第3章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.云南是一个神奇美丽的地方，这里有美丽的边疆、美丽的城市、美丽的村庄、美丽的风情，云南的省会城市昆明更有着四季如春的美誉，下列表示昆明市地理位置最合理的是(　　)

A.在中国西南地区 B.在云贵高原的中部

C.距离北京2 600千米 D.东经102°、北纬24°

2.[2023·人大附中月考]如图，点(－3，－4)到y轴的距离是(　　)

A.－3 B.3

C.－4 D.4

3.某镇初级中学在镇政府的南偏西60°方向上，且距离镇政府1 500 m，则如图所示的表示法正确的是(　　)

4.[2023·凉山州]点P(2，－3)关于原点对称的点P'的坐标是(　　)

A.(2，3) B.(－2，－3)

C.(－3，2) D.(－2，3)

5.已知点P(－2，3)与Q(－2，5)，下列说法不正确的是(　　)

A.PQ∥y轴 B.PQ＝2 C.PQ＝8 D.P，Q都在第二象限

6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(a，－1)，B(2，3－b)，C(－5，4).若AB∥x轴，AC∥y轴，则a＋b＝(　　)

A.2 B.－2 C.1 D.－1

7.在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为(－3，3)，点B的坐标为(2，0)，则三角形ABO的面积是(　　)

A.15 B.7.5 C.6 D.3

8.[2023·绍兴]在平面直角坐标系中，将点(m，n)先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是(　　)

A.(m－2，n－1) B.(m－2，n＋1)

C.(m＋2，n－1) D.(m＋2，n＋1)

9.已知点P的坐标为(2－a，3a＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是(　　)

A.(3，3) B.(3，－3)

C.(6，－6) D.(3，3)或(6，－6)

10. 已知－1＜x＜0，点P的坐标为(－ ，－ )，点Q的坐标为(0，2 023)，点O为坐标原点，则∠POQ满足(　　)

A.大于135°小于180° B.等于135°

C.大于90°小于135° D.大于0°小于90°

二、填空题(每题3分，共24分)

11. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用(2，－1)表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为　　　　.

(第11题)

12.在平面直角坐标系中，第三象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是　　　　.

13.[2023·凉山州]如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是　　　　.

(第13题)

14.若(a－2)²＋｜b＋3｜＝0，则P(a，b)在第　　　　象限.

15.[2023·湘西州]在平面直角坐标系中，已知点P(a，1)与点Q(2，b)关于x轴对称，则a＋b＝　　　　.

16.在平面直角坐标系中，已知点A(0，－3)，点B(0，－4)，若点C在x轴上，△ABC的面积为15，则点C的坐标为　　　　.

17.[2022·淄博]如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A₁B₁C₁的位置.若顶点A(－3，4)的对应点是A₁(2，5)，则点B(－4，2)的对应点B₁的坐标是　　　　.

(第17题)

18. 如图，一束光线从点A(3，3)出发，经过y轴上的点C反射后经过点B(1，0)，则光线从点A到点B经过的路径长为　　　　.[提示：平面内有两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，这两点间的距离P₁P₂＝ .]

(第18题)

三、解答题(23题12分，24题14分，其余每题10分，共66分)

19.[2023·郴州二中期中]已知平面直角坐标系上有一点P(m－2，2m＋1)，请根据题意回答下列问题：

(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；

(2)点Q的坐标为(4，3)，连接PQ，若PQ∥x轴，求PQ的长.

20. 已知a，b都是实数，设点P(a，b)，若满足3a＝2b＋5，则称点P为“梦想点”.

(1)判断点A(3，2)是否为“梦想点”；

(2)若点Q(m－1，3m＋2)是“梦想点”，请判断点Q在第几象限，并说明理由.

21.如图，P(x₀，y₀)为三角形ABC内任意一点，若将三角形ABC作平移变换，使点A落在点B的位置上，已知点A(3，4)，B(－2，2)，C(2，－2).

(1)请写出点B，C，P的对应点B₁，C₁，P₁的坐标；

(2)求S_{三角形AOC.}

22.[2023·张家界民族中学模拟]如图，A，B，C为一个平行四边形的三个顶点，且A，B，C三点的坐标分别为(3，3)，(6，4)，(4，6).

(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；

(2)求这个平行四边形的面积.

23. 如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4，OA＝5，DE＝2，动点P从点A出发，沿A→B→C的路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D的路线运动到点D停止.若P，Q两点同时出发，且P，Q运动的速度均为每秒1个单位.

(1)直接写出B，C，D三个点的坐标；

(2)当P，Q两点出发6 s时，试求三角形POQ的面积.

24. 在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是(a，0)，(b，4)，且满足(a＋2)²＋ ＝0，过点C作CB⊥x轴于点B.

(1)a＝　　　　，b＝　　　　.

(2)如图①，过点B作BD∥AC，交y轴于点D，若AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数.

(3)如图②，在y轴上是否存在一点P使得△ACP的面积等于△ABC的面积？如果存在请求出点P的坐标，如果不存在请说明理由.

答案

一、1.D

2.B　【点拨】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值.

3.A　4.D　5.C

6.D　【点拨】∵A(a，－1)，B(2，3－b)，C(－5，4)，AB∥x轴，AC∥y轴，∴－1＝3－b，a＝－5，∴b＝4，∴a＋b＝－5＋4＝－1，故选D.

平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上的点的纵坐标都相等，平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上的点的横坐标都相等.

7.D　【点拨】此题首先运用数形结合思想，在平面直角坐标系中描点连线画出三角形ABO，然后运用转化思想将点的坐标转化为线段的长度，即底BO＝2，高为3，所以三角形ABO的面积＝ ×2×3＝3.

8.D　【点拨】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，求解即可.

9.D　【点拨】因为点P到两坐标轴的距离相等，所以｜2－a｜＝｜3a＋6｜，所以a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，点P的坐标为(3，3)；当a＝－4时，点P的坐标为(6，－6).

10.C　【点拨】先判断出－ ＜0，－ ＜0，则点P在第三象限，再证明 ＞ ，即点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的角平分线的上方，且在x轴的下方，由此即可得到答案.

二、11.(－3，1)【点拨】根据用(2，－1)表示“炮”的位置建立平面直角坐标系，进而得出“将”的位置.

12.(－5，－2)

13.(4，2)【点拨】如图，延长BC交y轴于点D.

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴BC＝OA，BC∥OA.

∵OA⊥y轴，∴BC⊥y轴.

∵A(3，0)，C(1，2)，

∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，

∴BD＝CD＋BC＝1＋3＝4.∴B(4，2).

14.四

15.1　【点拨】∵点P(a，1)与点Q(2，b)关于x轴对称，∴点P(a，1)与点Q(2，b)的横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴a＝2，1＋b＝0，解得b＝－1，∴a＋b＝1.

16.(30，0)或(－30，0)

设点C的坐标为(m，0)，则OC＝｜m｜，再求出AB＝1，根据△ABC的面积为15，得到 ×1·｜m｜＝15，据此求解即可.

17.(1，3)　18.5

三、19.【解】(1)∵P(m－2，2m＋1)在y轴上，

∴m－2＝0，∴m＝2，∴2m＋1＝5，∴P(0，5).

(2)∵点Q的坐标为(4，3)，PQ∥x轴，

∴点P与点Q的纵坐标相同，∴2m＋1＝3，∴m＝1，

∴m－2＝－1，∴P(－1，3)，∴PQ＝5.

20.【解】(1)∵3×3＝9，2×2＋5＝9，

∴3×3＝2×2＋5，∴A(3，2)是“梦想点”.

(2)点Q在第三象限，理由如下：

∵点Q(m－1，3m＋2)是“梦想点”，

∴3(m－1)＝2(3m＋2)＋5，解得m＝－4，

∴m－1＝－5，3m＋2＝－10，∴Q(－5，－10).

∴点Q在第三象限.

21.【解】(1)因为点A(3，4)平移后的对应点的坐标为(－2，2)，所以需将三角形ABC向左平移5个单位，向下平移2个单位，则点B(－2，2)的对应点B₁的坐标为(－7，0)，点C(2，－2)的对应点C₁的坐标为(－3，－4)，点P(x₀，y₀)的对应点P₁的坐标为(x₀－5，y₀－2).

(2)过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥y轴于点E，则AD＝3，CE＝2，OD＝4，OE＝2，所以DE＝6，

所以S_三角形AOC＝ ×(2＋3)×6－ ×3×4－ ×2×2＝7.

22.【解】(1)这个平行四边形第四个顶点的坐标为(7，7)或(1，5)或(5，1).

(2)以A，B，C为顶点的三角形的面积为3×3－ ×3×1－ ×2×2－ ×1×3＝4.

所以这个平行四边形的面积为4×2＝8.

23.【解】(1)B(4，5)，C(4，2)，D(8，2).

(2)当P，Q两点出发6 s时，易知P点的坐标为(4，3)，

Q点的坐标为(6，0)，

所以S_三角形POQ＝ ×6×3＝9.

24.【解】(1)－2；4

(2)如图，过点E作EF∥AC，

则∠1＝∠3.

∵CB⊥x轴，

∴CB∥y轴，∠CBA＝90°，

∴∠ODB＝∠6.

又∵BD∥AC，∴∠CAB＝∠5，

∴∠CAB＋∠ODB＝∠5＋∠6＝180°－∠CBA＝90°.

∵EF∥AC，BD∥AC，∴BD∥EF，

∴∠2＝∠4.

∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3＝ ∠CAB，∠4＝ ∠ODB，

∴∠AED＝∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝ (∠CAB＋∠ODB)＝45°.

(3)存在.由(1)得A(－2，0)，C(4，4)，

∴OA＝2，OB＝BC＝4，∴AB＝6.

∴S_△ABC＝ ×6×4＝12.

设点P(0，t).

Ⅰ.当点P在y轴正半轴上时，如图①所示.

分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点N，M，则AN＝t，CM＝t－4，MN＝6，PN＝2，PM＝4.

∵S_△ACP＝S_△ABC＝12，

∴ ×6(t－4＋t)－ ×2t－ ×4(t－4)＝12，

∴t＝ ，∴点P的坐标为 .

Ⅱ.当点P在y轴负半轴上时，如图②所示，

分别过点P，A，C作MN∥x轴，AN∥y轴，CM∥y轴，交于点N，M.则AN＝－t，CM＝4－t，MN＝6，PN＝2，PM＝4.

∵S_△ACP＝S_△ABC＝12，∴ ×[(－t)＋(4－t)]×6－ ×(－t)×2－ ×4×(4－t)＝12，解得t＝－ ，∴点P的坐标为 .

综上所述，点P的坐标为 或 .