5.6 几何证明举例
已知：在△ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：△RDQ是等腰直角三角形.
已知：在△ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=
∠FDC.
已
知：在△ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA.
4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE。
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长.
几何证明习题答案
1.
连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,
又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,
△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR
由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,
∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,
所以△RDQ是等腰RT△.
2.
作AG平分∠BAC交BD于G。
∵∠BAC=90°，
∴∠CAG=
∠BAG=45°。
∵∠BAC=90°，
AC=AB，
∴∠C=∠ABC=45°。
∴∠C=∠BAG，
∵AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=90°。
∵∠CAF+∠BAE=90°，
∴∠CAF=∠ABE。
∵
AC=AB，
∴△ACF
≌△BAG。
∴CF=AG
。
∵∠C=∠DAG
=45°，
CD=AD，
∴△CDF
≌△ADG。
∴∠CDF=∠ADB。
3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
4. 略
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以
O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；
（2）△OMN是等腰直角三角形.
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO
中，
AN=BM ，∠NAO=∠B，AO=BO，
∴△NAO≌
△MBO，
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
6.
延长CD到F，使DF=BC，连结EF。
∵AE=BD，
∴AE=CF。
∵△ABC为正三角形
，∴BE=BF，∠B=60°。
∴△EBF为等边三角形。
∴角F=60°，EF=EB。
在△EBC和△EFD中，
EB=EF（已证），
∠B=∠F（已证），
BC=DF（已作），
∴△EBC≌△EFD（SAS）。
∴EC=ED。
7. 周长为10.