1.1 等腰三角形

第3课时 等腰三角形的判定与反证法

一．选择题（共8小题）

1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（　　）

A． 5个 B． 6个 C． 7个 D． 8个

　

第1题 第2题 第4题

7. 如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点 ，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（　　）

A． 三条边都相等的三角形D． 一条中线把面积分成相等的两部分的三角形

B． 有 一个锐角是45°的直角三角形C． 一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形

4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（　　）

A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 6种

5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）

A． ∠A=30°，∠B=60° B． ∠A=50°，∠ B=80°

C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13

6． 下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（　　）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

7．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（　　）

A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D． 2，2，5

8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　　）

A． ①③④ B． ①②③④ C． ①②④ D． ①③　

二．填空题（共10小题）

9．求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三角形的_______________.　

10．如图，∠BAC=100°，∠B=4 0°，∠D=20°，AB=3，则CD=　_________　

　

第10题 第11题 第14题 第18题

11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC， 则图中有　_________　个等腰三角形．　

12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是　_________　．　

13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B =　_________　°时， △ABC是等腰三角形．　

14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=　_________　度，图中有　_________　个等腰三角形．　

15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是　_________　．　

16．如果一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是　_________　三角形．　

17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成　_________　种．

18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是　_________　三角形．

三．解答题（共5小题）

19.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．

20．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．

（1）求证：△ABC≌△DCB；

（
2）△OBC的形状是　_________　．（直接写出结论，不需证明）

　

21．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．

求证 ：△ABC是等腰三角形．

　

22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO ；③BD=CE；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角 形？

（
2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．

　

2
3．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．

　

　

答案：一、DCDCBABA

二、9、三个内角都小于60°；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；

14、72,3；15、等腰三角形；

16、等腰；17、4；18、等腰

三 、19.证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，
而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形两底角必为锐角．

20、（1 ）证明：在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB（SSS）．

（2）解：∵△ABC≌△DCB，

∴∠OBC=∠OCB．

∴OB=OC．

∴△OBC为等腰三角形．

故填等腰三角形．

21、解答： 证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵AO平分∠BAC，

∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

∵∠1=∠2，

∴OB=OC．

∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．

∴∠5=∠6．

∴∠1+∠5=∠2+∠6．

即∠ABC=∠ACB．

∴AB=AC．

∴△ABC是等腰三角形．

22.解：（1）①③，①④，②③和②④；

（2）以①④为条件，理由：

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB．

又∵∠DBO=∠ECO，

∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

23.解：△ABC中

∵AB=AC，∠A=36°

∴∠B=∠ACB= （180°﹣∠A）=72°

∵CD平分∠ACB

∴∠DCB= ∠ACB=36°

在△DBC中

∠BDC=180°﹣∠B﹣∠DCB=72°=∠B

∴CD=CB

即△BCD是等腰三角形．