1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

第3课时 勾股定理的逆定理

一、选择题

1.下列各组数中，是勾股数的是（ ）

A. 14,36,39 B. 8,24,25

C. 8,15,17 D. 10,20,26

2.下列定理中，有逆定理的个数是（ ）

①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²,则该三角形是直角三角形;③全等三角形的对应角相等;④若a=b, a² =b².

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个[来源:学科网ZXXK]

3．下面各选项给出的是三 角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．

A.1∶1∶2 B.1∶3∶4

C.9∶25∶26 D.25∶144∶169

4.(易错题)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）

A .∠B=∠C-∠A

B.a² = (b+c) (b-c)

C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3[来源:学科网ZXXK]

D.a : b : c=5 : 4 : 3

5.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项 所示的两个直角三角形，其中正确的是（ ）

二、填空题

6．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．

7．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a²＋b²＞c²，则∠c为____________；

②若a²＋b²＝c²，则∠c为____________；

③若a²＋b²＜c²，则∠c为____________．

8．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．

9．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．

10.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知 AB = 13，AD = 12，AC =15，BD=5，则BC的长为 .

三、解答题

11.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.

(1) 如果a=0,那么 ab=0;

(2) 如果x=4,那么x²=16;

(3) 面积相等的三角形是全等三角形；

(4) 如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐 角；

(5) 在一个三角形中，等角对等边.

12．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

13．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

14．已知a、b、c是△ABC的三边，且a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴，试判断三角形的形状．

15. (教材习题变式）如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

16.观察下列各组勾股数的组成特点，你能求出第7组勾股数a，b，c各是多少吗？第n组呢？

第 1 组:3=2X1+1，4=2X1X(1+1),5=2X1X(1 + 1)+1；

第 2 组:5=2X2+1，12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1) + 1；

第 3 组:7=2X3+1，24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1) + 1；

第 4 组:9=2X4+1，40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1) + 1；

…；

第 7 组:a，b，c.

[来源:学|科|网]

参考答案

1. C 解析 ∵14²+36²=1492.39²=1521≠1492，

∴A项不是勾股数；

∵8²+24²=640，25²=625≠640 ，∴B项不是勾股数；

∵8²+15²=289，17²=289，∴C项是勾股数；

∵10²+20²=500，26²=676≠500，∴D项不是勾股数.

点拨：一组数是勾股数，必须符合两个条件：（1）三个数必须是正整数.（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.

2. B 解析 ①的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题；②的逆命题是“若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则三边长a，b，c满足a²+b²=c²”，是真命题；③对应角相等的两个三角形不一定全 等；④若a²=b²，则a与b不一定相等，所以③④的逆命题是假命题，没有逆等理.

3．C．

4. C 解析 A选项，∵∠B=∠C-∠A，∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠C-∠A+∠C=180°，∴∠C=90°，∴ΔABC是直角三角形；B选项，a²=（b+c）（b-c），即a²+c²=b²，∴ΔABC为直角三角形；C选项，∠A：∠B：∠C=5：4：3，则最大角∠A=180°× =75°，则ΔABC为锐角三角形；D选项，a： b：c=5：4：3，则a²=b²+c²，则ΔABC为直角三角形，故选C.[来源:学科网]

5. C 解析 因为7²+24²=25²，15²+20²=25²，所以用长度为7，24，25和15，20，25的小木棒能分别摆成直角三角形，故选C.

6．互逆命题，逆命题．

7．①锐角；②直角；③钝角．

8．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8．

9．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．

10. 14 解析 由AD²+BD²=AB²可知ΔABC为直角三角形，则AD为ΔABC的BC边上的高，在RtΔACD中，CD²=AC²-AD²=15²-12²=81，所以CD=9，B C=BD+CD=5+9=14.

11. 解：（1）的逆命题是如果 ab=0，那么a=0.不成立 .（2）的逆命题是如果x²=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.

点拨：要确定一个命题的逆命题，只要将原命题的题设与结论互换即可.

12．

13．南偏东30°．

14．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a²－b²)(a²＋b²－c²)＝0．

15. 解：如图所示，连接AC.

∵∠B =90°，

∴ΔABC是直角三角形.

依据勾股定理的AC²=AB²+BC²=4²+3²=25=5²，∴AC=5.

在ΔACD中，AD²=13²=169，CD²+AC²=12²+5²=169，∴AD²=AC²+CD².

∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.

∴S_四边形ABCD=S_ΔABC+S_ΔACD= AB•BC+ AC•CD= ×4×3+ ×5×12=6+30=36.

∴四边形ABCD的面积为36.

方法：要求不规则四边形ABCD的面积，可把四边形分割成几个三角形，这是常用的方法.此题是先利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断ΔACD为直角三角形，即原四边形ABCD可分割成两个直角三角形.[来源:学_科_网Z_X_X_K]

16. 分析：观察已知勾股数的特点，找出规律.

解：第7组：a=2×7+1=15，b=2×7×（7+1）=112，c=2×7×（7+1）+1=113.

第n组：a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1.