第2章一元二次方程（单元提高卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．选择题（共10小题）
1．（双流区期末）关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x+1＝0中的a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
2．（拱墅区校级期中）已知代数式x2+y2+4x﹣6y+13＝0，则（y+1）x的值为（ ）
A．16 B．﹣16 C．﹣
D．
【分析】把含x和y的项分别写成完全平方公式的形式，根据非负数的性质求出x，y，再计算代数式的值．
【解答】解：∵x2+y2+4x﹣6y+13＝0，
∴x2+4x+4+y2﹣6y+9＝0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+2＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴原式＝（3+1）﹣2
＝4﹣2
＝
，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，把含x和y的项分别写成完全平方公式的形式是解题的关键．
3．（济宁三模）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（ ）
A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH
【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为
，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BH＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DN＝m，则NC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．
【解答】解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．
由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，
∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．
∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1＝
×1×
+
×1×m+
×
×（1﹣m）+
×
×m，
∴m＝
．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝﹣
±
，
∴取正值为x＝
．
∴这条线段是线段DN．
故选：B．
【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
4．（安徽二模）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】先将方程整理为一般式，再计算出方程根的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：将方程整理为一般式，得：x2+x﹣6＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（鹿城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（ ）
A．3，12 B．﹣3，12 C．3，6 D．﹣3，6
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，
∴x＝﹣3，b＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．（余杭区期中）把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．2，3 B．2，5 C．﹣2，3 D．﹣2，5
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，n＝5，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7．（平顶山期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x﹣1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2022．
【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．（宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（ ）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣
）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
【分析】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程．
【解答】解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，
故选：A．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．（崇川区校级月考）关于x的一元二次方程nx2﹣
x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（ ）
A．n＜
且n≠0 B．n＞
C．﹣
≤n＜
且n≠0 D．﹣
＜n≤
且n≠0
【分析】根据根的判别式及二次根式有意义的条件、一元二次方程的定义得出Δ＝（﹣
）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0，解之即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程nx2﹣
x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣
）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0，
解得﹣
≤n＜
且n≠0，
故选：C．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（下城区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝
，
∴2ax0+b＝
，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．
故正确的有①②④，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，灵活运用根的判别式式解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（辛集市期末）将一元二次方程x2﹣3x+1＝0变形为（x+h）2＝k的形式为 （x﹣
）2＝
．
【分析】先移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
x2﹣3x＝﹣1，
x2﹣3x+（
）2＝﹣1+（
）2，
（x﹣
）2＝
，
故答案为：（x﹣
）2＝
．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
12．（麦积区期末）若关于x的方程（m﹣1）
+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得，
，
由①得，m＝±1，
由②得，m≠1，
所以，m的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．（拱墅区校级期中）已知实数m，n满足m﹣n＝1，则代数式m2+2n+4m﹣1的最小值为 4 ．
【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：∵m﹣n＝1，
∴n＝m﹣1，
则m2+2n+4m﹣1
＝m2+2m﹣2+4m﹣1
＝m2+6m﹣3
＝m2+6m+9﹣12
＝（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2﹣12≥﹣12，即代数式m2+2n+4m﹣1的最小值等于﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
14．（椒江区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，则每个支干长出的小分支数目为 6 ．
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝43，
解得：x＝6或x＝﹣7（不合题意，应舍去）；
∴x＝6；
故答案为：6．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
15．（嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 8 个班级．
【分析】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设八年级有x个班，
依题意得：
x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝ 2 ．
【分析】根据根与系数的关系求得x2＝1，将其代入已知方程，列出关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
17．（鄞州区校级期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣b+
c＝0，则方程必有一根为 ﹣3 ．
【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0，即可得出答案．
【解答】解：当把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0，即3a﹣b+
c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣3，
故答案是：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
18．（鄞州区期中）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，则方程可配方为 （x﹣3）2＝8 ．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣6x＝﹣1，
则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，
故答案为：（x﹣3）2＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
19．（广水市期末）解方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）（x+1）（x﹣1）＝6x﹣1
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1；
（2）整理为一般式，得：x2﹣6x＝0，
则x（x﹣6）＝0，
∴x＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝0，x2＝6．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（西湖区校级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根x1，x2．
（1）若x12+x22＝2，求m的值；
（2）令T＝
+
，求T的取值范围．
【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．
（1）变形x12+x22为（x1+x2）2﹣2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；
（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，
解得m≤1，
∵m是不小于﹣1的实数，
∴﹣1≤m≤1，
∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x1•x2＝m2﹣3m+3．
（1）∵x12+x22＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2，
整理得m2﹣5m+4＝0，解得m1＝1，m2＝4（舍去），
∴m的值为1；
（2）T＝
+
＝
＝
＝
＝
＝2﹣2m．
∵当m＝0时，方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3．
此时T没有意义．
当m≠0时，﹣1≤m≤1，
所以0≤2﹣2m≤4．
即0≤T≤4且T≠2．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子．
21．（盐都区期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）2，又知五月份的全天包车数为：64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；
（2）每辆全天包车的租金×全天包车数量＝8800列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：25（1+x）2＝64，
解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为60%；
（2）根据题意可得：（120﹣a）（64+1.6a）＝8800，
化简得：a2﹣80a+700＝0，
解得：a1＝10，a2＝70．
答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
22．（宁远县期末）某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．
（1）这款口罩日均销售量为 （300﹣5x） 袋．（用含x的代数式表示）
（2）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值．（销售额＝销售量×售价）
（3）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））
【分析】根据题意可知：①口罩日均销售量＝100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）．
②销售额＝销售量×售价，x（300﹣5x）＝2500
③总利润＝单价利润×总的销售量（x﹣30）（300﹣5x）＝1200
【解答】解：（1）100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）＝（300﹣5x）．
故答案为：（300﹣5x）．
（2）依题意得：x（300﹣5x）＝2500，
﹣5x2+300x＝2500，
x2﹣60x+500＝0
（x﹣10）（x﹣50）＝0，
x1＝10或x2＝50，
∵物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，
∴x＝50符合题意
故答案为：x＝50，该商店这款口罩日均销售额为2500元．
（3）答：不存在．
依题意得：（x﹣30）（300﹣5x）＝1200
﹣5x2+450x﹣10200＝0，
x2﹣90x+2040＝0，
Δ＝﹣60＜0
∴方程没有实数根，
∴不存在这样的x值
【点评】应用题关键明白题目的数量关系式，然后根据题意列出有关的式子或方程．
23．（仙居县期中）如图，小球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.6m．
（1）写出小球滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均速度
×时间t，
＝
，其中，v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度．）
（2）如果斜面的长是4m，小球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
【分析】（1）根据题意求得vt＝1.6t，然后由“距离＝平均速度v×时间t”列出关系式；
（2）把s＝4代入（1）中的函数关系式即可求得相应的t的值．
【解答】（1）由已知得vt＝0+1.6t＝1.6t，
∴v＝
＝
t，
∴s＝vt＝
•t＝
t•t＝
t2，即s＝
t2；
（2）把s＝4代入s＝
t2中，得
t2＝4，
解得：t1＝
，t2＝
（不合题意，舍去）．
答：小球从斜面顶端滾到底端用
s．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数关系式是解决问题的关键．
24．（永嘉县校级模拟）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得（100﹣4x）x＝400，
解得x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
25．（罗湖区校级模拟）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2014年底拥有家庭电动自行车125辆，2016年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2014年底到2017年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2017年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2016年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2017年底家庭电动车将达到多少辆．
（2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．
【解答】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，
则125（1+x）2＝180，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
∴180（1+20%）＝216（辆），
答：该小区到2017年底家庭电动自行车将达到216辆；
（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，
则
，
由①得b＝150﹣5a，
代入②得20≤a≤
，
∵a是正整数，
∴a＝20或21，
当a＝20时b＝50，当a＝21时b＝45．
∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；
方案二：室内车位21个，露天车位45个
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出2012年的家庭电动自行车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解．
26．（永嘉县校级模拟）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数＝每人投递件数×人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．
【解答】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得
10×（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝10%，x2＝﹣210%．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）4月：12.1×1.1＝13.31（万件）
21×0.6＝12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∵22＜
＜23，
∴至少还需增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据三月份与五月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程；（2）根据该公司每月的投递总件数的增长率相同算出今年6月份的快递投递任务量．
27．（南昌县期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣
ac＝0；我们记“K＝b2﹣
ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是 ② （填序号即可）；
（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；
（3）关于x的一元二次方程x2﹣
n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义，找出方程①、②中K的值，由此即可得出结论；
（2）将方程（x﹣2）（mx+n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出K＝0，整理后即可得出4m2+5mn+n2的值；
（3）根据方程x2﹣
n＝0（m≥0）是倍根方程即可得出m、n之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出m、n之间的关系，进而即可求出m、n的值，此题得解．
【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2﹣
×1×（﹣2）＝10≠0；
在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2﹣
×1×8＝0．
∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．
故答案为：②．
（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，
∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，
∴K＝（n﹣2m）2﹣
m•（﹣2n）＝0，
∴4m2+5mn+n2＝0．
（3）∵
是倍根方程，
∴
，
整理得：m＝3n．
∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，
∴n＝3m﹣8，
∴n＝1，m＝3，
∴此方程的表达式为
．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握“倍根方程”的定义是解题的关键．
28．（浙江自主招生）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．
【分析】通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．
【解答】解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．
设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：
s＝3[1+2+3+…+（33﹣x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x﹣y﹣2）]，
＝
+
+
，
＝2x2﹣（y+102）x+2y2+3y+1684，
＝2（x﹣
）2+
（15y2﹣180y+3068），
＝2（x﹣
）2+
（y﹣6）2+316≥316．
又当x＝27，y＝6时，s＝316，
故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．
【点评】此题是一道有趣的实际问题，在乘电梯时经常遇到．根据有32人乘电梯，而楼有33层这个事实，列出不满意的总分，得到关于x、y的完全平方式，然后根据非负数的性质解答．