1 探索勾股定理

基础巩固

1．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，关于这个三角形的下列说法正确的是(　　)．

A．斜边长为25 B．三角形周长为25

C．斜边长为5 D．三角形面积为20

2．下列说法正确的是(　　)．

A．若a，b，c是△ABC的三边，则a²＋b²＝c²

B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a²＋b²＝c²

C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a²＋b²＝c²

D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a²＋b²＝c²

3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．

4．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S₁，S₂，S₃，且S₁＝4，S₂＝12，则AB的长为__________．

5．如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m，长13 m，宽2 m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？

6．如图，一根旗杆在离地面9 m的B点处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部点C 12 m远的点A处，你能求出旗杆折断前的高度吗？若能，请将其求出来．

能力提升

7．如图，一支含苞欲放的荷花长在清澈的荷塘里，露出水面10 cm，一阵强风吹来，荷花顶端恰好没入水中，此时花朵的顶端C与原来的距离为30 cm，请问池水有多深？

8．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m的B处，过了2 s后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？

9．某公司在门前长方形小广场ABCD上空放一氢气球，为使氢气球悬挂于广场中央F的正上方，公司欲从点A到气球E拉一根细绳，已知小广场宽AB＝18 m，长BC＝24 m，气球高EF＝8 m，求细绳AE的长．

10．如图，有一直立的标杆，它的上部被风从B吹折，杆顶C着地，离杆脚2 m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次B低0.5 m，故杆顶E着地比前一次远1 m，求标杆的高．

11．一个零件的形状如图所示，已知AC＝3 cm，AB＝4 cm，BD＝12 cm，求CD的长．

12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，则a²＋b²＝c²，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想a²＋b²与c²的关系，并证明你的结论．

参考答案

1答案：C　点拨：设斜边长为x，由勾股定理，得x²＝3²＋4²＝5²，故x＝5，三角形周长为3＋4＋5＝12，面积为 ×3×4＝6.

2答案：D　点拨：选项A：△ABC不一定是直角三角形；选项B：∠C不一定是直角；选项C：a是斜边，b²＋c²＝a²；选项D：∠C＝90°，则a²＋b²＝c².

3答案：4　点拨：已知AC＝3 m，BC＝4 m，由勾股定理，得AB²＝AC²＋BC²＝3²＋4²＝25，则AB＝5 m．根据假设可知5 m需要走10步，沿B→A走需要10步．而沿B→C→A走需要14步，所以仅仅少走了4步路，却踩伤了花草．

4答案：4　点拨：由勾股定理知，AB²＝BC²＋AC²，且BC²＝S₁＝4，AC²＝S₂＝12，所以BC²＋AC²＝4＋12＝16＝4²，即AB²＝4².所以AB＝4.

5解：根据勾股定理可得水平长为 ＝12 m，

地毯的总长为12＋5＝17(m)，

则地毯的面积为17×2＝34(m²)．

故铺完这个楼道至少需要花34×18＝612元钱．

6解：能求出．

在△ABC中，∵∠BCA＝90°，

∴BC²＋AC²＝AB².

∵BC＝9(m)，AC＝12(m)，

∴9²＋12²＝AB².

∴AB²＝225＝15²，AB＝15(m)．

∴BC＋AB＝24(m)．

∴旗杆折断前的高度是24 m.

点拨：由于旗杆折断前的高度等于AB＋BC＝AB＋9，那么要判断能否求出旗杆折断前的高度，只需判断能否求出AB的长．根据勾股定理，能求出AB的长．

7解：设水深AB为x cm，则荷花高为(x＋10) cm.

在Rt△ABC中，AC＝x＋10，

由勾股定理，得x²＋30²＝(x＋10)²，

解得x＝40.故池水深为40 cm.

8解：由题意，得AB＝30 m，AC＝50 m.

由勾股定理，得BC²＝AC²－AB²＝50²－30²＝40².于是BC＝40 m.

此时小汽车的速度为40÷2＝20(m/s)．

∵20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，

∴这辆小汽车超速了．

点拨：利用勾股定理求出小汽车行驶的距离，再求出它的速度，与规定速度比较即可．

9解：∵在Rt△ABC中，

AC²＝AB²＋BC²＝18²＋24²＝30²，

∴AC＝30 m，AF＝15 m.

又在Rt△AEF中，

AE²＝EF²＋AF²＝8²＋15²＝17²，

∴AE＝17 m，即细绳长17 m.

点拨：△ABC和△AEF都是直角三角形．

10解：设DE＝x，AD＝y，则AB＝y＋0.5，BC＝x－0.5.

在Rt△ADE中，AE＝3，x²－y²＝3².①

在Rt△ABC中，AC＝2，(x－0.5)²－(y＋0.5)²＝2².②

由①－②，得x＋y＝5，即DE＋AD＝5 m.

故标杆的高为5 m.

点拨：要求标杆的高，即求AD＋DE的和，图中存在Rt△ABC和Rt△EDA，利用勾股定理，结合AB＝AD＋0.5，BC＝DE－0.5来解．

11解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得

BC²＝AC²＋AB²＝3²＋4²＝25.

在Rt△CBD中，根据勾股定理，得CD²＝BC²＋BD²＝25＋12²＝169，所以CD＝13.

12解：若△ABC是锐角三角形，则有a²＋b²＞c²；若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，

则有a²＋b²＜c²；

当△ABC是锐角三角形时，证明如下：

如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D.

设CD为x，则有DB＝a－x.

由勾股定理，得b²－x²＝c²－(a－x)²，

即b²－x²＝c²－a²＋2ax－x².

于是a²＋b²＝c²＋2ax.

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a²＋b²＞c².

当△ABC是钝角三角形时，证明如下：如图②，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D.

设CD为x，则有DB²＝a²－x².

由勾股定理，得(b＋x)²＋a²－x²＝c²，

即b²＋2bx＋x²＋a²－x²＝c².

于是a²＋b²＋2bx＝c².

∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0.

∴a²＋b²＜c².