靠近这块地的斜边有一个长方形养鱼塘，已知鱼塘宽5米，则这个鱼塘的面积是________。

三、解答题

16. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

17.学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足 ,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！

(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 ______mm； _______mm；较长的一条边长 _______mm。

比较 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是 ______mm； _______mm；较长的一条边长 _______mm。

比较 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；

(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:

　　　　　　　　　　　　　　　　　；

　　　　　　　　　　　　　　　　　。

(4)对你猜想 与 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

参考答案

一、

1、C【思路分析】最短木棒说明是直角边，由此可以判断55 cm是斜边，设最短木棒长为xcm,根据勾股定理得 ,即 ，x=33.

2、B【思路分析】由题意知∠AOB是直角。故由勾股定理得 ，所以AB＝40.

3、B【思路分析】根据勾股定理的逆定理，当三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，则有 ，所以BD=200cm.

4、D【思路分析】本题不能盲目地利用勾股定理求解。当A沿AB-BC-CD这一路线时，旅程最小，是3+4+3=10m.

5、A【思路分析】地毯的两条直角边的和。根据勾股定理可求另一条直角边为12m,故地毯的长度至少为12+5＝17m.

6、B【思路分析】把题目中的几何体侧面展开如下平面图形所示，则AB即为所求。由勾股定理，得AB²=1²+2²=5.本题答案是B。

7、D【思路分析】由于5²+12²＝13²,可以确定此三角形是直角三角形，且∠ACB是直角，故AC⊥BC，即点A在点C的正北方向。本题答案是D。

8、A【思路分析】根据勾股定理可知AC²=2²+3²=13,BC²=1²+8²=65,AB²=4²+6²=52, AC²+ AB²=65,可见AC²+AB²=BC²,所以△ABC是直角三角形.

二、

9、30 【思路分析】设在杯中的吸管的长度为xcm,由半径为10cm可知直径为20cm.根据勾股定理得x²=20²+15²=625=25²,所以x=25,即在杯内的吸管的长度为25cm,故吸管的总长度为30cm.

10、25千米 【思路分析】根据题意，画出图形如下，AC即为所求。由勾股定理得，AC²＝AB²+BC²＝20²+15²=625=25²,所以AC＝25.

11、13m² 【思路分析】正方形的面积实际上就是以该大门的高、宽为直角边的直角三角形中，斜边的平方。由勾股定理得斜边的平方＝2²+3²＝13.所以正方形的面积为13m².

12、12【思路分析】根据勾股定理可求AB=100cm,所以蜗牛走的总路程为100+60+80=240cm,故用240÷20=12分钟.

13、4 【思路分析】假设他们所走的路长为xm,根据勾股定理得x²＝3²+4²＝25=5²,所以x=5,比实际少走了3+4-5＝2m,少走了2×2＝4步。

14、7【思路分析】如下图，若求AB，要利用两次勾股定理。AB²＝2²+3²+6²＝49＝7²,故这根竹竿最长是7米。

15、195米² 【思路分析】设长方形的长为xm,则根据勾股定理得x²＝36²+15²＝1521=39²,所以x＝39.所以这个鱼塘的面积为39×5＝195米².

三、

16.【思路分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后根据轴对称及角平分线的性质把问题转化成方程的问题来求解。

解：在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB²＝AC²+BC²＝6²+8²＝100=10²,即AB=10cm，错误！链接无效。可以知道△AED≌△ACD，所以AE=AC，DE=DC，∠AED=∠ACD=90°，设DC=xcm，则DE=xcm，BD=(8-x)cm，BE=4cm，(8-x)²=x²+4²，解得x=3(cm).

17.【思路分析】本题主要考查动手操作能力。（1），（2）两小题通过动手操作寻找答案即可。

(1)略

(2)略

（3）在锐角三角形中,三边满足 ；

在钝角三角形中,三边满足 .

（4）如图,不妨设∠ACB为钝角，

作AD⊥BC于D点，则D点在BC的延长线上，∵AB²=AD²+BD²，

AC²=AD²+CD²，∴AB²－AC²=BD²－CD²=(BD+CD)(BD－CD)>BC²,

即c²－b²>a², ∴a² +b²< c²。