1.1探索勾股定理

专题一 有关勾股定理的折叠问题

1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，

折痕为MN，则线段CN长是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，求∠DKG的度数．

3． 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．

（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；

（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；

（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）

① ② ③

专题二 勾股定理的证明

4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．

问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．

问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．

问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．

5. 如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．

（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．

（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．

参考答案：

1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm.

由折叠的性质知EN=DN=（8-x）cm，

而EC= BC=4 cm，在Rt△ECN中，

由勾股定理可知EN²=EC²+CN²，即（8-x）²=16+x²，

整理得16x=48，所以x=3．

故选A．

2．解：∵DF= CD= DG，∴∠DGF=30°．

∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，

∴∠EKG=∠DGF=30°．

∵2∠DKG+∠GKE=180°，∴∠DKG=75°．

3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN.

故△PMN是等腰直角三角形，AM²+BN²=MN²（或AM=BN= MN）．

2. AM²+BN²=MN².

证明:如图,将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DM、DC、DN，

则△ACM≌△DCM，

∴CD=CA，DM=AM，∠A=∠MDC，∠DCM=∠ACM.

∵∠ACM+∠BCN+∠MCN=∠ACM+∠BCN+45°=90°，∴∠ACM+∠BCN=45°.

又∵∠MCN=∠DCM+∠DCN=45°，∠DCM=∠ACM.

∴∠DCN=∠BCN.

∴CD=CA=CB，

易证△DCN≌△BCN，∴DN=BN，∠CDN=∠CBN.

而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，

∴DM²+DN²=MN²，故AM²+BN²=MN²．

2. AM²+BN²=MN²；解法同（2）

[将△ACM沿CE折叠，A落在G点，连接GM、GC、GN。如图]．

4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′= a²，S″= b²，S= c²，

则S′+ S″= （a²+b²）.因为a²+b²=c²，所以S′+ S″=S．

探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′= a²，S″= b²，S= c²．

则S′+S″= （a²+b²）.因为a²+b²=c²，所以S′+S″=S．

探究3：由圆的面积计算公式知：S′= πa²，S″= πb²，S= πc²．

则S′+ S″= π（a²+b²），因为a²+b²=c²，所以S′+ S″=S．

5. 解：（1）

如图所示，根据正方形的面积可得（a+b）²=4× ab+c²，

即a²+b²=c²．

（2）如图所示．