第03讲二次根式的加减与混合运算(核心考点讲与练)

一．同类二次根式

同类二次根式的定义：

　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

【知识拓展】同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

二．二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

三．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

一．同类二次根式（共6小题）

1．（温岭市期末）若2 + 可以合并为一项，则m可以是（　　）

A．6 B．12 C．15 D．18

【分析】由2 + 可以合并为一项知2 与 是同类二次根式，再将各选项的值代入 化简，利用同类二次根式的概念逐一判断即可．

【解答】解：∵2 + 可以合并为一项，

∴2 与 是同类二次根式，

当m＝6时，2 与 不是同类二次根式；

当m＝12时， ＝2 与2 是同类二次根式；

当m＝15时，2 与 不是同类二次根式；

当m＝18时， ＝3 与2 不是同类二次根式；

故选：B．

【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

2．（望城区期末）在 中，与 是同类二次根式的有几个（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．

【解答】解：∵ ＝2 ， ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，

∴与 是同类二次根式的有 ， ，共2个，

故选：B．

【点评】本考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

3．（铁西区期末）若最简二次根式 与 能合并成一项，则a＝　﹣1　．

【分析】由题意可知该二次根式为同类二次根式．

【解答】解：由题意可知： ＝2 ，

∴a+3＝2，

∴a＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确运用同类二次根式的概念，本题属于基础题型．

4．（拱墅区校级期中）若二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则a＝　2　．

【分析】将 化简，再根据同类二次根式的定义求解即可．

【解答】解：∵ ＝2 与最简二次根式 是同类二次根式，

∴a+1＝3，

解得a＝2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

5．（淮北月考）如果最简二次根式 与 是同类二次根式．

（1）求出a的值；

（2）若a≤x≤2a，化简： + ．

【分析】（1）利用同类二次根式的定义求出a的值即可；

（2）把a的值代入确定出x的范围，原式变形后，利用二次根式性质化简，即可求出值．

【解答】解：（1）∵最简二次根式 与 是同类二次根式，

∴4a﹣5＝13﹣2a，

解得：a＝3；

（2）把a＝3代入得：3≤x≤6，

则原式＝ + ＝|x﹣2|+|x﹣6|＝x﹣2+6﹣x＝4．

【点评】此题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

6．（卧龙区校级月考）最简二次根式 与 是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm²+2m﹣2＝0的根．

【分析】利用同类二次根式定义求出x的值，代入方程计算即可求出m的值．

【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，且x为整数，

∴2x²﹣x＝4x﹣2，即2x²﹣5x+2＝0，

解得：x＝ （舍去）或x＝2，

把x＝2代入方程得：2m²+2m﹣2＝0，即m²+m﹣1＝0，

解得：m＝ ．

【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．

二．二次根式的加减法（共13小题）

7．（平房区三模）化简： ﹣3 的结果是　 　．

【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．

【解答】解：原式＝2 ﹣ ＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．

8．（路桥区一模）下列计算中正确的是（　　）

A．2a²•3a＝6a³ B．（2a²）³＝6a⁶ C． + ＝ D． ＝﹣3

【分析】分别计算每个选项中的式子，可知（2a²）³＝8a⁶， + 不能合并同类项， ＝3，即可求解．

【解答】解：A.2a²•3a＝6a³，计算正确，符合题意；

B．（2a²）³＝8a⁶，不符合题意；

C. + 不能合并同类项，不符合题意；

D. ＝ ＝3，不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查二次根式的运算、整式的运算，熟练掌握二次根式的运算方法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式运算法则是解题的关键．

9．（永嘉县校级模拟）计算： ．

【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝2 +4× ﹣ ×3 +3×

＝2 +2 ﹣2 +

＝3 ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

10．（永嘉县校级模拟）计算： ﹣ +3 + ．

【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．

【解答】解：原式＝2 ﹣3 +3× +2

＝2 ﹣3 + +2

＝3 ﹣ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

11．（柯桥区月考）小林在计算时遇到以下情况，结果正确的是（　　）

A． ＝5+12＝17

B． ﹣2

C．

D．

【分析】分别计算各选项即可得出答案．

【解答】解：A．原式＝ ＝13，故该选项错误，不符合题意；

B．原式＝| ﹣2|＝2﹣ ，故该选项错误，不符合题意；

C．左边＝4 ，右边＝|﹣4 |＝4 ，左边＝右边，故该项正确，符合题意；

D．原式＝ ＝ ，故该选项错误，不符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键．

12．（上城区校级一模）计算 + ，结果正确的是（　　）

A． +2 B．10 C．4 D．

【分析】直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．

【解答】解： + ＝ +3

＝4 ．

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

13．（西湖区校级三模）计算：4a﹣a＝　3a　， ＝　3 　．

【分析】根据合并同类项和合并同类二次根式的运算法则进行计算．

【解答】解：4a﹣a＝（4﹣1）a＝3a，

4 ﹣ ＝（4﹣1） ＝3 ，

故答案为：3a；3 ．

【点评】本题考查合并同类项，合并同类二次根式，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）的运算法则是解题关键．

14．（永嘉县校级模拟）已知 ﹣|7﹣x|+ ＝3y﹣2，则2x﹣18y²＝　22　．

【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．

【解答】解：∵ 一定有意义，

∴x≥11，

∴ ﹣|7﹣x|+ ＝3y﹣2，

﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，

整理得： ＝3y，

∴x﹣11＝9y²，

则2x﹣18y²＝2x﹣2（x﹣11）＝22．

故答案为：22．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简已知是解题关键．

15．（苍溪县期末）计算 ＝　 　．

【分析】根据二次根式的加减法运算法则，先将各个二次根式化简为最简二次根式，然后将被开方数相同的二次根式合并．

【解答】解：原式＝ ＝3 ．

【点评】二次根式的加减法运算一般可以分三步进行：①将每一个二次根式化成最简二次根式；②找出其中的同类二次根式；③合并同类二次根式．

16．（镇海区模拟）（1）计算： ﹣ ﹣ ；

【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则得出答案；

【解答】解：（1）原式＝2 ﹣ ﹣

＝ ；

【点评】此题主要考查了二次根式的加减以及分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．

17．（玉环市期末）计算：

（1）

【分析】（1）化简每一个二次根式可得2 ﹣3 + ＝0；

【解答】解：（1）原式＝2 ﹣3 +

＝0；

【点评】本题考查二次根式，熟练掌握次根式的运算法则是解题的关键．

18．（上城区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ，结果为（　　）

A．2a B．2b C．﹣2a D．2

【分析】先把二次根式的化简写成绝对值的形式，再根据绝对值的性质进行化简，去括号计算．

【解答】解：∵

＝|a﹣b|+|b﹣ |﹣a﹣

＝b﹣a+ ﹣b﹣a﹣

＝﹣2a；

故选：C．

【点评】本题考查二次根式的加减法、实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练利用数轴点的位置判断（a﹣b）、（b﹣ ）的符号，用绝对值的性质化简是解题关键．

19．（永嘉县校级期末）计算 ＝　 　．

【分析】根据 ＝ ﹣ 将原式化简后可得出答案．

【解答】解：原式＝ ﹣1+ +…+ ﹣

＝ ﹣1

＝2 ﹣1．

故填：2 ﹣1．

【点评】本题考查二次根式的加减法，难度比较大，掌握 ＝ ﹣ 是关键．

三．二次根式的混合运算（共14小题）

20．（港南区期末）化简： ＝　1　．

【分析】利用平方差公式的形式进行化简计算，即可得出答案．

【解答】解：原式＝ ﹣1²＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题关键是套用平方差公式，难度一般．

21．（南湖区校级期中）下列运算中错误的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的运算法则逐项分析可得答案．

【解答】解：A. 与 不能合并，故符合题意；

B. × ＝ ，正确，故不符合题意；

C. ÷ ＝ ＝2，正确，故不符合题意；

D. ＝3，正确，故不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查二次根式的运算性质，熟练掌握二次根式的计算法则是解题关键．

22．（永嘉县校级期中）化简 ＝　 　．

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式＝

＝

＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

23．（罗湖区校级模拟）计算：（ ﹣2）²⁰¹⁹×（ +2）²⁰²⁰＝　﹣2﹣ 　．

【分析】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．

【解答】解：原式＝[（ ﹣2）×（ +2）]²⁰¹⁹×（ +2）

＝﹣2﹣ ．

故答案为：﹣2﹣ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．

24．（南湖区校级期中）计算：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可；

（2）利用多项式乘法法则进行计算，再合并即可．

【解答】解：（1） ；

（2） ．

【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．

25．（宁波期末）下列计算正确的是（　　）

A． + ＝ B． ﹣ ＝1 C． × ＝ D． ÷ ＝2

【分析】根据二次根式加减运算法则进行计算判断A和B，根据二次根式乘除运算法则进行计算判断C和D．

【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；

B、 与﹣ 不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；

C、 ，正确，故此选项符合题意；

D、 ，故此选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查二次根式的运算，理解同类二次根式的概念，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．

26．（仙居县期末）下列运算正确的是（　　）

A． + ＝ B．4+ ＝4

C． ＝ ＝2 D． ＝6

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘法运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A. + ＝ +2，故此选项不合题意；

B.4+ 无法合并，故此选项不合题意；

C. ＝ ＝ ，故此选项不合题意；

D. ＝ ＝6，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

27．（衢州期末）计算：（ ﹣ ）÷ ＝　 　．

【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．

【解答】解：原式＝ ﹣

＝2 ﹣

＝ ．

故答案为 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．

28．（成华区期末）计算 •（ ﹣ ）+ •（ ﹣ ）的结果是　5　．

【分析】利用因式分解得方法得到原式＝（ ﹣ ）（ + ），然后利用平方差公式计算．

【解答】解：原式＝（ ﹣ ）（ + ）

＝（ ）²﹣（ ）²

＝8﹣3

＝5．

故答案为5．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

29．（上城区校级期末）已知 ， ，则x+y＝　8+2 　．

【分析】先利用完全平方公式得到x+y＝（ + ）²﹣2 ，再把 ， 代入计算即可．

【解答】解：∵x+y＝（ + ）²﹣2 ，

而 ， ，

∴x+y＝（ + ）²﹣2（ ﹣ ）＝8+2 ﹣2 +2 ＝8+2 ．

故答案为8+2 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．

30．（上城区校级期末）计算：

（1） （ + ）﹣ ；

（2） ．

【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可；

（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．

【解答】解：（1）原式＝ +2﹣3

＝2 +2﹣3

＝2﹣ ；

（2）原式＝2 ﹣（2 ﹣3 ）

＝2 ﹣6 +3

＝﹣ ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

31．（嵊州市期末）计算：

（1）（3+ ）（3﹣ ）；

（2） ．

【分析】（1）利用平方差公式进行计算；

（2）先算乘除，然后再算减法．

【解答】解：（1）原式＝3²﹣（ ）²

＝9﹣3

＝6；

（2）原式＝ ﹣

＝ ﹣

＝3 ﹣2

＝ ．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则以及平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a²﹣b²的结构是解题关键．

32．（肃州区期末）计算

（1）（2 ﹣1）²+（ +2）（ ﹣2）

（2）（ ﹣2 ）× ﹣6 ．

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；

（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．

【解答】解：（1）原式＝12﹣4 +1+3﹣4

＝12﹣4

（2）原式＝ ﹣2 ﹣3

＝3 ﹣6 ﹣3

＝﹣6 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

33．（永嘉县校级期末）已知a为实数，且 与 都是整数，则a的值是　 或 　．

【分析】由 是正整数可得，a是含有﹣2 的代数式；再由 是整数，可得化简后 为含有﹣2 的代数式，据此确定a的值．

【解答】解：∵ 是正整数，

∴a是含有﹣2 的代数式；

∵ 是整数，

∴化简后 为含有2 的代数式，

∴a＝ 或 ．

故答案为： 或 ．

【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．

题组A 基础过关练

一．选择题（共6小题）

1．（河南模拟）下列运算中，正确的是（　　）

A．2a+3a＝5a B．a⁶÷a³＝a²

C．（a﹣b）²＝a²﹣b² D．

【分析】分别计算各选项即可．

【解答】解：A选项根据合并同类项的法则，系数相加，字母和字母的指数不变，故该选项正确，符合题意；

B选项根据同底数幂的除法，a⁶÷a³＝a³，故该选项错误，不符合题意；

C选项根据完全平方公式，（a﹣b）²＝a²﹣2ab+b²，故该选项错误，不符合题意；

D选项 与 不是同类二次根式，不能进行合并，故该选项错误，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，二次根式的加减，熟记以上法则是解题的关键．

2．（岱岳区期末）下列计算正确的是（　　）

A．3 ×5 ＝15 B．3 ＝5 C． ＝ D． ＝2

【分析】根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、原式＝15×3＝45，所以A选项的计算错误；

B、3 与2 不能合并，所以B选项的计算错误；

C、原式＝2 ﹣ ，所以C选项的计算错误；

D、原式＝ ＝2 ，所以D选项的计算正确．

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

3．（乐清市期末）下列各式中，能与 合并的是（　　）

A．2 B．3 C． D．

【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．

【解答】解：A、2 不能与 合并，本选项不符合题意；

B、3 能与 合并，本选项符合题意；

C、 不能与 合并，本选项不符合题意；

D、 不能与 合并，本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

4．（瑞安市期中）下列化简结果正确的是（　　）

A． ＝ ＝ B． + ＝ C． ＝ ＝x D．3 ﹣2 ＝1

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的性质分别化简得出答案．

【解答】解：A、 ＝ ＝ ，故此选项正确；

B、 + ，不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误；

C、 ＝ ＝ ，故此选项错误；

D、3 ﹣2 ，不是同类二次根式，无法计算，故此选项错误．

故选：A．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．

5．（西湖区校级开学）下列计算结果正确的是（　　）

A． ＝﹣3 B．3 C． ＝2 D．（﹣ ）²＝5

【分析】直接利用二次根式的除法运算、加减运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A. ＝3，故此选项不合题意；

B.3 ﹣ ＝2 ，故此选项不合题意；

C. ＝ ，故此选项不合题意；

D．（﹣ ）²＝5，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

6．（新都区期末）下列计算正确的是（　　）

A． ﹣ ＝ B． + ＝

C． ＝ × D． ÷ ＝4

【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、原式＝2 ﹣ ＝ ，所以A选项正确；

B、 与 不能合并，所以B选项错误；

C、原式＝ ＝ × ，所以C选项错误；

D、原式＝ ＝2，所以D选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

二．填空题（共11小题）

7．（开福区校级模拟）计算 ﹣ 的结果　2 　．

【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．

【解答】解： ﹣

＝4 ﹣2

＝2 ．

故答案为：2 ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

8．（香坊区一模）计算 的结果是　 　．

【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．

【解答】解：原式＝3 ﹣2

＝ ．

故答案为： ．

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，在解答此类题目时要先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．

9．（遵义）计算3 ﹣ 的结果是　 　．

【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．

【解答】解：原式＝3 ﹣2

＝ ．

故答案为： ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

10．（柳南区校级期末）若最简根式 与 是可以合并的二次根式，则a的值是　2　．

【分析】利用题意可判断 与 为同类二次根式，则a+3＝11﹣3a，然后解关于a的方程即可．

【解答】解：根据题意得a+3＝11﹣3a，

解得a＝2．

故答案为2．

【点评】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

11．（西湖区校级期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值为　6或﹣2　．

【分析】根据同类二次根式的被开方数相等得到方程a²﹣5a＝12﹣a，由此求得a的值．

【解答】解：依题意得：a²﹣5a＝12﹣a，

a²﹣4a﹣12＝0

（a﹣6）（a+2）＝0

解得a＝6或a＝﹣2．

故答案是：6或﹣2．

【点评】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式．

12．（江汉区校级一模） ＝　5　．

【分析】首先化简二次根式，计算绝对值，再算乘法，后算加法即可．

【解答】解：原式＝2+9× ＝2+3＝5，

故答案为：5．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，关键是注意计算顺序．

13．（嘉兴期末）化简：4 ＝　﹣2 　．

【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．

【解答】解：原式＝4 ﹣7×2 +2×4

＝4 ﹣14 +8

＝﹣2 ．

故答案为：﹣2 ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．

14．（河北模拟）计算 × ﹣ 的结果是　3 　．

【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．

【解答】解：原式＝ ﹣2

＝5 ﹣2

＝3 ．

故答案为3 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

15．（天津二模）计算（ +2）（ ﹣2）的结果是　﹣1　．

【分析】利用平方差公式计算，再根据二次根式的性质计算可得．

【解答】解：原式＝（ ）²﹣2²

＝3﹣4

＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

16．（金华期中）计算： ＝　﹣ ﹣2　．

【分析】利用积的乘方得到原式＝[（ ﹣2）（ +2）]（ +2），然后利用平方差公式计算．

【解答】解：原式＝[（ ﹣2）（ +2）]（ +2）

＝（3﹣4）（ +2）

＝﹣ ﹣2．

故答案为﹣ ﹣2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

17．（丽水期中）已知a＝ ，b＝ ，那么a，b的大小关系是a　＝　b．（用“＞”，“＝”或“＜”填写）

【分析】把b的值进行分母有理化即可得到得到a与b的大小关系．

【解答】解：b＝ ＝ + ，

所以a＝b．

故答案为＝．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

三．解答题（共8小题）

18．（湖州期末）计算： ．

【分析】根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可．

【解答】解：原式＝

＝

＝ ．

【点评】本题主要考查了二次根式的加减法，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．

19．（湖州）计算： +| ﹣1|．

【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可．

【解答】解：原式＝2 + ﹣1＝3 ﹣1．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握计算顺序，掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，二次根式不变．

20．（东阳市期末）计算：

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式＝

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

21．（萧山区期中）计算下列各式：

（1） ；

（2） +4 ﹣ + ．

【分析】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；

（2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．

【解答】解：（1）原式＝2 + +2﹣ ＝ +2；

（2）原式＝3 +2 ﹣4 + ＝5 ﹣ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

22．（宁波期末）计算：

（1） ﹣ + ；

（2）（ ﹣1）²+（ ﹣1）（1+ ）．

【分析】（1）直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接利用乘法公式计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝3 ﹣2 +

＝ ；

（2）原式＝2﹣2 +1+2﹣1

＝4﹣2 ．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

23．（拱墅区期末）计算：

（1） ﹣ + ；

（2）（1+ ）（2﹣ ）．

【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；

（2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题．

【解答】解：（1） ﹣ +

＝2 ﹣ +3

＝4 ；

（2）（1+ ）（2﹣ ）

＝2﹣ +2 ﹣2

＝ ．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

24．（吴兴区校级期中）计算：

（1）（ ）²﹣ + ；

（2）（ ）÷ ．

【分析】（1）根据二次根式的性质计算；

（2）根据二次根式的除法法则运算．

【解答】解：（1）原式＝16﹣5+2

＝13；

（2）原式＝ ﹣

＝4﹣3

＝1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

25．（拱墅区期中）计算：

（1）（ + ）²；

（2） ．

【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．

（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（1）原式＝2+2 +3＝5+2 ．

（2）原式＝ ﹣ ＝ ﹣

＝ ．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

题组B 能力提升练

一．选择题（共2小题）

1．（嵊州市期末）下列各式中计算正确的是（　　）

A．3+2 ＝5 B． ﹣ ＝3 C．（2 ）²＝12 D． ＝±3

【分析】根据二次根式的运算法则解决．

【解答】解：A. ≠ ，无法进行运算，故A不符合题意．

B. ≠3，故B不符合题意．

C. ，故C符合题意．

D. ，故C不符合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．

2．（余杭区期中）下列选项中，计算正确的是（　　）

A．3+2 ＝5 B． ﹣ ＝9 C． × ＝ D． + ＝4

【分析】根据同类二次根式、二次根式的加减运算法则和乘法法则逐一计算即可．

【解答】解：A．3与2 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

B． ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ，此选项错误；

C． × ＝ ＝ ，此选项正确；

D． + ＝2 + ＝3 ，此选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

二．填空题（共3小题）

3．（上虞区期末）已知3 ＝16，m＝4 ，则m的取值范围是　﹣12≤m≤ 　．

【分析】根据非负数的性质，可得 的取值范围，根据被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大，可得答案．

【解答】解：由3 ＝16，得 ＝ ，

16﹣4 ≥0，

解得 ≤4，又 ≥0，

∴0 ≤4．

m＝4 ＝4× ﹣3 ＝ ，

即m＝ ，

当 ＝0时，m_最大＝ ，

当 ＝4时，m_最小＝﹣12，

m的取值范围是﹣12≤m≤ ，

故答案为：﹣12≤m≤ ．

【点评】本题考查了二次根式的加减，利用被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大是解题关键，又利用了二次根时的性质：被开方数是非负数．

4．（资中县月考）若a+ ﹣b＝0且ab≠0，则 的值为　 　．

【分析】求出a、b同号，分为两种情况：当a＞0，b＞0时， ＝0，求出方程的解即可；当a＜0，b＜0时， ＝0，求出方程的解即可．

【解答】解：∵ab≥0，ab≠0，

∴ab＞0，

即a、b同号，

∵a+ ﹣b＝0，

∴ ＝b﹣a＞0，

即b＞a，

当a＞0，b＞0时， ＝0，即 ＝0，

解这个方程得， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ＝ ；

当a＜0，b＜0时， ＝0，即 ＝0，

解这个方程得， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ＝ ，

∵b＞a，

∴此时不符合，舍去

综上， ＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了二次根式的加减和分式的值能求出符合的所有情况是解此题的关键．

5．（永嘉县校级期末）已知a为实数，且 与 都是整数，则a的值是　 或 　．

【分析】由 是正整数可得，a是含有﹣2 的代数式；再由 是整数，可得化简后 为含有﹣2 的代数式，据此确定a的值．

【解答】解：∵ 是正整数，

∴a是含有﹣2 的代数式；

∵ 是整数，

∴化简后 为含有2 的代数式，

∴a＝ 或 ．

故答案为： 或 ．

【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．

三．解答题（共9小题）

6．（西吉县期末） ．

【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．

【解答】解：原式＝4 +3 ﹣2 +4 ，

＝7 +2 ．

【点评】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式、二次根式的加减法则等知识点的应用，能运用法则进行计算是解此题的关键，主要培养了学生的计算能力．

7．（许昌期末）计算：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）先根据零指数幂，二次根式的性质，有理数的乘方，二次根式的乘法进行计算，再求出答案即可；

（2）先根据二次根式的乘法和除法进行计算，再求出答案即可．

【解答】解：（1）原式＝1+2 +9﹣2

＝10；

（2）原式＝3﹣1+

＝2+

＝2+2 ．

【点评】本题考查了实数的运算和二次根式的混合运算，能灵活运用运算法则进行计算是解此题的关键．

8．（余杭区期中）计算： + ．

【分析】先分母有理化、化简后一个二次根式，再计算加法即可．

【解答】解：原式＝ +

＝ +

＝ +

＝ ．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化．

9．（西湖区校级期中）计算：

（1）2 × ÷（ ）²．

（2）（ ﹣2）²+ ．

【分析】（1）先计算二次根式的乘法和乘方，再计算除法即可；

（2）先利用完全平方计算、化简二次根式，再计算加减即可．

【解答】解：（1）原式＝10 ÷2＝5 ；

（2）原式＝3﹣4 +4+2

＝7﹣2 ．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

10．（上城区校级期中）计算：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算加减即可；

（2）先化简各二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可．

【解答】解：（1）原式＝ ×2 ﹣2

＝ ﹣2

＝﹣ ；

（2）原式＝3 +2× ﹣2 + ×4

＝3 + ﹣2 +

＝ +2 ．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

11．（鄞州区期中）计算

（1）（﹣ ）²﹣ + ；

（2） ﹣ ×（ ﹣ ）．

【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可求解；

（2）先计算绝乘法和化简二次根式，再合并同类项即可求解．

【解答】解：（1）（﹣ ）²﹣ +

＝6﹣5+3

＝4；

（2） ﹣ ×（ ﹣ ）

＝3 ﹣2+

＝4 ﹣2．

【点评】考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．

12．（鄞州区期末）化简：

（1）3 ﹣（ + ）

（2）（ ﹣ ）÷ ．

【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）根据二次根式的除法法则运算．

【解答】解：（1）原式＝3 ﹣2 ﹣

＝ ；

（2）原式＝ ﹣

＝ ﹣2．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

13．（浦东新区校级月考）已知x＝ ，y＝ ，且19x²+123xy+19y²＝1985．试求正整数n．

【分析】首先化简x与y，可得：x＝（ ）²＝2n+1﹣2 ，y＝2n+1+2 ，所以x+y＝4n+2，xy＝1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．

【解答】解：化简x与y得：x＝ ＝2n+1﹣2 ，y＝ ＝2n+1+2 ，

∴x+y＝4n+2，xy＝ ＝[（ + ）（ ﹣ ）]²＝1，

∴将xy＝1代入方程，化简得：x²+y²＝98，

∴（x+y）²＝x²+y²+2xy＝98+2×1＝100，

∴x+y＝10．

∴4n+2＝10，

解得n＝2．

【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．

14．（常州期末）阅读材料：像（ + ）（ ﹣ ）＝3、 • ＝a（a≥0）、（ +1）（ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3 等都是互为有理化因式．

在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．

例如： ； ＝ ．

解答下列问题：

（1）3﹣ 与　3+ 　互为有理化因式，将 分母有理化得　 　；

（2）计算： ；

（3）已知有理数a、b满足 ，求a、b的值．

【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；

（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；

（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．

【解答】解：（1）3﹣ 与3+ 互为有理化因式， ＝ ，

故答案为：3 ， ；

（2）

＝ ﹣2

＝2﹣ ；

（3）∵ ，

∴（ ﹣1）a+ b＝﹣1+2 ，

∴﹣a+（a+ ） ＝﹣1+2 ，

∴﹣a＝﹣1，a+ ＝2，

解得，a＝1，b＝2．

【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．