第2章一元二次方程（压轴30题专练）

一．选择题（共5小题）

1．（锦江区校级自主招生）设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜1＜x₂，那么实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x₁＜1＜x₂，即（x₁﹣1）（x₂﹣1）＜0，x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．

方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x₁＜1＜x₂，可以看成是二次函数y＝ax²+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x＝1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．

【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，

则a≠0且Δ＞0，

由（a+2）²﹣4a×9a＝﹣35a²+4a+4＞0，

解得﹣ ＜a＜ ，

∵x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝9，

又∵x₁＜1＜x₂，

∴x₁﹣1＜0，x₂﹣1＞0，

那么（x₁﹣1）（x₂﹣1）＜0，

∴x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1＜0，

即9+ +1＜0，

解得 ＜a＜0，

最后a的取值范围为： ＜a＜0．

故选D．

方法2、由题意知，a≠0，令y＝ax²+（a+2）x+9a，

由于方程的两根一个大于1，一个小于1，

∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，

当a＞0时，x＝1时，y＜0，

∴a+（a+2）+9a＜0，

∴a＜﹣ （不符合题意，舍去），

当a＜0时，x＝1时，y＞0，

∴a+（a+2）+9a＞0，

∴a＞﹣ ，

∴﹣ ＜a＜0，

故选：D．

【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

2、根与系数的关系为：x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ．

2．（鞍山）若关于x的一元二次方程kx²﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞ 且k≠0 B．k＜ 且k≠0 C．k≤ 且k≠0 D．k＜

【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx²﹣x+1＝0有实数根，

∴k≠0且Δ＝（﹣1）²﹣4k≥0，

解得：k≤ 且k≠0．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．

3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x²），则M的最大值为（　　）

A．10 B．84 C．100 D．121

【分析】利用配方法以及二次函数的性质即可解决问题；

【解答】解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）

＝[（7﹣x）（2+x）]•[（3﹣x）（2﹣x）]

＝（﹣x²+5x+14）（x²﹣5x+6）

＝﹣（x²﹣5x）²+8（x²﹣5x）+84

＝﹣[（x²﹣5x）﹣4]²+100，

∵﹣1＜0，

∴M的最大值为100．

故选：C．

【点评】本题考查配方法的应用、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

4．已知x，y为实数，且满足x²﹣xy+4y²＝4，记u＝x²+xy+4y²的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　）

A． B． C． D．

【分析】本题先将u转化为2xy+4，然后根据x²﹣xy+4y²＝4进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得解．

【解答】解：方法一：∵x²﹣xy+4y²＝4，

∴x²+4y²＝xy+4，

∴u＝x²+xy+4y²＝2xy+4，

∵5xy＝4xy+（x²+4y²﹣4）＝（x+2y）²﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，即 ， ，或 ， 时等号成立．

∴xy的最小值为 ，u＝x²+xy+4y²＝2xy+4的最小值为 ，即 ．

∵3xy＝4xy﹣（x²+4y²﹣4）＝4﹣（x﹣2y）²≤4，当且仅当x＝2y，即 ， 或 ， 时等号成立．

∴xy的最大值为 ，u＝x²+xy+4y²＝2xy+4的最大值为 ，即 ．

∴ ．

方法二：由x²﹣xy+4y²＝4，得x²+4y²＝xy+4，u＝x²+xy+4y²＝2xy+4．

设xy＝t，若x＝0，则μ＝4；x≠0时， ，将 代入x²﹣xy+4y²＝4，

得 ，即x⁴﹣（t+4）x²+4t²＝0，…①

由△＝（t+4）²﹣16t²≥0，解得 ．

将 代入方程①，解得 ， ； 代入方程①，解得 ， ．

∴xy的最大值为 ，最小值为 ．

因此， ， ， ，

故选：C．

方法三：

由题意得 ，

①﹣②，得2xy＝u﹣4，

u＝2xy+4，

把②两边加5xy，得（x+2y）²＝4+5xy⩾0，

解得： ，

把②两边减3xy，得（x﹣2y）²＝4﹣3xy⩾0，

解得：xy≤ ，

∴ ，

，

因此， ，

，

，

故选：C．

【点评】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为2xy+4，再确定xy的范围．

5．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax²+bx+c＝0（　　）

A．一定有两个相等实根

B．一定有两个不相等实根

C．有两个实根，但无法确定是否相等

D．无实根

【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：ac＝ b²，即可求解．

【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，

∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME＝ DE＝ b，

∴∠BDM＝∠MEC＝90°+ ∠BAC，

∴∠BMC＝90°+ ∠BAC，

∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，

∵M是△ABC的内角平分线的交点，

∴△DBM∽△MBC，

同理可得出：△BMC∽△MEC，

∴△DBM∽△EMC，

∴ ，

∴BD•EC＝MD•ME，

即：ac＝ b²，

即Δ＝b²﹣4ac＝0，

故选：A．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键．

二．填空题（共9小题）

6．（尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm²，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　cm²．

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为 xcm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为 xcm，

根据题意得：（x+2× x）•x＝135，

解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），

则 x＝3．

所以3×3＝9（cm²）．

故答案为：9．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂图意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．

7．（邛崃市期末）如图，线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²﹣6x+8＝0的两根，点P是y轴正半轴上一点，连接PA，以点P为中心，将线段PA顺时针旋转90°得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ取最小值时点P的坐标是　（0，1）　，此时线段BQ的最小值为　 　．

【分析】先解一元二次方程，求解出A，B坐标，接着以AB为斜边构造等腰直角三角形，使△MAB与△PAQ形成旋转相似，进而得到新的旋转相似，即△BAQ∽△MAP，从而利用相似比，得到BQ＝ ，M点坐标可求，P为y轴上一动点，利用垂线段最短，得到当MP⊥y轴时，MP最短，从而BQ最短，即可解决．

【解答】解：∵x²﹣6x+8＝0，

∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，

∴x＝2或4，

∵线段OA、OB（OA＜OB）的长是方程x²﹣6x+8＝0的两根，

∴OA＝2，OB＝4，

∴A（﹣2，0），B（﹣4，0），AB＝2，

∴以AB为斜边构造等腰直角三角形MAB，如图1，连接MP，AQ，

过M作MN⊥AB于N，则MN＝BN＝AN＝1，

∴M的坐标为（﹣3，1），

∵△MAB与△PAQ均为等腰直角三角形，

∴AM＝BM，AP＝QP，∠MAB＝∠PAQ＝45°，AB＝ ，AQ＝ ，

∴∠MAB+∠MAP＝∠PAQ+∠MAP，

∴∠BAQ＝∠MAP，

又 ，

∴△BAQ∽△MAP，

∴ ，

∴ ，

当MP取得最小值时，BQ取得最小值，

当MP⊥y轴时，MP取得最小是3，此时BQ取得最小值 ，此时P为（0，1），

故答案为（0，1），3 ．

【点评】本题考查了“一定一动”类型的线段最值问题，构造旋转相似图，形成二次相似，转化所求的线段最值问题，是本题的关键．

8．（拱墅区校级月考）若a是方程x²﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a³+2a+2020的值为　2019　．

【分析】因为a是方程x²﹣x﹣1＝0的一个根，所以a²﹣a﹣1＝0，所以a²﹣a＝1，然后整体代入求值即可．

【解答】解：∵a是方程x²﹣x﹣1＝0的一个根，

∴a²﹣a﹣1＝0，

∴a²﹣a＝1．

∴原式＝﹣（a³﹣2a）+2020

＝﹣（a³﹣a²+a²﹣a﹣a）+2020

＝﹣[a（a²﹣a）+1﹣a]+2020

＝﹣（a+1﹣a）+2020

＝﹣1+2020

＝2019．

故答案为：2019．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据条件得a²﹣a＝1，然后整体代入求值是解题的关键．

9．（大石桥市期末）阅读理解：对于x³﹣（n²+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x³﹣（n²+1）x+n＝x³﹣n²x﹣x+n＝x（x²﹣n²）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x²+nx﹣1）．理解运用：如果x³﹣（n²+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x²+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x²+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x²+nx﹣1＝0的所有解就是方程x³﹣（n²+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x³﹣10x+3＝0的解为　x₁＝3，x₂＝ ，x₃＝ 　．

【分析】根据题例，把方程x³﹣10x+3＝0先转化为x³﹣（9+1）x+3＝0的形式，再求解．

【解答】解：x³﹣10x+3＝0，

x³﹣（9+1）x+3＝0，

x³﹣9x﹣x+3＝0，

x（x²﹣9）﹣（x﹣3）＝0，

x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，

∴（x﹣3）（x²+3x﹣1）＝0．

∴x﹣3＝0或x²+3x﹣1＝0．

解方程x﹣3＝0得x₁＝3．

解方程x²+3x﹣1＝0得

x₂＝ ，x₃＝ ．

故答案为：x₁＝3，x₂＝ ，x₃＝ ．

【点评】本题考查了高次方程和一元二次方程的解法，看懂和理解给出的内容是解决本题的关键．

10．（南溪区期中）如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　②③④　（填序号）

①方程x²﹣x﹣2＝0是倍根方程；

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m²+5mn+n²＝0；

③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px²+3x+q＝0是倍根方程；

④若方程以ax²+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b²＝9ac．

【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，

②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合，

③当p，q满足pq＝2，则px²+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出两个根，再根据pq＝2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程，

④用求根公式求出两个根，当x₁＝2x₂，或2x₁＝x₂时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．

【解答】解：①解方程x²﹣x﹣2＝0得，x₁＝2，x₂＝﹣1，得，x₁≠2x₂，

∴方程x²﹣x﹣2＝0不是倍根方程；

故①不正确；

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x₁＝2，

因此x₂＝1或x₂＝4，

当x₂＝1时，m+n＝0，

当x₂＝4时，4m+n＝0，

∴4m²+5mn+n²＝（m+n）（4m+n）＝0，

故②正确；

③∵pq＝2，则：px²+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，

∴x₁＝﹣ ，x₂＝﹣q，

∴x₂＝﹣q＝﹣ ＝2x₁，

因此是倍根方程，

故③正确；

④方程ax²+bx+c＝0的根为：x₁＝ ，x₂＝ ，

若x₁＝2x₂，则， ＝ ×2，

即， ﹣ ×2＝0，

∴ ＝0，

∴ ＝0，

∴3 ＝﹣b

∴9（b²﹣4ac）＝b²，

∴2b²＝9ac．

若2x₁＝x₂时，则， ×2＝ ，

即，则， ×2﹣ ＝0，

∴ ＝0，

∴﹣b+3 ＝0，

∴b＝3 ，

∴b²＝9（b²﹣4ac），

∴2b²＝9ac．

故④正确，

故答案为：②③④

【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．

11．（达川区期中）已知：m、n是方程x²+2x﹣1＝0的两根，则（m²+3m+3）（n²+3n+3）＝　7　．

【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m²+2m﹣1＝0，n²+2n﹣1＝0，变形后代入，即可求出答案．

【解答】解：∵m、n是方程x²+2x﹣1＝0的两根，

∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m²+2m﹣1＝0，n²+2n﹣1＝0，

∴（m²+3m+3）（n²+3n+3）

＝（m²+2m﹣1+m+4）（n²+2n﹣1+n+4）

＝（m+4）（n+4）

＝mn+4（m+n）+16

＝﹣1+4×（﹣2）+16

＝7，

故答案为：7．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂＝﹣ ，x₁•x₂＝ ，也考查了一元二次方程的解．

12．（大庆）已知关于x的一元二次方程：x²﹣2x﹣a＝0，有下列结论：

①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；

②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．

以上4个结论中，正确的个数为　3　．

【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．

【解答】解：∵x²﹣2x﹣a＝0，

∴Δ＝4+4a，

∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，

②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，

③方程的根为x＝ ＝1± ，

∵a＞﹣1，

∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，

④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，

故答案为3．

【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

13．（金牛区校级模拟）已知关于x的方程a（x+m）²+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x₁＝2，x₂＝﹣1，那么方程a（x+m+2）²+b＝0的解　x₃＝0，x₄＝﹣3　．

【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．

【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）²+b＝0的解是x₁＝2，x₂＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m+2）²+b＝0变形为a[（x+2）+m]²+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，

解得x＝0或x＝﹣3．

故答案为：x₃＝0，x₄＝﹣3．

【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．

14．（桥西区校级期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x²﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　14　．

【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．

【解答】解：解方程x²﹣7x+12＝0得：x＝3或4，

当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；

当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，

故答案为：14．

【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

三．解答题（共16小题）

15．（上思县期末）已知2是关于x的方程x²﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

【分析】（1）直接把x＝2代入方程x²﹣2mx+3m＝0可求出m的值；

（2）先解方程x²﹣8x+12＝0，解得x₁＝2，x₂＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．

【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；

（2）当m＝4时，原方程变为x²﹣8x+12＝0，解得x₁＝2，x₂＝6，

∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形

∴△ABC的腰为6，底边为2，

∴△ABC的周长为6+6+2＝14．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．

16．（恩施市期末）关于x的方程x²﹣（2k﹣1）x+k²﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，是否存在实数k，使得|x₁|﹣|x₂|＝ ？若存在，试求出k的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由方程根的性质，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；

（2）利用k可表示出方程的两根，结合k的取值范围可判断出两根的符号，利用根与系数的关系，结合已知条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．

【解答】解：

（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（2k﹣1）²﹣4（k²﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，

∴ ；

（2）由一元二次方程的求根公式得：x₁＝ ，x₂＝ ，

∵ ，

∴ ，

∴x₁＞0，

又∵x₁•x₂＝k²﹣2k+3＝（k﹣1）²+2＞0，

∴x₂＞0，

当 时，有 ，

即 ﹣ ＝ ＝ ，

∴4k﹣11＝3，

∴ ，

∴存在实数 ，使得 ．

【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，用k表示出判别式、表示出两根是解题的关键．

17．（零陵区期末）已知α、β是关于x的一元二次方程x²+（2m+3）x+m²＝0的两个不相等的实数根．

（1）试确定m的取值范围；

（2）当 + ＝﹣1时，求m的值．

【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＞0，求出m的取值范围即可；

（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+（2m+3）x+m²＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）²﹣4m²＞0，

解得m＞﹣ ；

（2）∵α，β是方程的两个实数根，

∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m²．

∵ + ＝﹣1，

∴﹣（2m+3）＝﹣m²，

解得m₁＝3，m₂＝﹣1．

∵m＞﹣ ，

∴m＝3．

【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁•x₂＝ 是解答此题的关键．也考查了根的判别式．

18．（临江市期末）已知关于x的方程x²﹣2016x+m²﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x²+2016x﹣m²+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值．

【分析】设这两个方程的根分别为a和﹣a，把x＝a代入方程x²﹣2016x+m²﹣3m＝0，得a²﹣2016a+m²﹣3m＝0①；再把x＝﹣a代入方程x²+2016x﹣m²+3m＝0，得a²﹣2016a﹣m²+3m＝0②，①﹣②消去a得：2m²﹣6m＝0，解方程即可求出m的值．

【解答】解：设这两个方程的根分别为a和﹣a．

把x＝a代入方程x²﹣2016x+m²﹣3m＝0，得a²﹣2016a+m²﹣3m＝0①；

再把x＝﹣a代入方程x²+2016x﹣m²+3m＝0，得a²﹣2016a﹣m²+3m＝0②，

①﹣②消去a得：2m²﹣6m＝0，解得m＝3或m＝0．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

19．（新田县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，即可得出a²＝b²+c²，根据勾股定理的逆定理判断即可．

【解答】解：△ABC是直角三角形，

理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝0，

即（2b）²﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，

∴a²＝b²+c²，

∴△ABC是直角三角形．

【点评】此题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；等边三角形的三边相等等．

20．（庄浪县期末）若x²﹣2x+10+y²+6y＝0，求（2x﹣y）²的值．

【分析】首先根据完全平方公式可得x²﹣2x+1+y²+6y+9＝0，进而得到（x﹣1）²+（y+3）²＝0，再根据偶次幂的性质可得x﹣1＝0，y+3＝0，求得x、y，再代入求得答案即可．

【解答】解：∵x²﹣2x+10+y²+6y＝0，

∴x²﹣2x+1+y²+6y+9＝0，

∴（x﹣1）²+（y+3）²＝0，

∴x﹣1＝0，y+3＝0，

∴x＝1，y＝﹣3，

∴（2x﹣y）²＝（2+3）²＝25．

【点评】此题主要考查了配方法的运用，非负数的性质，关键是掌握完全平方公式：a²±2ab+b²＝（a±b）²．

21．（杨浦区校级期中）若α＝ 为一元二次方程x²﹣x+t＝0的根；

（1）则方程的另外一个根β＝　 　，t＝　﹣1　；

（2）求α⁶+8β的值．

（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α²，β²．

【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系列出等式即可求解；

（2）利用一元二次方程根的意义将α⁶适当变形后，再利用根与系数的关系解答即可求得结论；

（3）分别计算α²+β²与Ვβ²的值，再依据求作一个一元二次方程的公式解得即可．

【解答】解：（1）由根与系数的关系，α+β＝1，αβ＝t，

∴β＝1﹣α＝1﹣ ＝ ，

∴t＝αβ＝ × ＝﹣1，

故答案为： ，﹣1；

（2）∵α＝ 为一元二次方程x²﹣x﹣1＝0的根，

∴α²﹣α﹣1＝0．

∴α²＝1+α．

∴α⁶＝（α²）³

＝（1+α）³

＝1+3α+3α²+α³

＝1+3α+3（1+α）+α（1+α）

＝1+3α+3+3α+α+α²

＝1+3α+3+3α+α+1+α

＝8α+5．

∴α⁶+8β

＝8α+5+8β

＝8（α+β）+5

＝8×1+5

＝13．

（3）∵α+β＝1，αβ＝﹣1，

∴α²+β²＝（α+β）²﹣2αβ＝1+2＝3，

Ვβ²＝（αβ）²＝1，

∴两根分别为α²，β²，关于y的一元二次方程，二次项系数为1的方程是：y²﹣3y+1＝0．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将α⁶适当变形后，再利用根与系数的关系解答是解题的关键．

22．（东至县期末）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一，其中“蔡岭”在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．

（1）求出2019至2021年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；

（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）

【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2019年五一长假期间，接待游客达209万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达2.88万人次，列出方程求解即可；

（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．

【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有

2（1+x）²＝2.88，

解得x₁＝0.2＝20%，x₂＝﹣2.2（舍去）．

答：年平均增长率为20%；

（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：

（y﹣10）[120﹣ （y﹣15）]﹣168＝600，

解得y₁＝18，y₂＝22，

∵每碗售价不得超过20元，

∴y＝18．

答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．

【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

23．（沙坪坝区校级期末）阅读材料1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（ ﹣ ）²≥0，所以a﹣2 +b≥0，从而a+b≥2 ，当a＝b时取等号）．

阅读材料2：若y＝x+ （m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知x+ ≥2 ，所以当x＝ ，x＝ ，y＝x+ 的最小值为2 ．

阅读理解上述内容，解答下列问题：

（1）已知x＞0，则当x＝　2　时，x+ +1取得最小值，且最小值为　5　；

（2）已知y₁＝x+1（x＞﹣1），y₂＝x²+2x+10（x＞﹣1），求 的最小值；

（3）某大学学生会在5月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入640元；二是参加活动的同学午餐费每人15元；三是其他费用，其中，其他费用等于参加活动的同学人数的平方的0.1倍，求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入＝支出总费用/参加活动的同学人数）

【分析】（1）由题意求出 最小值，即可求出 +1的最小值；

（2）把y₁、y₂代入化成（x+1）+ 的形式，即可求出最小值；

（3）设参加活动的同学人数为x，人均投入为 ，化成15+0.1（x+ ）的形式，即可求出答案．

【解答】（1）解：由题意得，当x＝ 即x＝2时， 有最小值为2 ＝4，

∴ +1的最小值为5，

故答案为2，5；

（2）解：∵y₁＝x+1（x＞﹣1），y₂＝x²+2x+10（x＞﹣1），

∴ ＝ ＝ ，

∴当x+1＝ 即x＝2时， 有最小值为2 ＝6，

∴ 有最小值为6；

（3）解：设参加活动的同学人数为x，

∴人均投入为： ＝15+0.1（x+ ），

∴当x＝ 即x＝80时， 有最小值为2 ＝160，

∴最低费用是15+0.1×160＝31（元），

∴当参加活动的同学人数为80时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是31元．

【点评】本题为阅读理解，考查了配方法的应用，要正确理解题意，会把题目化成公式中完全平方的形式，利用完全平方的非负性质解决问题．

24．（邗江区期末）已知关于x的一元二次方程kx²﹣4x+2＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx²﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．

【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式Δ＝b²﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．

（2）由于AB＝2是方程kx²﹣4x+2＝0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．

【解答】解：（1）∵方程有实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝（﹣4）²﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，

解得：k≤2，

又因为k是二次项系数，所以k≠0，

所以k的取值范围是k≤2且k≠0．

（2）由于AB＝2是方程kx²﹣4x+2＝0，

所以把x＝2代入方程，可得k＝ ，

所以原方程是：3x²﹣8x+4＝0，

解得：x₁＝2，x₂＝ ，

所以BC的值是 ．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．

25．（廉江市期末）益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件商品？每件应定价多少？

【分析】根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价．建立等量关系．

【解答】解：依题意（a﹣21）（350﹣10a）＝400，

整理得a²﹣56a+775＝0，解得a₁＝25，a₂＝31．

因为21×（1+20%）＝25.2，所以a₂＝31不合题意，舍去．

所以350﹣10a＝350﹣10×25＝100（件）．

答：需要进货100件，每件商品应定价25元．

【点评】解一元二次方程的应用题，需要检验结果是否符合题意．

26．（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x²﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根x₁，x₂．

（1）求m的取值范围；

（2）若x₁，x₂满足2x₁＝|x₂|+1，求m的值．

【分析】（1）根据根的判别式即可求解；

（2）根据根与系数的关系，分情况讨论即可求得m的值．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x²﹣3x+m﹣2＝0有两个实数根，

∴△≥0，即9﹣4（m﹣2）≥0

解得m≤ ．

答：m的求值范围为m≤ ．

（2）根据根与系数的关系：

x₁+x₂＝3，x₁•x₂＝m﹣2，

∵x₁，x₂满足2x₁＝|x₂|+1，

①当x₂≥0时，2x₁＝x₂+1

把x₂＝3﹣x₁代入，得

2x₁＝3﹣x₁+1

解得x₁＝ ，

∴x₂＝ ，

∴m﹣2＝x₁•x₂＝

∴m＝ ．

②当x₂＜0时，2x₁＝﹣x₂+1

∴2x₁+3﹣x₁＝1

解得x₁＝﹣2，x₂＝5，

∵2x₁＝|x₂|+1，

∴x₁＝﹣2，x₂＝5（不符合题意，舍去）

答：m的值为 ．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式，解决本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式．

27．（市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．

（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？

（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售 m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．

【分析】（1）设打x折销售，根据利润率＝ ≥10%，列方程可得结论；

（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价3m%，每天可多销售 m%，依此列出方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，

由题意得： ≥10%，

x≥8.8，

答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；

（2）由题意得：5000（1+ m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，

5（1+ ）（50﹣ m+m﹣40）＝49，

m²﹣5m﹣6＝0，

m₁＝6，m₂＝﹣1（舍）．

【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．

28．（市南区期中）如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉．

（1）设观览通道的宽度为x米，则a＝　 　（用含x的代数式表示）；

（2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？

【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；

（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．

【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a＝ ；

（2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x• ＝2430，

解得x₁＝2，x₂＝38（不合题意，舍去）．

答：中间通道的宽度为2米．

故答案为： ．

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．

29．（十堰期中）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm²？

（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm²？说明理由．

【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm²，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．

（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm²．

【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6cm²，则

×（5﹣x）×2x＝6，

整理得：x²﹣5x+6＝0，

解得：x＝2或x＝3．

答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm² ．

（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm²，则

×（5﹣x）×2x＝8，

整理得：x²﹣5x+8＝0，

△＝25﹣32＝﹣7＜0，

所以，此方程无解，

故△PQB的面积不能等于8cm²．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm²”，得出等量关系是解决问题的关键．

30．（阳信县期末）先阅读后解题．

已知m²+2m+n²﹣6n+10＝0，求m和n的值．

解：把等式的左边分解因式：（m²+2m+1）+（n²﹣6n+9）＝0．

即（m+1）²+（n﹣3）²＝0．

因为（m+1）²≥0，（n﹣3）²≥0．

所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．

利用以上解法，解下列问题：

（1）已知：x²﹣4x+y²+2y+5＝0，求x和y的值．

（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a²+b²＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．

【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x和y的值；

（2）同理可得a和b的值，再由三角形的三边关系可得c的值．

【解答】解：（1）x²﹣4x+y²+2y+5＝0，

（x²﹣4x+4）+（y²+2y+1）＝0，

（x﹣2）²+（y+1）²＝0，

∵（x﹣2）²≥0，（y+1）²≥0，

∴x﹣2＝0，y+1＝0，

∴x＝2，y＝﹣1；

（2）a²+b²＝12a+8b﹣52，

（a²﹣12a+36）+（b²﹣8b+16）＝0，

（a﹣6）²+（b﹣4）²＝0，

∵（a﹣6）²≥0，（b﹣4）²≥0，

∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，

∴a＝6，b＝4，

∵△ABC为等腰三角形，

∴c＝4或6．

【点评】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式．