第1章 直角三角形

1.1 直角三角形的性质和判定（Ι）

第1课时 直角三角形的性质和判定

要点感知1 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.

预习练习1-1 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )

A.120° B.90° C.60° D.30°

1-2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm.

要点感知2 直角三角形的判定：有两个角__________的三角形是直角三角形.

预习练习2-1 在△ABC中，∠A=70°，∠B=20°，那么这个三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定

知识点1 直角三角形的两个锐角互余

1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( )

A.24° B.34° C.44° D.46°

2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )

A.60° B.75° C.90° D.105°

3.如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=65°，∠BCE=35°，则∠ABF的度数是__________，∠FBC的度数是__________.

4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.

知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形

5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形

6.下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=( )

A.30° B.40° C.45° D.60°

8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.

9.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数.

10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

11.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于( )

A.110° B.100° C.80° D.70°

12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定

13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为( )

A.3 B.3.5 C.4 D.4.5

14.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.

15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，求DE的长.

16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点.

(1)试说明DE=BE；

(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)

17.如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF= AB.

18.如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E.

求证：∠E= ∠A.

参考答案

要点感知1 互余一半

预习练习1-1 D

1-2 5

要点感知2 互余

预习练习2-1 B

1.B 2.C 3.25° 30° 4.50° 5.B 6.A 7.B 8.直角

9.∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.

∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.

∵△ABC为直角三角形，

∴∠CAB=90°-35°=55°.

∵DC是斜边AB上的中线，

∴AD=BD=CD，

∴∠ACD=∠A=55°.

10.C 11.A 12.B 13.A 14.13

15.∵∠B=∠C，∴AB=AC.

又D是BC的中点，

∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.

又E是AC的中点，∴DE= AC.

∵AB=AC，AB=8，

∴DE= AB= ×8=4.

16.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,

∴DE= AC,BE= AC.

∴DE=BE.

(2)图中的等腰三角形有△CDE、△DAE、△AEB、△BEC、△DEB.

17.证明：∵AE、BE分别平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠EAB，∠ABC=2∠ABE.

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∴2∠EAB+2∠ABE=180°.

∴∠EAB+∠ABE=90°.

∴∠AEB=90°.

∴△AEB是直角三角形.

∵F为AB边的中点，

∴EF= AB.

18.证明：∵CM是△ABC的中线，CD=BM，

∴CD=CM=BM=AM.

∴△CDM是等腰三角形，∠MCB=∠MBC，∠CDM=∠CMD.

∵∠CDM=∠A+∠AMD，∠CMD=∠MCB+∠E=∠BME+∠E+∠E，

即∠A+∠AMD=∠BME+∠E+∠E，

∴∠A=2∠E,

即∠E= ∠A.