第4章四边形（基础30题专练）
一．选择题（共17小题）
1．（海曙区期末）从六边形的一个顶点出发可以作对角线（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】已知多边形的边数为n（n＞3时），从多边形的一个顶点出发，可以画出（n﹣3）条对角线，根据以上内容求出即可．
【解答】解：从六边形的一个顶点出发，可以画出6﹣3＝3条对角线，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的对角线，能熟记多边形的对角线的定义是解此题的关键．
2．（温州期末）下列四个交通标志中，属于中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3．（大名县期末）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边分别相等
D．一组对边平行且相等
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、C、D正确，B不正确；即可得出结论．
【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴B不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴D正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
4．（绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【分析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．
【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE＝
＝
＝5．
∵BE＝DE＝3，AE＝CE＝5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．
5．（长兴县开学）如图，小丽将平放在桌面上的正五边形磁力片和正方形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的∠ABC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．162°
【分析】根据多边形的内角和公式及正多边形的性质求出∠ABD＝90°，∠CBD＝108°，再根据周角的定义即可求解．
【解答】解：如图，
在正方形ABDE中，
∠ABD＝
＝90°，
在正五边形BDMNC中，
∠CBD＝
＝108°，
∴∠ABC＝360°﹣∠ABD﹣∠CBD＝360°﹣90°﹣108°＝162°，
故选：D．
【点评】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
6．（朝阳区二模）如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长 D．线段PD的长度
【分析】按照平行线间的距离的定义即可得出答案．
【解答】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度．
观察图形可得PB为直线l1∥l2之间的垂线段．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，属于基础知识的考查，比较简单．
7．（平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（ ）
A．三个角都小于60°
B．三个角都大于60°
C．三个角都大于或等于60°
D．有两个角大于60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，
应假设三个角都大于60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．（海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（ ）
A．
B．2
C．2 D．2
【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．
【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，
∴∠ECD＝∠ECB，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴AE＝DE＝AB＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEC＝∠DCE是解题关键．
9．（西湖区校级期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设（ ）
A．∠A＝60° B．∠A＜60° C．∠A≠60° D．∠A≤60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
10．（吴兴区一模）正六边形的每个内角的度数是（ ）
A．120° B．135°
C．108° D．以上都不正确
【分析】根据多边形内角和定理可计算求解．
【解答】解：由题意得[（6﹣2）×180°]÷6＝120°，
故正六边形的每一个内角度数为120°，
故选：A．
【点评】本题主要考查正多边形及多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
11．（上虞区期末）一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【分析】根据四个内角的度数之比设出这四个内角的度数为x°，x°，0.6x°，x°，根据四边形的内角和等于360°列出方程求出x的值，进而求得最小内角的度数．
【解答】解：∵四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，
∴设这四个内角的度数为x°，x°，0.6x°，x°，
根据四边形的内角和等于360°得：
x+x+0.6x+x＝360，
∴x＝100，
∴0.6x＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了四边形的内角和，体现了方程思想，根据四个内角的度数之比设出这四个内角的度数为x°，x°，0.6x°，x°是解题的关键．
12．（东阳市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（ ）
A．每个内角都小于60°
B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60°
D．每个内角都等于60°
【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可．
【解答】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）．
13．（海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△ECD B．△EBF C．△EBC D．△EFC
【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案．
【解答】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵S△BCF＝
CF•BM，S△CDF＝
CF•DN，
∴S△BCF＝S△CDF，
∵EF∥CD，
∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的面积计算公式，关键是证明△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，
14．（吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（ ）cm2．
A．0.5 B．1 C．2 D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝
AB，ED＝
AC，DF＝
BC，进而证明△EFD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵点D、E、F分别是各边的中点，
∴EF＝
AB，ED＝
AC，DF＝
BC，
∴
＝
＝
＝
，
∴△EFD∽△ABC，且相似比为
，
∴
＝（
）2＝
，
∵△ABC的面积为4cm2，
∴△DEF的面积是1cm2，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（衢州期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2 B．
C．
D．
【分析】取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，根据三角形中位线定理分别求出EG、GF，得出四边形EGFH为正方形，根据正方形的性质计算即可．
【解答】解：取BC的中点G，AD的中点H，连接EG、GF、FH、HE，
∵E，G分别是AB，BC的中点，AC＝2
∴EG＝
AC＝1，EG∥AC，
同理：FH＝
AC，FH∥AC，EG＝
AC，GF∥BD，GF＝
BD＝1，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，
∴平行四边形EGFH为菱形，
∵AC⊥BD，EG∥AC，GF∥BD，
∴EG⊥GF，
∴菱形EGFH为正方形，
∴EF＝
EG＝
，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定定理和性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．（衢州期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝23°，则∠CAB等于（ ）
A．22° B．23° C．32° D．45°
【分析】根据平行四边形的对角相等，对边相互平行以及平行线的性质进行解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝135°，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝135°，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，则∠DAB＝180°﹣135°＝45°．
又∵∠CAD＝23°，
∴∠CAB＝∠DAB﹣∠CAD＝45°﹣23°＝22°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用的性质是：平行四边形的对角相等、对边相互平行．
17．（南浔区期末）某多边形的内角和是其外角和的2倍，则此多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式列方程即可求解．
【解答】解：多边形的内角和是：2×360°＝720°．
设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
二．填空题（共8小题）
18．（温州期中）已知一个多边形的内角和为1440°，那么它是 十 边形．
【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°即可解决问题．
【解答】解：设它的边数为n，
根据题意得（n﹣2）•180°＝1440°，
所以n＝10．
所以这是一个十边形．
故答案为：十．
【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题．
19．（丽水期末）如图，在▱ABCD中，∠A＝130°，则与∠BCD相邻的外角∠DCE的度数为 50° ．
【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠BCD＝130°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝130°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
20．（大兴区一模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为 4 ．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
21．（衢州期末）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都 小于 60°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都小于60°，
故答案为：小于．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
22．（瑞安市开学）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠DFE的度数是 108 度．
【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形外角的性质，即可求得∠DFE的度数．
【解答】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴∠DFE＝∠NFG＝180°﹣
＝108°．
故答案为：108．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题关键．
23．（长兴县模拟）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若AC＝4，EF＝2，则AE的长是 
．
【分析】由作图可知：MN是AC的垂直平分线，即可得AE＝CE，AF＝CF，通过证明△AOE≌△AOF（ASA），可证明四边形ABCD为菱形，进而可求解AO，EO的长，再利用勾股定理可求解AE的长．
【解答】解：由作图可知：MN是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，AF＝CF，∠AOE＝∠AOF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△AOE和△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE＝AF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AC＝4，EF＝2，
∴AO＝
AC＝2，EO＝
EF＝1，
∴AE＝
．
故答案为
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，尺规作图﹣作线段的垂直平分线，证明四边形ABCD为菱形时解题的关键．
24．（西湖区校级期末）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝ 8 ．
【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF是平行四边形，可得CF＝AM＝8．
【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴AO＝
＝
＝4，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
25．（乐清市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为 80 度．
【分析】根据多边形内角和定理，进行求解即可．
【解答】解：在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，
∴∠EAB相邻的内角度数为：180°﹣80°＝100°，
∴∠DEA相邻的内角度数为：180°﹣60°＝120°，
∴∠ABC相邻的内角度数为：180°﹣60°＝120°，
五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠C＝540°﹣100°﹣120°﹣120°﹣120°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角的知识，解答本题的关键在于根据多边形外角和为360°进行求解．
三．解答题（共5小题）
26．（宁波模拟）图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【分析】（1）根据题意涂阴影；
（2）根据题意涂阴影；
（3）根据题意涂阴影；
【解答】解：（1）如图1；
（2）如图2，答案不唯一；
（3）如图3，答案不唯一．
【点评】本题考查中心对称、轴对称，熟练掌握中心对称与轴对称图形的性质是解题的关键．
27．（余杭区月考）（1）如图1，∠DBC与∠BCE是△ABC的两个外角，那么∠A，∠DBC，∠BCE之间有怎样的等量关系？请直接写出结论；
（2）如图2，若BP，CP分别平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P与∠A之间有怎样的等量关系？请说明理由；
（3）如图3，若BP，CP分别平分四边形QBCF的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P与∠Q，∠F之间有怎样的等量关系？请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
（2）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
（3）延长BQ、CF相交于点A，利用（1）（2）的结论整理即可得解．
【解答】解：（1）∠DBC+∠BCE＝∠A+180°，理由如下：
∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∠P＝90°−
∠A，理由如下：
∵BP，CP分别平分∠DBC和∠BCE，
∴∠PBC＝
∠DBC，∠PCB＝
∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB＝
∠DBC+
∠ECB＝
（180°+∠A）＝90°+
∠A，
∴∠P＝180°﹣∠PCB﹣∠PBC＝90°﹣
∠A；
（3）∠P＝180°﹣
（∠DQF+∠QFE），理由如下：
延长BQ、CF交于A，
由（1）得∠A+180°＝∠DQF+∠QFE，
由（2）得∠P＝90°−
∠A，
∴∠P＝90°﹣
（∠DQF+∠QFE﹣180°）
＝180°﹣
（∠DQF+∠QFE）．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
28．（鹿城区校级二模）如图，在▱ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求▱ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，从而有∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，再由E是CD边上的中点得DE＝CE，利用AAS可判定△BCE≌△FDE；
（2）由（1）可得DF＝BC，CD＝2DE＝4，从而可求四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，
∵E是CD边上的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：由（1）得△BCE≌△FDE，
∴BC＝DF＝3，
∵E是CD边上的中点，
∴CD＝2DE＝4，
∴▱ABCD的周长为：2（BC+CD）＝14．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质并灵活运用．
29．（文成县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求AE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）由勾股定理可求OB的长，由直角三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BO＝DO，AO＝CO，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝
BO，DF＝
DO，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵AC＝8，
∴AO＝CO＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BO＝
＝
＝5，
∵∠BAC＝90°，点E是BO的中点，
∴AE＝
BO＝
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
30．（丽水期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BE＝2，BD＝5，求EF的长．
【分析】（1）由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得∠ABE＝∠CDF，则可证得△ABE≌△CDF；
（2）根据△ABE≌△CDF得到BE＝DF，然后根据BE＝2得到DF＝2，然后根据EF＝BD﹣BE﹣FD得到答案即可．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE＝2，
∴DF＝2，
∵EF＝BD﹣BE﹣FD，
∴EF＝5﹣2﹣2＝1．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．