【329376】《三角形内角和定理》综合练习1
5.5 三角形内角和定理
一、选择题:
1.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O,设∠BOC=
,则∠A等于(
)
A.90°-2
B.90°-
C.180°-2
D.180°-
图1 图2 图3 图4
2.三角形三个内角之比为1:2:3,则该三角形三个外角之比为( )
A.5:4:3 B.3:2:1 C.1:2:3 D.2:3:4
3.已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能
4.等腰三角形的一个外角为110°,它的底角为( )
A.55° B.70° C.55°或70° D.以上均有可能
5.如图2,射线BA,CA交于点A,连接BC,已知AB=AC,∠B=40°,那么x的值是( )
A.40 B.60 C.80 D.100
二、填空题:
6.如果三角形三个外角度数之比为4:2:3,则这个三角形的各外角度数分别为______.
7.如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等,这个三角形只能是_____.
8.如图3所示,一个顶角为40°的等腰三角形的纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=______.
9.如图4所示,在△ABC中,点D是BC上一点,∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C=________.
三、解答题:
10.已知:如图所示,P是△ABC内一点,求证:∠BPC>∠BAC.
11.如图所示,△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于D,AB>AC,求证:∠ACD>∠ABC.
12.一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°,求这个等腰三角形的各内角的度数.
参考答案
一、1.C 点拨:因为BO平分△ABC的一个外角,
所以可知∠3=
(∠A+∠2),
同理∠4=
(∠1+∠A).
又因为∠3+∠4+∠BOC=180°,
即
(∠A+∠2)+
(∠1+∠A)+
=180°,
同时∠1+∠2+∠A=180°,即可求得∠A的度数.
2.A 点拨:因为三角形三个内角之比为1:2:3,
所以可根据三角形内角和定理求得三个内角分别为30°,60°,90°,
即与它们相邻的外角分别为150°,120°,90°,
即可求得对应的外角比.
3.C 点拨:三角形的外角与其相邻的内角互补,由于这个外角小于与它相邻的内角,所以相邻的内角必是钝角,此三角形必为钝角三角形.
4.C
5.C 点拨:因为AB=AC,所以∠B=∠C,
所以x°=40°+40°=80°,所以x=80°.
二、6.160°,80°,120°
点拨:三角形的外角和等于360°,可设外角度数分别为4x°,2x°,3x°,
故可求得各外角度数.
7.直角三角形 点拨:因为外角大于任何一个与它不相邻的内角,故外角只能是与和它相邻的内角相等,而两角之和为180°,故外角及其相邻的内角均为90°.
8.220° 点拨:本题的结构较简单,可利用三角形的外角与内角的等量关系转化.
∠1=∠5+∠4,∠2=∠3+∠5,
所以∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠5=180°+40°=220°;
也可利用四边形内角和为360°来解这道题.
9.23 点拨:此题是三角形角的有关计算,因为AB=AD.
所以∠ADB=(180°-88°)×
=46°.
又因为AD=CD,故∠C=
∠ADB=23°.
三、10.证明:连接AP并延长交BC于E.
因为∠BPE是△BAP的一个外角,所以∠BPE>∠BAE.
又因为∠CPE是△CAP的一个外角,所以∠CPE>∠CAE.
所以∠BPE+∠CPE>∠ABE+∠CAE.即∠BPC>∠BAC.
点拨:本题也可延长BP,交AC于一点,利用“三角形的外角大于与它不相邻的任一内角”来证明.
11.解:因为AB>AC,所以延长CD交AB于点E,如图所示.
因为AD平分∠BAC,所以∠EAD=∠CAD.因为AD⊥CD,
所以∠ADE=∠ADC=90°,所以∠AED+∠EAD=∠CAD+∠ACD=90°,
所以∠AED=∠ACD,又因为∠AED是△BEC的一个外角.
所以∠AED>∠ABC,所以∠ACD>∠ABC.
12.解:因为等腰三角形各内角度数和为180°,
所以该等腰三角形顶角的一个外角为80°,
所以等腰三角形的顶角为100°,
所以等腰三角形的底角为40°,40°.
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