5.5 三角形内角和定理
一、七彩题:
1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．
2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．
二、知识交叉题:
3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，
∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．
4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A=
，则∠E是多少？
三、实际应用题
5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B间的夹角）就越大，如图所示，你如何证明．
四、经典题
6．如图所示，∠1大于∠2的是（ ）
7．如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
五、探究学习:
1
．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△CBD的形状；
（3）求∠BDC的度数；
2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
图1 图2 图3
小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．
小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=180°．
你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．
3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．
参考答案
一、1．解法一：如图1，延长ED交BC于点F，
因为AB∥DE，所以∠BFE=∠B=80°（两直线平行，内错角相等），
所以∠DFC=100°，
所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-100°=40°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．
图1 图2
解法二：如图2，过点C作CF∥DE，
所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140°=40°（两直线平行，同旁内角互补）．
因为AB∥DE，所以AB∥CF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以∠BCF=∠ABC=80°（两直线平行，内错角相等），
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°．
2．解：如答图，延长CD交AB于E．因为∠C=21°，∠A=90°，
所以∠BED=∠A+∠C=90°+21°=111°．
又因为∠CDB=∠B+∠BED，∠B=32°．
所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°，
故零件不合格．
点拨：本题的巧妙之处在于通过作辅助线，两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，迅速求出∠CDB的值，然后与148°相比较，得出零件不合格．
三、3．解：因为∠BDC是△ADC的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD．
又因为∠A=62°，∠ACD=35°，所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°．
在△BDF中，∠ABE=20°，∠BDC=97°．
所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．
4．解：因为∠ECD是△BCE的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．
因为BE，CE分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC=
∠ABC，∠ECD=
∠ACD．
所以
∠ACD=
∠ABC+∠E，所以∠ACO=∠ABC+2∠E．
又因为∠ACD是△ABC的外角．所以∠ACD=∠A+∠ABC．
所以∠A+∠ABC=∠ABC+2∠E．所以∠A=2∠E，
所以∠E=
∠A=
×50°=25°，若∠A=
，则∠E=
．
三、5．证明：如图，延长AD交BC于E，
因为∠BEA>∠C，∠ADB>∠BEA，所以∠ADB>∠C．
四、6．C
7．B 点拨：因为AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°，
因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以∠E=40°．
五、 探究学习
1．解：（1）三角板旋转的度数为180°-30°=150°．
（2）因为CB=BD，所以△CBD为等腰三角形，
（3）因为∠DBE为△CBD的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为△CBD为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以2∠BDC=∠DBE=30°，所以∠BDC=15°．
点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，要有把现实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．
2．解：他们两人的证法都不对，因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能逆过来证明三角形的内角和定理，这是犯了“循环证明”的错误．
证明：如图，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
又因为点D，A，E在同一条直线上，所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°．
点拨：一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论之间的关系，不要乱用定理．
3.证明：如图所示，在BD上找一点E，使DE=DC．
因为AD⊥BC，
所以在△ADE与△ADC中
，
所以△ADE≌△ADC，所以∠C=∠AED．
又因为∠AED是△ABE的一个外角，
所以∠AED>∠B，所以∠C>∠B，
所以AB>AC．
