5.5 三角形内角和定理
一、选择题:
1．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=
，则∠A等于（
）
A．90°-2
B．90°-
C．180°-2
D．180°-
图1 图2 图3 图4
2．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（ ）
A．5：4：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．2：3：4
3．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（ ）
A．55° B．70° C．55°或70° D．以上均有可能
5．如图2，射线BA，CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B=40°，那么x的值是（ ）
A．40 B．60 C．80 D．100
二、填空题:
6．如果三角形三个外角度数之比为4：2：3，则这个三角形的各外角度数分别为______．
7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．
8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______．
9．如图4所示，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=________.
三、解答题:
10．已知：如图所示，P是△ABC内一点，求证：∠BPC>∠BAC．
11．如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC，求证：∠ACD>∠ABC．
12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°，求这个等腰三角形的各内角的度数．
参考答案
一、1．C 点拨：因为BO平分△ABC的一个外角，
所以可知∠3=
（∠A+∠2），
同理∠4=
（∠1+∠A）．
又因为∠3+∠4+∠BOC=180°，
即
（∠A+∠2）+
（∠1+∠A）+
=180°，
同时∠1+∠2+∠A=180°，即可求得∠A的度数．
2．A 点拨：因为三角形三个内角之比为1：2：3，
所以可根据三角形内角和定理求得三个内角分别为30°，60°，90°，
即与它们相邻的外角分别为150°，120°，90°，
即可求得对应的外角比．
3．C 点拨：三角形的外角与其相邻的内角互补，由于这个外角小于与它相邻的内角，所以相邻的内角必是钝角，此三角形必为钝角三角形．
4．C
5．C 点拨：因为AB=AC，所以∠B=∠C，
所以x°=40°+40°=80°，所以x=80°．
二、6．160°，80°，120°
点拨：三角形的外角和等于360°，可设外角度数分别为4x°，2x°，3x°，
故可求得各外角度数．
7．直角三角形 点拨：因为外角大于任何一个与它不相邻的内角，故外角只能是与和它相邻的内角相等，而两角之和为180°，故外角及其相邻的内角均为90°．
8．220° 点拨：本题的结构较简单，可利用三角形的外角与内角的等量关系转化．
∠1=∠5+∠4，∠2=∠3+∠5，
所以∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠5=180°+40°=220°；
也可利用四边形内角和为360°来解这道题．
9．23 点拨：此题是三角形角的有关计算，因为AB=AD．
所以∠ADB=（180°-88°）×
=46°．
又因为AD=CD，故∠C=
∠ADB=23°．
三、10．证明：连接AP并延长交BC于E．
因为∠BPE是△BAP的一个外角，所以∠BPE>∠BAE．
又因为∠CPE是△CAP的一个外角，所以∠CPE>∠CAE．
所以∠BPE+∠CPE>∠ABE+∠CAE．即∠BPC>∠BAC．
点拨：本题也可延长BP，交AC于一点，利用“三角形的外角大于与它不相邻的任一内角”来证明．
11．解：因为AB>AC，所以延长CD交AB于点E，如图所示．
因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠CAD．因为AD⊥CD，
所以∠ADE=∠ADC=90°，所以∠AED+∠EAD=∠CAD+∠ACD=90°，
所以∠AED=∠ACD，又因为∠AED是△BEC的一个外角．
所以∠AED>∠ABC，所以∠ACD>∠ABC．
12．解：因为等腰三角形各内角度数和为180°，
所以该等腰三角形顶角的一个外角为80°，
所以等腰三角形的顶角为100°，
所以等腰三角形的底角为40°，40°．