全等三角形 复习指导
一、复习目标
1．理解三角形的有关概念,以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质．
2．掌握一般三角形全等和直角三角形全等的条件，能熟练利用判别方法说明两个三角形全等．
3．掌握用尺规作三角形的基本方法，会利用尺规根据三角形全等的识别方法作三角形．
4．能借助三角形有关知识解决实际生活中的问题．
二、重要知识点回顾（请你仔细阅读并填空）
1．三角形有关概念
（1）定义： 叫三角形．
（2）边角关系：
三角形两边之和 ，三角形两边之差 ；三角形三个内角的和是 ．
（3）分类：
三角形按角分类为 三角形、 三角形、 三角形；直角三角形两锐角
（4）重要线段：
叫做三角形的角平分线， 叫做三角形的中线，
叫做三角形的高，三角形的三条角平分线交于 、三条中线 、三条高所在的直线 ．
2．图形全等
（1）定义： 称为全等图形．
（2）特征：全等图形的 都相同．
3．全等三角形
（1）定义： 叫全等三角形；如果△ABC与△DEF全等，把它们记作 ，记两个三角形全等时，一般把 写在对应的位置上
（2）性质：全等三角形的对应边 、 相等．
（3）全等三角形的判定
判定三角形全等的条件有：（1） ，（2） （3） （4）
4．尺规作图
（1）定义：在几何里，把只用 和 画图的方法称为尺规作图；
和 的尺规作图称为 ，一些复杂的尺规作图，都是由 组成的．
（2）基本尺规作图
基本作图有五种，分别是 、 、 、 、
（3）尺规作图时，用 画直线、射线和线段，用 画弧和圆．
5．直角三角形全等
的两个直角三角形全等简写成“斜边、直角边”或“HL”，判定两个直角三角形全等除了“HL”外，还有 、 、 、 ．
6．利用全等三角形测距离
测量距离的常用方法有： 、
三、易混、易错问题辨析
1．三角形的角平分线、高和中线都是线段．
2．书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置．
3．三角形全等的判别方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判别三角形全等的条件中至少有一条边．
4．寻找三角形全等的条件时，要结合图形，挖掘图中的隐含条件：如公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线、高线等所带来的相等关系．
5．求作三角形时应注意分析条件特征，对于较复杂些的求作三角形问题可先画草图.
6．运用三角形全等测距离时，应注意分析已知条件，探索三角形全等的条件，理清要测定的距离，画出符合的图形，根据三角形全等说明测量理由．
7．注意只有说明两个直角三角形全等时，才使用“HL”，说明一般的三角形全等不能使用“HL” ．
四、典型思想与方法例析
1.方程思想
如通过设未知数，根据三角形内角和之间的关系构造方程解决角度问题．
例1. 如图1，已知A=27，CBE=90，C=30，求ADE的度数。
分
析：要求一个角的度数，可以先看一下它所出的位置：如果是某个三角形的一个内角，可以考虑三角形内角和定理计算，如果是某个三角形的外角，可以考虑三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算，本题中的ADE只能是△BFD或者△AED的内角，不可能是某个三角形的外角．
解：设ADE=X°，∵CBE=90，C=30（已知）
∴DEC=180-(CBE+C)=180-(90+30)=60（三角形内角和定理）
又∵DEC=A+ADE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴60=27+X°，∴X°=60-27=33，即ADE=33．
评注：本题可以通过设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题中的方程思想．
2．分类思想
例2．已知等腰三角形的周长是24cm，已知其中一边长为6cm，求其他两边长.
分析：要注意分两种情况考虑，因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，所以通过其中一边长为6cm，求其他两边的长应该分成两种情况考虑：一种是6cm长的边为腰，另一种是6cm长的边为底.
解：因为长为6cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算：
当长为6cm的边为腰时，则底边为 24-6×2=12 ，∵6+6=12 两边之和等于第三边，所以6cm长为腰不能组成三角形，舍去.
当
长为6
cm的边为底边时，则腰长为（24-6）÷2=9，∵6cm、9cm、9cm可以组成三角形，∴三角形其他两边长为9
cm.
评注：本题体现了数学中的分类讨论思想，
并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边.
3.转化思想
例3．如图2是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉
线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？
分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角
三角形，所以通过全等三角形的知识解决．
解：BD和DC相等．
因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，所以BD=DC．
评注：本题就是转化的策略，它将实际问题转化为全等三角形的问题，从而解决问题．
五、复习对策
根据本章的特点，我建议同学们在学习或复习中要注意以下几点：
（1）善于观察，勤于思考，勇于探索
空间观念的发展需要在学习中亲自经历观察、操作、想象、推理与交流等数学活动，本章主要是学习和研究与三角形相关的一些形式，一定要认真观察，勤于思考，发现图形中某些特点和性质，充分利用教科书中所提供的素材进行探索性的研究，从而主动获取知识．
（2）重视数学知识和应用的结合
三角形在日常生活中随处可见，应用也很广泛，科书中许多地方设置了三角形的应用，具有很强的现实性、趣味性、挑战性，一定要很好地去体验和感悟，除词之外，我们要结合本地区的实际寻找更多的与三角形有关的素材进行学习研究，例如：可从有关书籍、网络上选取，也可从各种建筑设施、自然环境中去发现，达到学用结合．
（3）强化直观操作与说理结合，逐步培养有条理的思考和表达
本章涉及到很多动手操作题，学习过程千万不要忽视，要积极参与，勤于动手，在实践中获得知识，同时，在各种数学活动中要自觉地进行思考，自觉地用语言说明操作的过程，并尝试解释其中的理由，养成说理有据的意识．
（4）学会在合作中学习
我们每一个人都是有差异的，要勇于正视自己的不足和弱项，在学习过程中要经常与他人合作，与他人交流，相互借鉴，取长补短，从而更好地丰富自己的数学活动经验，提高思维水平和解决问题的能力．