第2章一元二次方程（易错30题专练）

一．选择题（共15小题）

1．（海州区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣2＝0 B．xy+1＝0 C．x²﹣2x﹣3 D．x²﹣4x﹣1＝0

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．

【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不符合题意；

B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、不是等式，故不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D、是一元二次方程，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

2．（市中区期末）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）

A．100（1+x）²＝280

B．100（1+x）+100（1+x）²＝280

C．100（1﹣x）²＝280

D．100+100（1+x）+100（1+x）²＝280

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．

【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，

则二月份生产机器为：100（1+x），

三月份生产机器为：100（1+x）²；

又知二、三月份共生产280台；

所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）²＝280．

故选：B．

【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据增长率的一般规律，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）²＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

3．（滨江区期末）下列配方正确的是（　　）

A．x²+2x+5＝（x+1）²+6

B．x²+3x＝（x+ ）²﹣

C．3x²+6x+1＝3（x+1）²﹣2

D．x²﹣

【分析】完全平方公式的掌握a²+2ab+b²＝（a+b）²，a²﹣2ab+b²＝（a﹣b）²．

【解答】解：A选项，（x²+2x+1）+4＝（x+1）²+4；故A不符合题意；

B选项，（x²+2× x+（ ）²）﹣（ ）²＝（x+ ）²﹣（ ）²，故B不符合题意；

C选项，3x²+6x+1＝3（x²+2x+1）﹣2＝3（x+1）²﹣2，故C符合题意；

D选项，x²﹣ x+ ＝[x²﹣2× x+（ ）²]﹣（ ）²+ ＝（x﹣ ）²+ ，故D不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查完全平方公式在配方法中的运用．

4．（江西模拟）关于x的方程（a﹣3） ﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）

A．a≠±3 B．a＝3 C．a＝﹣3 D．a＝±3

【分析】根据一元二次方程的定义得出a²﹣7＝2且a﹣3≠0，求出即可．

【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3） ﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，

∴a²﹣7＝2且a﹣3≠0，

解得：a＝﹣3，

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．

5．（永嘉县校级期末）方程（m﹣2） ﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3

【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m²+m﹣4＝2，求出m即可．

【解答】解：∵方程（m﹣2） ﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，

∴m﹣2≠0且m²+m﹣4＝2，

解得：m＝﹣3，

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，能根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0和m²+m﹣4＝2是解此题的关键．

6．（江北区期末）下列各式的变形中，正确的是（　　）

A．（3﹣x）（3+x）＝x²﹣9 B．（﹣x﹣3）（x+3）＝﹣x²﹣9

C．x²﹣4x+3＝（x﹣2）²+1 D．（﹣x+1）²＝x²﹣2x+1

【分析】利用完全平方公式、平方差公式、配方法把各个选项中的算式进行计算，判断即可．

【解答】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x²，故本选项错误；

B、（﹣x﹣3）（x+3）＝﹣x²﹣﹣6x﹣9，故本选项错误；

C、x²﹣4x+3＝x²﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）²﹣1，故本选项错误；

D、（﹣x+1）²＝x²﹣2x+1，故本选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查的是整式的运算，掌握配方法的一般步骤、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．

7．（怀化期末）一元二次方程x²﹣2x+3＝0的二次项系数是（　　）

A．1 B．2 C．﹣2 D．3

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．

【解答】解：方程x²﹣2x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为3，

故选：A．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

8．（温岭市一模）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y²+my+4m²﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．±1

【分析】把解代入所给的方程，求出m的值．

【解答】解：把y＝0代入（m﹣1）y²+my+4m²﹣4＝0得：

4m²﹣4＝0，即m²﹣1＝0

解得：m₁＝1，m₂＝﹣1

当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，

所以m＝﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，难度不大．本题易错，容易出现求出m就作答，忽略需满足方程是一元二次方程的条件．

9．（金乡县二模）用配方法解方程x²﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）

A．（x﹣3）²＝13 B．（x+3）²＝13 C．（x﹣6）²＝4 D．（x﹣3）²＝5

【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．

【解答】解：方程x²﹣6x﹣4＝0变形得：x²﹣6x＝4，

配方得：x²﹣6x+9＝13，即（x﹣3）²＝13，

故选：A．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

10．（包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）

A．34 B．30 C．30或34 D．30或36

【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；

【解答】解：当a＝4时，b＜8，

∵a、b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+b＝12，

∴b＝8不符合；

当b＝4时，a＜8，

∵a、b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+a＝12，

∴a＝8不符合；

当a＝b时，

∵a、b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，

∴12＝2a＝2b，

∴a＝b＝6，

∴m+2＝36，

∴m＝34；

故选：A．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．

11．（嘉兴期末）已知实数x满足（x²﹣x）²﹣4（x²﹣x）﹣12＝0，则代数式x²﹣x+1的值是（　　）

A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3

【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出x²﹣x的值就可以求出结论．

【解答】解：∵（x²﹣x）²﹣4（x²﹣x）﹣12＝0，

∴（x²﹣x+2）（x²﹣x﹣6）＝0，

∴x²﹣x+2＝0或x²﹣x﹣6＝0，

∴x²﹣x＝﹣2或x²﹣x＝6．

当x²﹣x＝﹣2时，x²﹣x+2＝0，

∵b²﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，

∴此方程无实数解．

当x²﹣x＝6时，x²﹣x+1＝7

故选：A．

【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．

12．（永嘉县校级模拟）《代数学》中记载，形如x²+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x²+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（　　）

A．6 B．3 ﹣3 C．3 ﹣2 D．3 ﹣

【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为 ，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．

【解答】解：x²+6x+m＝0，

x²+6x＝﹣m，

∵阴影部分的面积为36，

∴x²+6x＝36，

设4a＝6，

则a＝ ，

同理：先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的面积为36+（ ）²×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为 ﹣3＝3 ﹣3．

故选：B．

【点评】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．

13．（东安县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）

A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1

【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）²﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可．

【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）²﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，

解得k≥ 且k≠1．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

14．（武义县期末）关于x的方程m²x²﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【分析】根据公式法或因式分解法解方程，根据方程的解为正整数及m为整数，即可确定出m的值．

【解答】解：m²x²﹣8mx+12＝0，

解法一：Δ＝（﹣8m）²﹣4m²×12＝16m²，

∴x＝ ＝ ，

∴x₁＝ ，x₂＝ ，

解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，

∴x₁＝ ，x₂＝ ，

∵关于x的方程m²x²﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，

∴ ＞0， ＞0，

∴m＝1或2或3或6，

则满足条件的m的值的个数是4个，

故选：B．

【点评】此题考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．

15．（永年区期中）对于一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0），下列说法：

①若a+b+c＝0，则b²﹣4ac≥0；

②若方程ax²+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²+bx+c＝0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax²+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；

④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c＝0的根，则

其中正确的（　　）

A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③

【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．

【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax²+bx+c＝0的解，

由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b²﹣4ac≥0，故①正确；

②∵方程ax²+c＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝0﹣4ac＞0，

∴﹣4ac＞0，

则方程ax²+bx+c＝0的判别式Δ＝b²﹣4ac＞0，

∴方程ax²+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；

③∵c是方程ax²+bx+c＝0的一个根，

则ac²+bc+c＝0，

∴c（ac+b+1）＝0

若c＝0，等式仍然成立，

但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；

④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c＝0的根，

则由求根公式可得：

x₀＝ 或x₀＝

∴2ax₀+b＝ 或2ax₀+b＝﹣

∴

故④正确．

故选：B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．

二．填空题（共9小题）

16．（襄城区模拟）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请　8　队参赛．

【分析】本题可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有 场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．

【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，

∴共7×4＝28场比赛．

设比赛组织者应邀请x队参赛，

则由题意可列方程为： ＝28．

解得：x₁＝8，x₂＝﹣7（舍去），

所以比赛组织者应邀请8队参赛．

故答案为：8．

【点评】本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x的值，但要注意舍去不合题意的解．

17．（昌图县期末）已知（m﹣1）x^|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣3　．

【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．

【解答】解：∵（m﹣1）x^|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，

∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，

解得：m＝﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．

18．（常州）若关于x的方程x²+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝　1　．

【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．

【解答】解：∵关于x的方程x²+ax﹣2＝0有一个根是1，

∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，

解得：a＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．

19．（舟山）在x²+（　±4x　）+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．

【分析】要使方程有两个相等的实数根，即Δ＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．

【解答】解：

要使方程有两个相等的实数根，则Δ＝b²﹣4ac＝b²﹣16＝0

得b＝±4

故一次项为±4x

故答案为±4x

【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b²﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．

20．（石鼓区期末）已知a是方程x²﹣x﹣1＝0的一个根，则a⁴﹣3a﹣2的值为　0　．

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：把x＝a代入方程可得，

a²﹣a﹣1＝0，即a²＝a+1，

∴a⁴﹣3a﹣2＝（a²）²﹣3a﹣2

＝（a+1）²﹣3a﹣2

＝a²﹣a﹣1＝0．

【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取等量关系a²＝a+1，然后利用“整体代入法”求代数式的值．解此题的关键是降次，把a⁴﹣3a﹣2变形为（a²）²﹣3a﹣2，把等量关系a²＝a+1代入求值．

21．（磴口县校级二模）若（x²+y²）²﹣5（x²+y²）﹣6＝0，则x²+y²＝　6　．

【分析】设x²+y²＝t．则原方程转化为关于t的一元二次方程t²﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0；然后解关于t的方程即可．

【解答】解：设x²+y²＝t（t≥0）．则

t²﹣5t﹣6＝0，即（t﹣6）（t+1）＝0，

解得，t＝6或t＝﹣1（不合题意，舍去）；

故x²+y²＝6．

故答案是：6．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意x²+y²＝t中的t的取值范围：t≥0．

22．（2014•哈尔滨）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x²+3x+m+1＝0的一个解，则m的值为　1　．

【分析】根据x＝﹣1是已知方程的解，将x＝﹣1代入方程即可求出m的值．

【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：1﹣3+m+1＝0，

解得：m＝1．

故答案为：1

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

23．（桓台县二模）若关于x的方程x³+36x+a＝0有一个根是﹣2，则66﹣a的值是　﹣14　．

【分析】将x＝﹣2代入方程求a，再求原代数式的值．

【解答】解：∵关于x的方程x³+36x+a＝0有一个根是﹣2．

∴﹣8﹣72+a＝0．

∴a＝80．

∴66﹣a＝66﹣80＝﹣14．

故答案为：﹣14．

【点评】本题考查高次方程解的含义，将x的值代入方程求出a值是求解本题的关键．

24．（鄞州区期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x²+y²）（x²+y²﹣1）＝20，则这个直角三角形的斜边长为　 　．

【分析】利用换元法解方程（x²+y²）（x²+y²﹣1）＝20，即可得到x²+y²＝5，进而得出这个直角三角形的斜边长为 ．

【解答】解：设x²+y²＝t，则原方程可化为：

t（t﹣1）＝20，

∴t²﹣t﹣20＝0，

即（t+4）（t﹣5）＝0，

∴t₁＝5，t₂＝﹣4（舍去），

∴x²+y²＝5，

∴这个直角三角形的斜边长为 ，

故答案为： ．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．

三．解答题（共6小题）

25．（嘉峪关校级期中）解方程

（1）（x﹣1）（x+3）＝12

（2）（x﹣3）²＝3﹣x

（3）3x²+5（2x+1）＝0．

【分析】（1）方程整理为一般形式后，左边利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（3）方程整理为一般形式后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出值．

【解答】解：（1）方程整理得：x²+2x﹣15＝0，

分解因式得：（x﹣3）（x+5）＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝﹣5；

（2）方程变形得：（x﹣3）²+（x﹣3）＝0，

分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+1）＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝2；

（3）方程整理得：3x²+10x+5＝0，

这里a＝3，b＝10，c＝5，

∵△＝100﹣60＝40，

∴x＝ ＝ ．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

26．（永嘉县校级期中）选择适当方法解一元二次方程：

（1）（x﹣5）²﹣36＝0；

（2）2x²+4x﹣5＝0．

【分析】（1）因式分解法求解．

（2）用公式法解方程．

【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）²＝6²．

∴x﹣5＝± ＝±6．

∴x₁＝﹣1或x₂＝11．

（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．

△＝4²﹣4×2×（﹣5）＝56．

由求根公式x＝ 得：

x＝ ．

∴x₁＝ 或x₂＝ ．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择适当的解法是求解本题的关键．

27．（东阳市期末）阅读理解：我们一起来探究代数式x²+2x+5的值，

探究一：当x＝1时，x²+2x+5的值为　8　；当x＝2时，x²+2x+5的值为　13　，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．

探究二：把代数式x²+2x+5进行变形，如：x²+2x+5＝x²+2x+1+4＝（x+1）²+4，可以看出代数式x²+2x+5的最小值为　4　，这时相应的x＝　﹣1　．

根据上述探究，请解答：

（1）求代数式﹣x²﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．

（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y²+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．

【分析】探究一：把x＝1和x＝2分别代入代数式x²+2x+5中，再进行计算即可得出答案；

探究二：先将代数式x²+2x+5配方后得：（x+1）²+4，可得结论；

（1）将代数式﹣x²﹣8x+17配方后可得结论；

（2）存在A＝B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．

【解答】解：探究一：

当x＝1时，x²+2x+5＝1²+2+5＝8；

若x＝2，x²+2x+5＝2²+2×2+5＝13；

故答案为：8，13；

探究二：

x²+2x+5＝（x²+2x+1）+4＝（x+1）²+4，

∵（x+1）²是非负数，

∴这个代数式x²+2x+5的最小值是4，此时x＝﹣1．

故答案为：4，﹣1；

（1）∵﹣x²﹣8x+17＝﹣（x+4）²+33，

∴当x＝﹣4时，代数式﹣x²﹣8x+17有最大值是33；

（2）∵A＝﹣x²﹣8x+17，B＝9y²+12y+37，

当A＝B时，则B﹣A＝0，

∴（9y²+12y+37）﹣（﹣x²﹣8x+17）＝0，

9y²+12y+4+x²+8x+16＝0，

（3y+2）²+（x+4）²＝0，

∴3y+2＝0，x+4＝0，

∴x＝﹣4，y＝﹣ ，

∴x•y＝﹣4×（﹣ ）＝ ．

【点评】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．

28．在实数范围内定义运算“◎”，其法则为：a◎b＝a²﹣b²，求方程a◎ ＝9的解．

【分析】理解新定义，根据定义把方程转化为一般式求解，结合字母的取值范围确定原方程的解．

【解答】解：由题意得： ，（2分）

即a²﹣a﹣6＝0．

解得：a₁＝﹣2，a₂＝3．（2分）

又∵ 有意义，

∴a﹣3≥0，

∴a≥3．

∴a＝3．（2分）

【点评】此题考查对新定义的理解和综合应用能力，注意定义中的字母取实数这一前提条件．

29．（西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x²﹣（m+4）x+2m+4＝0

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；

（3）若x₁，x₂为方程的两个根，且n＝x₁²+x₂²﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．

【分析】（1）由Δ＝[﹣（m+4）]²﹣4（2m+4）＝m²≥0知方程有两个实数根；

（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，由于其中一个等于2，已经小于4，故令另外一个含有m的根大于等于4，即可求出m的值；

（3）先由韦达定理得出x₁+x₂＝m+4，x₁x₂＝2m+4，代入n＝x₁²+x₂²﹣4，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点A（﹣5，9）代入验证即可．

【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]²﹣4（2m+4）＝m²≥0，

∴该一元二次方程总有两个实数根；

（2）解：∵关于x的一元二次方程x²﹣（m+4）x+2m+4＝0

∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4

∴由一元二次方程的求根公式得：x＝ ＝

∴x₁＝m+2，x₂＝2

∵该方程只有一个小于4的根

∴m+2≥4

∴m≥2；

（3）由韦达定理得：x₁+x₂＝m+4，x₁x₂＝2m+4

∴n＝x₁²+x₂²﹣4

＝ ﹣2x₁x₂﹣4

＝（m+4）²﹣2（2m+4）﹣4

＝m²+4m+4

∴动点P（m，n）可表示为（m，m²+4m+4）

∴当m＝﹣5时，m²+4m+4＝25﹣20+4＝9

∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及韦达定理得应用，以及点的坐标与函数的对应关系．

30．（永嘉县校级期末）已知关于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+m²﹣1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂+x₁x₂＝5，求实数m的值．

【分析】（1）当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0，列式计算出m的值；

（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入x₁+x₂+x₁x₂＝5中得：m₁＝4，m₂＝﹣2，再根据△的取值确定其m的值．

【解答】解：（1）Δ＝[2（m+1）]²﹣4×1×（m²﹣1）＞0，

4（m+1）²﹣4m²+4＞0，

8m＞﹣8，

m＞﹣1，

则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；

（2）x₁+x₂＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x₁x₂＝m²﹣1，

x₁+x₂+x₁x₂＝5，

﹣2m﹣2+m²﹣1＝5，

m²﹣2m﹣8＝0，

（m﹣4）（m+2）＝0，

m₁＝4，m₂＝﹣2，

∵方程两实数根分别为x₁，x₂，

∴△≥0，

∴m≥﹣1，

∴m＝4．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，①x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x₁+x₂＝﹣ ，x₁x₂＝ ，②一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．要注意第（2）中根据已知式子得出m的值后，利用根的判别式进行取舍．