【329338】《几何证明举例》专项练习

5.6 几何证明举例

1. 已知：在△ABC中，∠A=90⁰，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：△RDQ是等腰直角三角形.

2. 已知：在△ABC中，∠A=90⁰，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=

∠FDC.

3. 已 知：在△ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA.

4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．

5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点.

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE。

7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长.

几何证明习题答案

1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,
又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,
△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR
由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,
∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,
所以△RDQ是等腰RT△.

2. 作AG平分∠BAC交BD于G。
∵∠BAC=90°， ∴∠CAG= ∠BAG=45°。
∵∠BAC=90°， AC=AB， ∴∠C=∠ABC=45°。
∴∠C=∠BAG， ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90°。
∵∠CAF+∠BAE=90°， ∴∠CAF=∠ABE。
∵ AC=AB， ∴△ACF ≌△BAG。
∴CF=AG 。 ∵∠C=∠DAG =45°， CD=AD，
∴△CDF ≌△ADG。 ∴∠CDF=∠ADB。

3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°

4. 略

5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，
所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；

（2）△OMN是等腰直角三角形.
证明：连接OA，如图，
∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，
AN=BM ，∠NAO=∠B，AO=BO，
∴△NAO≌ △MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．

6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF。
∵AE=BD， ∴AE=CF。
∵△ABC为正三角形 ，∴BE=BF，∠B=60°。
∴△EBF为等边三角形。 ∴角F=60°，EF=EB。
在△EBC和△EFD中，
EB=EF（已证）， ∠B=∠F（已证）， BC=DF（已作），
∴△EBC≌△EFD（SAS）。 ∴EC=ED。

7. 周长为10.