第05讲一元二次方程的概念及解法(核心考点讲与练)
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±
；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±
．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝
（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
十．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用。
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．（温岭市期中）若方程（k+1）x2﹣2x+4＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k≠﹣1 B．k＞﹣1
C．k＜﹣1 D．k为任意实数
【分析】根据一元二次方程的定义得出k+1≠0，再求出即可．
【解答】解：∵方程（k+1）x2﹣2x+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴k+1≠0，
解得：k≠﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（西固区校级模拟）若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为 3 ．
【分析】根据一元二次方程定义可得：|a|﹣1＝2，且a+3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝2，且a+3≠0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
3．（怀化期末）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为3，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．（黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．
三．一元二次方程的解（共5小题）
5．（婺城区校级月考）若m是方程x2+x﹣1＝0的根，则2m2+2m+2020的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+m＝1，再把2m2+2m+2020变形为2（m2+m）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴2m2+2m+2020＝2（m2+m）+2020＝2×1+2020＝2022．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（鄞州区校级期末）若4a+2b+c＝0，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为 x＝2 ．
【分析】由于当x＝2时，由方程ax2+bx+c＝0得的4a+2b+c＝0，从而得的方程的一个根．
【解答】解：∵当x＝2时，方程ax2+bx+c＝0化为4a+2b+c＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（铁锋区期末）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 x2﹣2x＝0 ．
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
【解答】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣2x＝0．
故答案为：x2﹣2x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
8．（西湖区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的其中一根为x＝2020，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝0的根为 x1＝﹣2，x2＝2018 ．
【分析】结合已知条件得到x+2＝2020或x+2＝0，求得x即可．
【解答】解：∵关于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）＝0，且关于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根为x＝2020，
∴x+2＝2020或x+2＝0，
解得x＝2018或﹣2．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝2018．
【点评】考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到x+2＝2020或x+2＝0是解题的难点．
9．（中山市期末）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．
【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a值．
【解答】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，
整理得：a2﹣a＝0，
即：a（a﹣1）＝0
解得：a＝0或a＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将x＝﹣1代入原方程求出a值是解题的关键．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共2小题）
10．（婺城区校级模拟）解下列方程（x﹣2）2﹣9＝0．
【分析】根据直接开平方法可以解答此方程．
【解答】解：∵（x﹣2）2﹣9＝0，
∴（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得，x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
11．（丽水期末）解方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）4x2+1＝﹣4x．
【分析】（1）移项后两边开方，即可求出答案；
（2）移项后关键完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4，
即x1＝4，x2＝﹣4；
（2）4x2+1＝﹣4x，
4x2+4x+1＝0，
（2x+1）2＝0，
2x+1＝0，
即x1＝x2＝﹣
．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
12．（临海市期末）用配方法解方程x2+2x＝1，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+1）2＝﹣1 B．（x+1）2＝0 C．（x+1）2＝1 D．（x+1）2＝2
【分析】方程两边加上1，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：用配方法解方程x2+2x＝1，
变形得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．（辛集市期末）将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为 （x﹣
）2＝
．
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣3x+（
）2＝﹣1+（
）2，
（x﹣
）2＝
，
故答案为：（x﹣
）2＝
．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
14．（镇海区校级期末）解方程：
（1）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）；
（2）
x2﹣x﹣2＝0．
【分析】（1）因式分解法求解；
（2）公式法求解．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3），
（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，
（x﹣3）（﹣x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或﹣x﹣2＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2；
（2）
x2﹣x﹣2＝0，
3x2﹣2x﹣4＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝4+48＝52＞0，
∴x＝
＝
＝
，
∴x1＝
，x2＝
．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法
15．（椒江区校级开学）解下列方程．
（1）
﹣6x+3＝0；
（2）2x2﹣1＝4x．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝
，b＝﹣6，c＝3，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×
×3＝33＞0，
∴x＝
＝
＝12±2
，
即x1＝12+2
，x2＝12﹣2
；
（2）整理成一般式得：2x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x＝
＝
＝
，
即x1＝1+
，x2＝1﹣
．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
16．（定西期末）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是 x1＝4，x2＝﹣3 ．
【分析】直接利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0，
∴x﹣4＝0或x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3；
故答案为：x1＝4，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．（凉州区期末）在实数内定义一种运算“*”，其定义为a*b＝a2﹣b2，根据这个定义，（x+3）*5＝0的解为 ﹣8或2 ．
【分析】将a＝x+3，b＝5代入公式a*b＝a2﹣b2进行计算即可．
【解答】解：∵（x+3）*5＝（x+3）2﹣25，
∴（x+3）2﹣25＝0，
∴x+3＝±5，
∴x＝﹣8或2，
故答案为﹣8或2．
【点评】本题是一道新定义的题目，考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单．
18．（仙居县期末）解方程：
（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；
（2）x2﹣4x+5＝0．
【分析】（1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（2）法1：方程利用公式法求出解即可；
法2：方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）移项得：5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
分解因式得：（5x﹣2）（x﹣3）＝0，
所以5x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝
，x2＝3；
（2）法1：∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣4）2﹣4×1×5
＝16﹣20
＝﹣4＜0，
∴原方程无实数根；
法2：方程整理得：x2﹣4x＝﹣5，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣1，即（x﹣2）2＝﹣1＜0，
则此方程无实数根．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
八．换元法解一元二次方程（共3小题）
19．（鄞州区校级期末）已知（x2+y2）2+6（x2+y2）﹣7＝0，则x2+y2的值为 1 ．
【分析】设x2+x2＝z，则原方程换元为z2+6z﹣7＝0，可得z1＝2，z2＝﹣1，即可求解．
【解答】解：设x2+x2＝z，则原方程换元为z2+6z﹣7＝0，
∴（z﹣1）（z+7）＝0，
解得：z1＝1，z2＝﹣7，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝1
故答案为：1．
【点评】本题考查了高次方程，解一元二次方程及换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
20．（嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
-
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择．
21．（洛江区模拟）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到 降次 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【解答】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
【点评】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
九．根的判别式（共3小题）
22．（环江县期末）关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣
B．k≥﹣
且k≠0 C．k＞﹣
D．k＞﹣
且k≠0
【分析】由方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，可得△≥0且k≠0，即可求得k的取值范围．
【解答】解：当k＝0时，原方程可化为﹣x﹣3＝0，
∴x＝﹣3，
∵方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k（k﹣3）＝8k+1≥0，
解得：k≥﹣
，
∴k的取值范围为：k≥﹣
．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式．注意当△≥0时，方程有两个实数根．
23．（镇海区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m2﹣1）x2+2（m﹣2）x+1＝0有实数根，当m取最大整数值时，代数式3x2+12x+3的值为 6 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m2﹣1≠0且Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣1）≥0，解不等式得到m的取值范围，从而得到m的最大整数值为0，则原方程变形为﹣x2﹣4x+1＝0，然后利用整体代入的方法求代数式的值．
【解答】解：根据题意得m2﹣1≠0且Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣1）≥0，
解得m≤
且m≠±1，
所以m的最大整数值为0，
所以原方程变形为﹣x2﹣4x+1＝0，
即x2+4x＝1，
所以3x2+12x+3＝3（x2+4x）+3＝3×1+3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
24．（临海市期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
一十．配方法的应用（共3小题）
25．（上虞区期末）在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：
求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为 3 ；
（2）求代数式x2+10x+32的最小值；
（3）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．
【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；
（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（3）根据7x﹣x2+y﹣11＝0，用x表示出y，写出x+y，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
【解答】解：（1）3，
故答案为：3．
（2）x2+10x+32＝x2+10x+52﹣52+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+7≥7，
∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值为7，
∴x2+10x+32的最小值为7；
（3）∵7x﹣x2+y﹣11＝0，
∴y＝x2﹣7x+11，
∴x+y＝x2﹣7x+11+x＝x2﹣6x+11＝x2﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+2的值最小，最小值为2，
∴x+y的最小值为2．
【点评】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
26．（西湖区期末）已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
【分析】（1）将M＝3的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M相等，解一元二次方程即可；
（3）将M配方，即可得．
【解答】解：（1）当M＝3时，
x2﹣x+1＝3，
即x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
（2）若M＝3x2+1，
则x2﹣x+1＝3x2+1，
即2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣
，
当x1＝0时，M＝1，
当x2＝﹣
时，M＝3×（﹣
）2+1＝1+
＝
；
（3）M＝x2﹣x+1＝（x﹣
）2+
，
∵（x﹣
）2≥0，
∴（x﹣
）2+
≥
，
∴M＞0．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，配方法的应用和偶次幂为非负数等知识，解题的关键是根据题意列出方程．
27．（宽城区期末）仔细阅读下面例题，解答问题．
【例题】已知：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝4，n＝4．
∴m的值为4，n的值为4．
【问题】仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出x、y；
（2）根据完全平方公式、非负数的性质分别求出a、b，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，
∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+y＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣3，y＝3；
（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，
∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64＝0，
∴（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c＝
＝
＝10，
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握非负数的性质、完全平方公式是解题的关键．
题组A 基础过关练
一．选择题（共3小题）
1．（天门期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2y﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．﹣x+2＝0 D．x2﹣1＝0
【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断．
【解答】解：A．是二元一次方程，不符合题意；
B．是二元二次方程，不符合题意；
C．是一元一次方程，不符合题意；
D．是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是掌握一元二次方程的定义．
2．（黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．﹣3
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．
3．（永嘉县校级模拟）若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣
D．﹣3
【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后即可得到a的值．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，
∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣
，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出a的值．
二．填空题（共3小题）
4．（永嘉县校级期中）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的斜边长为 
．
【分析】解一元二次方程求得直角三角形的两直角边长，利用勾股定理求得即可．
【解答】解：∴x2﹣5x+6＝0，
（x﹣3）（x﹣2）＝0，
解得x1＝3，x2＝2，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
∵斜边长
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（徐州期末）方程（x+1）2＝4的解是 x＝﹣3或x＝1 ．
【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x＝﹣3或x＝1，
故答案为：x＝﹣3或x＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
6．（绿园区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值为 5 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣1）＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣1）＝0，
解得m＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三．解答题（共8小题）
7．（丽水期中）解方程
（1）（x﹣5）2＝9
（2）
﹣3x﹣1＝0
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）x﹣5＝±3，
所以x1＝8，x2＝2；
（2）△＝（﹣3）2﹣4×
×（﹣1）＝11＞0，
x＝
＝3±
，
所以x1＝3+
，x2＝3﹣
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
8．（奉化区校级期末）已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于？
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：∵m﹣n2＝1，
∴n2＝m﹣1，m≥1，
则m2+2n2+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵m≥1，
∴（m+3）2﹣12≥4，即代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于4．
【点评】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
9．（椒江区校级期中）阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以
得：
，
即
，故
，
所以
．
（2）a3+b3＝（a+b）•（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）•（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则
＝ 4 ，
＝ 14 ，
＝ 194 ；
（2）2x2﹣7x+2＝0，求
的值．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据题意给出的公式即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x+
＝4，
x2+
＝（x+
）2﹣2x•
＝16﹣2＝14，
x4+
＝（x2+
）
2﹣2x2•
＝194；
（2）∵2x2﹣7x+2＝0，
∴x+
＝
，
∴x2+
＝（x+
）2﹣2＝
，
∴x3+
＝（x+
）（x2﹣1+
）＝
×（
﹣1）＝
故答案为：（1）4；14；194；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
10．（嘉兴期中）解下列方程：
（1）（3x+2）2＝4
（2）3x2+1＝4x
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（3x+2）2＝4，
∴3x+2＝±2，
x1＝0，x2＝﹣
；
（2）∵3x2﹣4x+1＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
x1＝1，x2＝
；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
11．（温岭市期末）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．
【分析】利用因式分解法和配方法解方程．
【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝0，
x﹣5＝或x﹣1＝0，
所以x1＝5，x2＝1；
方法二：x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
所以x1＝5，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
12．（吴兴区校级期中）用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0
（2）2x（x﹣1）＝（x﹣1）
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±
，
所以x1＝1+
，x2＝1﹣
；
（2）2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解方程．
13．（定海区模拟）小明同学在解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2﹣8x（x﹣2）＝0．
解：3x﹣8x﹣2＝0…第一步
﹣5x﹣2＝0…第二步
﹣5x＝2…第三步
x＝﹣
…第四步
小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程．
【分析】小明的解法是从第一步出现错误，方程两边不应该同时除以x，按照因式分解法步骤解方程即可．
【解答】解：小明的解法从第一步开始出现错误；
3x2﹣8x（x﹣2）＝0，
x[3x﹣8（x﹣2）]＝0，
x（﹣5x+16）＝0，
解得：x1＝0，
．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
14．（椒江区期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴
，
解得：m≥
且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k﹣3＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（平顶山期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（上城区期末）下列方程的根是无理数的是（ ）
A．（x+
）（x﹣
）＝﹣4 B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2
C．x2+4x﹣3＝0 D．2x2﹣7x＝0
【分析】先求出选项中每个方程的解，再逐个判断即可．
【解答】解：A．（x+
）（x﹣
）＝﹣4，
x2﹣5＝﹣4，
x2＝1，
x＝±1，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2，
开方得：2x﹣1＝±（3x+1），
解得：x1＝﹣2，x2＝0，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．x2+4x﹣3＝0，
x2+4x＝3，
配方，得x2+4x+4＝3+4，
（x+2）2＝7，
开方，得x+2＝
，
解得：x1＝﹣2+
，x2＝﹣2﹣
，即方程的根是无理数，故本选项符合题意；
D．2x2﹣7x＝0，
x（2x﹣7）＝0，
x＝0或2x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝
，即方程的根是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
3．（辛集市期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≥0且a≠1 C．a＞0 D．a＞0且a≠1
【分析】根据关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根知Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，据此得出a的范围，再结合一元二次方程的定义可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（a﹣1）×（﹣1）＝4a≥0，
解得a≥0，
又∵a﹣1≠0，
∴a≥0且a≠1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（拱墅区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥
B．k≥
且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1
【分析】根据根的判别式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，
解得：k≥
且k≠1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出不等式是解此题的关键，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
5．（安徽二模）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】先将方程整理为一般式，再计算出方程根的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：将方程整理为一般式，得：x2+x﹣6＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（上城区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（ ）
①若a+2b+4c＝0，则方程ax2+bx+c＝0必有实数根；
②若b＝3a+2，c＝2a+2，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at+b）2．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【分析】①正确，利用判别式判断即可．
②错误，a＝﹣2时，方程有相等的实数根．
③错误，c＝0时，结论不成立．
④正确，利用求根公式，判断即可．
【解答】解：①∵a+2b+4c＝0，
∴a＝﹣2b﹣4c，
∴方程为（﹣2b﹣4c）x2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4（﹣2b﹣4c）•c＝b2+8bc+16c2＝（b+4c）2≥0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有实数根，故①正确．
②∵b＝3a+2，c＝2a+2，
∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2＝0，
∴Δ＝（3a+2）2﹣4a（2a+2）＝a2+4a+4＝（a+2）2，
当a＝﹣2时，Δ＝0，方程有相等的实数根，故②错误，
③当c＝0时，c是方程ax2+bx＝0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵t是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴t＝
，
∴2at+b＝±
，
∴b2﹣4ac＝（2at+b）2，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共4小题）
7．（梅县区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：根据题意得：m2﹣1＝0，
解得：m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，方程为2x＝0，不合题意，
则m的值为﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
8．（鄞州区校级期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+
c＝0，则方程必有一根为 ﹣3 ．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+
c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
9．（永嘉县校级期中）已知x＝3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，有一等腰△ABC的边长恰好是这个方程的实数根，则△ABC的周长为 9或12或10或11 ．
【分析】先把x＝3代入方程x2﹣（m+1）x+2m＝0得：9﹣3（m+1）+2m＝0，解得m＝6，则方程化为x2﹣7x+12＝0，利用因式分解法解得x1＝3，x2＝4，分四种情形讨论求解即可；
【解答】解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0，
解得m＝6，
则原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∵等腰△ABC的边长恰好是这个方程的实数根，
∴等腰△ABC的三边分别为：3，3，3，此时周长为9，
等腰△ABC的三边分别为：4，4，4，此时周长为12，
等腰△ABC的三边分别为：3，3，4，此时周长为10，
等腰△ABC的三边分别为：4，4，3，此时周长为11，
综上所述，△ABC的周长为9或12或10或11．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
10．（綦江区期末）如果一个三角形的三边长都是一元二次方程x2﹣12x+36＝0的根，那么这个三角形的面积等于 9
．
【分析】通过解方程求得该三角形为等边三角形，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：解方程x2﹣12x+36＝0，得x1＝x2＝6．
∵一个三角形的单边均满足方程x2﹣12x+36＝0，
∴该三角形是以6为边长的等边三角形，
∴该三角形的面积为：
×
＝9
．
故答案是：9
．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和三角形的面积，解题时注意不要解错方程并且熟练掌握等边三角形求面积的方法即可．
三．解答题（共5小题）
11．（汕尾期末）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【分析】利用因式分解法解出方程．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
12．（莲池区校级月考）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【分析】（1）移项后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：（x﹣1）2＝8，
x﹣1＝±2
，
x1＝1+2
，x2＝1﹣2
；
（2）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
2x﹣3＝0，x﹣1＝0，
x1＝1.5，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．
13．（江北区期末）解方程：
（1）（x﹣1）2＝4
（2）x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）两边直接开平方即可得；
（2）左边因式分解后可得两个关于x的一元一次方程，解两方程可得x．
【解答】解：（1）两边直接开平方，得：x﹣1＝±2，
∴x＝±2+1，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）方程左边因式分解，得：（x﹣1）（x+5）＝0，
∴x﹣1＝0或x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5．
【点评】本题主要考查直接开平方法和因式分解法解二元一次方程的能力，熟练掌握十字相乘法和直接开平方的形式是解题的关键．
14．（鄞州区期中）解方程：
（1）x2﹣3x﹣2＝0；
（2）（x+1）2＝7x+7
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
x＝
，
x1＝
，x2＝
；
（2）（x+1）2＝7x+7，
（x+1）2﹣7（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣7）＝0，
x+1＝0或x+1﹣7＝0，
x1＝﹣1，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，公式法、配方法、直接开平方法．
15．（西湖区校级期中）已知实数x，y满足x2﹣2xy+y2﹣
y+12＝0，求代数式xy的最小值并指出是否存在取到最小值时的x，y值．
【分析】根据配方法将原式化为非负式子的形式即可求xy的最小值，再根据整体代入法即可得结论．
【解答】解：由题意得：
（x﹣y）2﹣
（x+y）+12＝0，
设t＝x﹣y，s＝x+y，
∴t2﹣
s+12＝0，
∵x＝
，y＝
，
∴xy＝
＝
，
∵s＝
≥4
，
∴
的最小值为：
＝12．
∴当t＝0，s＝4
时，xy取得最小值为12，x，y值为2
．
答：代数式xy的最小值为12，存在取到最小值时的x，y值都是2
．
【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握配方法和完全平方公式的变形．