第4章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·湘潭四中月考]下列图象中，y不是x的函数的是(　　)

2.[2023·牡丹江]函数y＝ 中，自变量x的取值范围是(　　)

A.x≤1 B.x≥－1 C.x＜－1 D.x＞1

3.[2023·清华附中期中]一次函数y＝－2x＋4的图象不经过(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4. 一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为(　　)

A.y＝12－0.5x B.y＝12＋0.5x C.y＝10＋0.5x D.y＝0.5x

5.如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是(　　)

(第5题)

A.y＝2x＋3 B.y＝x－3 C.y＝2x－3 D.y＝－x＋3

6. 对于题目“△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A(－1，1)，B(2，1)，C(1，3).若直线y＝kx－2与△ABC有交点，求k的取值范围.”甲的结果是k≤－3，乙的结果是 ≤k≤5，则(　　)

(第6题)

A.甲的结果正确 B.乙的结果正确

C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确

7. 一次函数y₁＝ax＋b与一次函数y₂＝bx－a在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)

8.把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是(　　)

A.1＜m＜7 B.3＜m＜4 C.m＞1 D.m＜4

9. 如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止.设注水时间为t，y₁(细实线)表示铁桶中水面高度，y₂(粗实线)表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y₁，y₂随时间t变化的函数图象大致为(　　)

10.[2023·湖南师大附中期中]一次函数y₁＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)与y₂＝mx＋3(m≠0，m是常数)的图象交于点D(1，2)，下列结论正确的是(　　)

①关于x的方程kx＋b＝mx＋3的解为x＝1；②一次函数y₂＝mx＋3(m≠0)图象上任意不同两点A(x_a，y_a)和B(x_b，y_b)满足：(x_a－x_b)(y_a－y_b)＜0；③若｜y₁－y₂｜＝b－3(b＞3)，则x＝0；④若b＜3，且b≠2，则当x＞1时，y₁＞y₂.

A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①②③④

二、填空题(每题3分，共24分)

11.函数y＝(m－3)x＋m²－9是正比例函数，则m＝　　　　.

12.[2023·清华附中期中]一次函数y＝x－2的图象与y轴的交点坐标是　　　　　.

13.[2023·苏州]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则k²－b²＝　　　　.

14.[2023·成都外国语学校月考]如图，一次函数y＝ax和y＝kx＋b的图象相交于点A，则关于x，y的方程组 的解为　　　　.

(第14题)

15.若直线y＝2x＋b与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则b＝　　　　.

16.若关于x的一元一次不等式组 恰有3个整数解，且一次函数y＝(a－2)x＋a＋1的图象不经过第三象限，则a的取值范围是　　　　.

17.[2022·辽宁]如图，直线y＝2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为　　　　.

(第17题)

18. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务时间举行趣味运动会，在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑向A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动.设甲同学跑步的时间为x(秒)，甲、乙两人之间的距离为y(米)，y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是　　　　.

(第18题)

三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)

19.已知一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，求一次函数的表达式.

20.把一个长10 cm，宽5 cm的长方形的长减少x cm，宽不变，得到的长方形的面积为y cm².

(1)请写出y与x之间的函数关系式；

(2)请写出自变量x的取值范围；

(3)请画出函数的图象.

21.[2023·北师大实验中学期中]在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝－x的图象平移得到，且经过点(1，1).

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx－1(m≠0)的值小于一次函数y＝kx＋b的值，求出m的取值范围.

22.文明，是一座城市的幸福底色和内在气质，2023年是成都争创全国文明典范城市的关键之年，为积极推进创建工作，某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶共120个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，根据市场调查，A型垃圾分装桶的价格为每个400元，B型垃圾分装桶的价格为每个100元.

(1)设购买A型垃圾分装桶x个，求x的取值范围.

(2)某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，试问：该企业最少需要花费多少元？

23. 一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y(千米)与货车出发时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)A，B两地之间的距离是　　　　千米，a＝　　　　.

(2)求线段FG所在直线的函数表达式.

(3)货车出发多少小时两车相距15千米？(直接写出答案即可)

24. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.

(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？

(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售，如果此次购进甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么购进多少只甲种头盔能使此次购进头盔的总费用最小？最小总费用是多少元？

答案

一、1.B 【点拨】自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，A，C，D均满足取一个x值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而B中，对一个x值，与之对应的有两个y值，故y不是x的函数，故选B.

2.B　3.C　4.B　5.D

6.D 【点拨】当直线过A点时，－k－2＝1，解得k＝－3；当直线过B点时，2k－2＝1，解得k＝ .∴k的取值范围是k≤－3或k≥ .

7.D 【点拨】根据函数图象，确定a，b的正负，看看是否矛盾即可.

8.C

9.C 【点拨】根据题意，先用水管往铁桶中持续匀速注水，

y₁从0开始，高度与注水时间成正比，

当到达t₁时，铁桶中水满，∴后面高度不变.

y₂表示水池中水面高度，

从0到t₁时长方体水池中没有水，∴高度为0.

t₁到t₂时注水从0开始，

∵铁桶底面积小于水池底面积的一半，

∴y₂比y₁增长得慢，即倾斜程度低.

t₂到t₃时注水底面积为长方体水池的底面积，

∴y₂增长得更慢，即倾斜程度更低.

长方体水池有水溢出一会儿，

∴t₃到t₄时y₂不变.

故选C.

10.B 【点拨】∵一次函数y₁＝kx＋b与y₂＝mx＋3的图象交于点D(1，2)，

∴方程kx＋b＝mx＋3的解为x＝1，故①正确.

将D(1，2)的坐标代入y₂＝mx＋3，得2＝m＋3，

解得m＝－1，∴一次函数的表达式为y₂＝－x＋3.

∵－1＜0，

∴对于一次函数y₂＝－x＋3，y的值随x的增大而减小.

∴当x_a＞x_b时，y_a＜y_b；当x_a＜x_b时，y_a＞y_b.

∴无论何时x_a－x_b与y_a－y_b都异号.

∴(x_a－x_b)(y_a－y_b)＜0，故②正确.

∵｜y₁－y₂｜＝｜kx＋b－(－x＋3)｜＝｜(k＋1)x＋b－3｜，且b＞3，｜y₁－y₂｜＝b－3，

∴｜(k＋1)x｜＝0.∴k＋1＝0或x＝0.

∴k＝－1或x＝0，故③错误.

将D(1，2)的坐标代入y₁＝kx＋b，得2＝k＋b，

∴k＝2－b.

∵b＜3，且b≠2，∴k＞－1，且k≠0.

∴画出图象如图所示.

由图可知，当x＞1时，一次函数y₁＝kx＋b的图象位于一次函数y₂＝mx＋3的图象上方，

∴当x＞1时，y₁＞y₂，故④正确.

故选B.

二、11.－3

12.(0，－2)【点拨】根据一次函数图象与y轴的交点的横坐标等于0，将x＝0代入y＝x－2，可得y的值，从而可以得到一次函数y＝x－2的图象与y轴的交点坐标.

13.－6 【点拨】∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)和(－1，2)，∴ 即

∴k²－b²＝(k＋b)(k－b)＝3×(－2)＝－6.

14. 【点拨】根据图象可知：一次函数y＝ax和y＝kx＋b的图象的交点A的坐标是(－2，1)，所以关于x，y的方程组 的解为

15.±2 【点拨】令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－ .∵直线y＝2x＋b与两坐标轴的交点坐标为(0，b) .∴直线y＝2x＋b与两坐标轴围成的三角形的面积为 ×｜b｜× ＝6，解得b＝±2 .

16.－1≤a≤1

17.2

18. 【点拨】由图象和题意可知，甲在20秒时到达B处，则v_甲＝ ＝4(米/秒)，第8秒时两人相遇，则(v_乙＋4)×8＝80，得v_乙＝6米/秒，则6t＝80，解得t＝ .

三、19.【解】设一次函数的表达式为y＝kx＋b.

∵一次函数的图象与直线y＝－x＋1平行，∴k＝－1.

∴一次函数的表达式为y＝－x＋b.

∵一次函数的图象过点(8，2)，

∴2＝－8＋b，解得b＝10.

∴一次函数的表达式为y＝－x＋10.

20.【解】(1)由题意得y＝5(10－x)，整理得y＝－5x＋50.

∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋50.

(2)0≤x＜10.

(3)如图所示.

21.【解】(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝－x的图象平移得到，∴k＝－1.

将点(1，1)的坐标代入y＝kx＋b，解得b＝2.

∴这个一次函数的表达式是y＝－x＋2.

(2)将(1，1)代入y＝mx－1中，解得m＝2.如图，

∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx－1(m≠0)的值小于一次函数y＝－x＋2的值，

∴－1≤m≤2且m≠0.

22.【解】(1)由题意知购买B型垃圾分装桶(120－x)个.

∴x≥ (120－x)，

解得x≥40，∴40≤x＜120且x为整数.

(2)设该企业需要花费w元，由题意得，

w＝400x＋100(120－x)＝12 000＋300x.

∵300＞0，∴w随x增大而增大.

∴当x＝40时，w最小，最小为24 000.

∴该企业最少需要花费24 000元.

23.【解】(1)60；1

(2)设线段FG所在直线的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将F(1，60)，G(2，0)的坐标代入y＝kx＋b，

得 解得

∴线段FG所在直线的函数表达式为y＝－60x＋120.

(3)货车出发 小时、 小时或 小时两车相距15千米.

【点拨】巡逻车速度为60÷ ＝25(千米/时)，

∴线段CD的函数表达式为y＝25x＋25× ＝25x＋10(0≤x≤2).

当货车第一次追上巡逻车后，

80x－(25x＋10)＝15，解得x＝ ；

当货车返回与巡逻车未相遇时，

(－60x＋120)－(25x＋10)＝15，

解得x＝ ；

当货车返回与巡逻车相遇后，

(25x＋10)－(－60x＋120)＝15，

解得x＝ .

综上所述，货车出发 小时或 小时或 小时两车相距15千米.

24.【解】(1)设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元.

根据题意，得 解得

答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元.

(2)设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元.

根据题意，得m≥ (40－m)，解得m≥ .

总费用为w＝65×0.8m＋(54－6)(40－m)＝4m＋1 920.

∵4＞0，

∴w随着m增大而增大.∵m取整数，

∴当m＝14时，w取得最小值，

即购进14只甲种头盔时，总费用最小，

最小总费用为14×4＋1 920＝1 976(元).

答：购进14只甲种头盔能使此次购进头盔的总费用最小，最小总费用为1 976元.