1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

第3课时 勾股定理的逆定理

一、选择——基础知识运用

1．在△ABC中，AB= ，BC= ，AC= ，则（　　）

A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．∠A=∠B

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）

A．如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形

B．如果a²=b²-c²，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°

C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形

D．如果a²：b²：c²=9：16：25，那么△ABC是直角三角形

3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）

A．a=1，b=2，c=3 B．a=4，b=2，c=3

C．a=4，b=2，c=5 D．a=4，b=5，c=3

4．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1： ；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。其中直角三角形有（　　）个。

A．4 B．3 C．2 D．1

5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠C=∠B

B．a= ，b= ，c=

C．（b+a）（b-a）=c²

D．∠A：∠B：∠C=5：3：2

二、解答——知识提高运用

6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm，求它的面积。

7．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x²-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状。

8．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2 ，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积。

9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边长如图2所示。

（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？

（2）求这个零件的面积。

10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由。

11．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是 米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是 米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？。

12．如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？

参考答案

一、选择——基础知识运用

1．【答案】A

【解析】∵AB²=（ ）²=2，BC²=（ ）²=5，AC²=（ ）²=3，

∴AB²+AC²=BC²，

∴BC边是斜边，

∴∠A=90°。

故选A．

2．【答案】B

【解析】如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a²=b²-c²，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a²：b²：c²=9：16：25，则如果a²+b²=c²，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B。

3．【答案】D

【解析】A、因为1+2=3，所以三条线段不能组成三角形，一定不能组成直角三角形；

B、因为2²+3²≠4²，所以三条线段不能组成直角三角形；

C、因为2²+4²≠5²，所以三条线段不能组成直角三角形；

D、因为4²+3²=5²，所以三条线段能组成直角三角形。

故选：D。

4．【答案】A

【解析】①因为1²+1²=（ ）²三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

②因为9²+40²=41²三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

③设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，则三角分别为30°，60°，90°，故是直角三角形；

④因为符合直角三角形的判定，故是直角三角形。

所以有4个直角三角形。

故选：A。

5．【答案】B

【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；

B、设a=20k，则b=15k，c=12k，

∵（12k）²+（15k）²≠（20k）²，

故不能判定是直角三角形；

C、∵（b+a）（b-a）=c²，

∴b²-a²=c²，

即a²+c²=b²，

故是直角三角形，正确；

D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，

∴∠A= ×180°=90°，

故是直角三角形，正确．

故选：B。

二、解答——知识提高运用

6．【答案】120cm²

【解析】设该三角形的三边是5k，12k，13k．

因为（5k）²+（12k）²=（13k）²，

所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形．

根据题意，得5k+12k+13k=60，

解得k=2，

则5k=10，12k=24，

则该直角三角形的面积是120。

故答案为：120cm²

7．【答案】∵关于x的一元二次方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，

∴b²-4ac=16-4b=0

解得：b=4，

∵a=3，c=5，

∴32+4²=5²，

∴△ABC为直角三角形．。

8．【答案】连接BD，

∵∠C=90°，

∴△BCD为直角三角形，

∵BD²=BC²+CD²=2²+1²=（ ）²，

∵BD＞0，

∴BD= ，

在△ABD中，

∵AB²+BD²=20+5=25，AD²=5²=25，

∴AB²+BD²=AD²，

∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×2 × + ×2×1=6．

故四边形ABCD的面积是6。

9．【答案】（1）∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，

∴AB²+AD²=BD²，

BD²+BC²=DC²，

∴△ABD、△BDC是直角三角形，

∴∠A=90°，∠DBC=90°，

故这个零件符合要求。

（2）这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积

=3×4÷2+5×12÷2

=6+30

=36．

故这个零件的面积是36。

10．【答案】能检查。

作法：如图所示，

（1）在射线PM上量取PA=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B。

（2）连接AB得△PAB。

（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角。

理由：∵PA=3cm，PB=4cm，PA²+PB²=3²+4²=5²．

若AB=5cm，则PA²+PB²=AB²，

根据勾股定理的逆定理可得△PAB是直角三角形，即∠P是直角。

11．【答案】龙梅走的路程： ×4×60=120（米），

玉荣走的路程： ×4×60=160（米），

∵120²+160²=200²，

∴她们走的方向成直角，

以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（ + ）=200÷ = =171 （秒）；

答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171 秒后能相遇．

12．【答案】BM=8×2=16海里，

BP=15×2=30海里，

在△BMP中，BM²+BP²=256+900=1156，PM²=1156，

BM²+BP²=PM²，

∴∠MBP=90°，

180°-90°-60°=30°，

故乙船沿南偏东30°方向航行。