【329377】《三角形内角和定理》综合练习2
5.5 三角形内角和定理
一、七彩题:
1.(一题多解)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,求∠BCD的度数.
2.(巧题妙解题)一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别等于32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格.请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因.
二、知识交叉题:
3.(科内交叉题)如图所示,D是AB上一点,E是AC上一点,BE,CD相交于点F,
∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,求∠BDC和∠BFD的度数.
4.(科内交叉题)如图,已知BE,CE分别是△ABC的内角∠ABC,外角∠ACD的平分线,若∠A=50°,你能求出∠E吗?若∠A=
,则∠E是多少?
三、实际应用题
5.在足球比赛中,球员越接近球门,射门角度(射球点与球门两边A,B间的夹角)就越大,如图所示,你如何证明.
四、经典题
6.如图所示,∠1大于∠2的是( )
7.如图所示,AB∥CD,∠1=110°,∠ECD=70°,∠E的大小是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
五、探究学习:
1
.(旋转变换题)如图所示,把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合.
(1)三角尺旋转了多少度?
(2)连接CD,试判断△CBD的形状;
(3)求∠BDC的度数;
2.(阅读理解题)关于三角形内角和定理的证明,小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法.如图1,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
图1 图2 图3
小马的证法:如图2,延长BC到点D,则∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).因为∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),所以∠A+∠B+∠ACB=180°.
小虎的证法:如图3,过点A作AD⊥BC于点D,则∠1+∠B=90°,∠2+∠C=90°(直角三角形的两锐角互余),所以(∠1+∠2)+∠B+∠C=180°,即∠BAC+∠B+∠C=180°.
你认为他们的证法对吗?说说你的看法,请给出一种你认为比较简单且正确的证法.
3.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,∠BAD>∠CAD,求证:AB>AC.
参考答案
一、1.解法一:如图1,延长ED交BC于点F,
因为AB∥DE,所以∠BFE=∠B=80°(两直线平行,内错角相等),
所以∠DFC=100°,
所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-100°=40°
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
图1 图2
解法二:如图2,过点C作CF∥DE,
所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140°=40°(两直线平行,同旁内角互补).
因为AB∥DE,所以AB∥CF(平行于同一条直线的两条直线互相平行),
所以∠BCF=∠ABC=80°(两直线平行,内错角相等),
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°.
2.解:如答图,延长CD交AB于E.因为∠C=21°,∠A=90°,
所以∠BED=∠A+∠C=90°+21°=111°.
又因为∠CDB=∠B+∠BED,∠B=32°.
所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°,
故零件不合格.
点拨:本题的巧妙之处在于通过作辅助线,两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”,迅速求出∠CDB的值,然后与148°相比较,得出零件不合格.
三、3.解:因为∠BDC是△ADC的一个外角,所以∠BDC=∠A+∠ACD.
又因为∠A=62°,∠ACD=35°,所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°.
在△BDF中,∠ABE=20°,∠BDC=97°.
所以∠BFD=180°-20°-97°=63°.
4.解:因为∠ECD是△BCE的外角,所以∠ECD=∠EBC+∠E.
因为BE,CE分别平行∠ABC,∠ACD,所以∠EBC=
∠ABC,∠ECD=
∠ACD.
所以
∠ACD=
∠ABC+∠E,所以∠ACO=∠ABC+2∠E.
又因为∠ACD是△ABC的外角.所以∠ACD=∠A+∠ABC.
所以∠A+∠ABC=∠ABC+2∠E.所以∠A=2∠E,
所以∠E=
∠A=
×50°=25°,若∠A=
,则∠E=
.
三、5.证明:如图,延长AD交BC于E,
因为∠BEA>∠C,∠ADB>∠BEA,所以∠ADB>∠C.
四、6.C
7.B 点拨:因为AB∥CD,所以∠EDF=∠1=∠110°,
因为∠ECD=70°,所以∠EDF=∠ECD+∠E,110°=70°+∠E,所以∠E=40°.
五、 探究学习
1.解:(1)三角板旋转的度数为180°-30°=150°.
(2)因为CB=BD,所以△CBD为等腰三角形,
(3)因为∠DBE为△CBD的外角,所以∠DBE=∠BCD+∠BDC,又因为△CBD为等腰三角形,所以∠BCD=∠BDC.所以2∠BDC=∠DBE=30°,所以∠BDC=15°.
点拨:这是一类动手操作题.在操作过程中要注意发现规律,要有把现实模型抽象为数学问题,从而进一步解决问题的能力.
2.解:他们两人的证法都不对,因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的,不能逆过来证明三角形的内角和定理,这是犯了“循环证明”的错误.
证明:如图,过点A作DE∥BC,因为DE∥BC,所以∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,
又因为点D,A,E在同一条直线上,所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,
所以∠BAC+∠B+∠C=180°,即三角形的内角和是180°.
点拨:一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论之间的关系,不要乱用定理.
3.证明:如图所示,在BD上找一点E,使DE=DC.
因为AD⊥BC,
所以在△ADE与△ADC中
,
所以△ADE≌△ADC,所以∠C=∠AED.
又因为∠AED是△ABE的一个外角,
所以∠AED>∠B,所以∠C>∠B,
所以AB>AC.
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