【329393】《为什么要证明》课后拓展训练

5.2 为什么要证明

1．下列推理正确的是 ( )

A．小明今年10岁，哥哥比小明大6岁，到了明年，哥哥只比小明大5岁，因为小明明年比今年长了1岁

B．线段a与b相等，原因是它们看起来差不多

C.若a>b，b>c，则a>c

D．因为对顶角相等，所以相等的角也必是对顶角

2．下列结论你能肯定的是 ( )

A．5个数的积为负数，则这5个数中必只有一个负数

B．三个连续整数的积一定能被6整除

C．小明的数学成绩一向很好，因此后天的数学竞赛中他一定能获得一等奖

D．对顶角相等，两直线垂直

3．如图6—7所示的是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n＝20)根时，需要火柴棍的总数为 根．

4．观察下列等式9-1＝8，16-4＝12，25-9＝16，36-16＝20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 ．

5．如图6—8所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BD，点F在AD上，连接BF并延长，交AC于点E．如果DF＝DC，那么BF与AC有何位置关系和数量关系?你能肯定吗?

6．请你观察下列等式，再回答问题．

;

(1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想 的结果，并进行验证；

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式，并加以验证．

7. 如图6-9(1)所示，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD，MD，BC，BD， MC，AC，S_△DMC，

S_△DAC和S_△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S_△DMC＝ .

(1)如图6-9(2)所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S_△DMC= 是否仍然成立?请说明理由；

(2)如图6-9(3)所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点O时，S_△DMC与S_△DAC，S_△DBC有什么样的数量关系?试说明你的结论．

参考答案

1. C 2．B 3．630[提示：设S_i为有i个三角形，当n＝1时，有一个三角形，S₁=1，火柴棍总数为1×3＝3；当n＝2时，S₂＝3，火柴棍总数为3×3＝9；当n＝3时，S₃=6，火柴棍总数为3×6=18；当n＝4时，S₄＝10，火柴棍总数为3×10＝30．发现：3＝l+2，6＝l+2+3，10＝1+2+3+4，…，那么当n＝20时，三角形的总数为1+2+3+…+19+20＝210，火柴棍的总数为3×210＝630根．]

4．(n+2)²-n²＝4(n+1)

5．解：BF⊥AC,且BF＝AC理由：在△BFD和△ADC中，DF＝DC,∠ADB＝∠ADC＝90°, AD＝BD，∴△BFD≌△ACD，∴BF＝AC,∠BFD＝∠C.又∵∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC,即BF⊥AC.

6.解：（1） ，验证略. （2） .验证如下：
7．解：(1)当AB与CD不平行时，S_△DMC= 仍成立．分别过点A，M，B作CD的垂线AE，MN，BF，垂足分别为E，N，F.∵M为AB的中点，∴MN＝ (AE+BF)，∴S_△DAC+S_△DBC= DC·AE+ DC·BF＝ DC·(AE+BF)= DC·2MN=DC·MN=2S_△DMC.∴S_△DMC= (2)S_△DMC= .理由：∵M是AB的中点，∴S_△ADM＝S_△BDM，S_△ACM=S_△BCM,而S_△DBC=S_△BDM+S_△BCM+S_△DMC,① S_△DAC=S_△ADM+S_△ACM-S_△DMC,②∴①-②得S_△DBC-S_△DAC=2S_△DMC,故S_△DMC= .