1.2一定是直角三角形吗
专题 判断三角形形状
1. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2. 在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，
（1）你能判断△ABC的最长边吗？请说明理由；
（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．
3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
-
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1） 请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
参考答案：
1．D 【解析】 ∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，
∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，
∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，
即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
2．解：（1）a是最长边，其理由是：
∵a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，
a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）2＞0，
∴a＞b，a＞c，
∴a是最长边.
（2）△ABC是直角三角形，其理由是：
∵b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，
∴△ABC是直角三角形．
3．解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22-1，b=2×2，c=22+1；
n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1；
n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1.
∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．