第2章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·苏州]古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美.下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

2.[2022·广东]如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝(　　)

(第2题)

A. B. C.1 D.2

3 如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为(　　)

(第3题)

A.3 B.4 C.5 D.12

4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是(　　)

(第4题)

A.67.5° B.22.5° C.30° D.45°

5.[2023·娄底三中期中]某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带(丝带的对边平行且宽度相同)，如图，丝带重叠的部分一定是(　　)

(第5题)

A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.都有可能

6.如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是(　　)

(第6题)

A.180米 B.110米 C.120米 D.100米

7.[2022·宁波]将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　　)

(第7题)

A.正方形纸片的面积 B.四边形EFGH的面积

C.△BEF的面积 D.△AEH的面积

8.[2023·郑州外国语中学模拟]如图所示，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，P为AB中点，Q为OD中点，连接PQ，则PQ的长为(　　)

(第8题)

A.2 B.3 C. D.

9.[2023·湘潭四中期中]如图，将矩形纸片ABCD折叠，使B落在AD边上点F处，折痕为EC，若AB＝3，BC＝5，则AE的长为(　　)

(第9题)

A. B.1 C. D.

10. 如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是(　　)

(第10题)

A.1 B. C. D.3

二、填空题(每题3分，共24分)

11.[2023·黄冈]若正n边形的一个外角为72°，则n＝　　　　.

12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为　　　　.

(第12题)

13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是　　　　.

(第13题)

14.[2023·枣庄]如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为　　　　.

(第14题)

15.[2023·金昌]如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝　　　　cm.

(第15题)

16. 如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1∶2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”.当协调边为6时，这个平行四边形的周长为　　　　.

17.[2023·长沙南雅中学期中]如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，AB＝BC，AC＝4，BD＝2，点E，F，G，H分别为边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则EG²＋FH²的值为　　　　.

(第17题)

18.[2023·南京外国语学校期中]如图，将边长为2的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ周长的最小值是　　　　.

(第18题)

三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)

19.[2023·北大附中期中]如图，点E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF.求证：DF＝BE.

20.[2023·娄底三中期中]如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12 m，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6 m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8 m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L(A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计).

21.[2023·张家界]如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.

(1)求证：AE∥BF；

(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.

22.[2023·湖南师大附中期中]如图①，在一平面内，从左到右，点A，D，O，C，B均在同一直线上，线段AB＝4，线段CD＝2，O分别是AB，CD的中点，如图②，固定点O以及线段AB，让线段CD绕点O顺时针旋转α(0°＜α＜180°).连接AC，AD，BC，BD.

(1)求证：四边形ADBC为平行四边形；

(2)当α＝90°时，求四边形ADBC的周长.

23.如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE.

(1)BF与DE有怎样的数量关系？请证明你的结论.

(2)在其他条件都保持不变的情况下，当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论.

24. 已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG.当点E在线段BC上时，如图①，易证：AB＝CG＋CE.

(1)当点E在线段BC的延长线上时(如图②)，猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；

(2)当点E在线段CB的延长线上时(如图③)，直接写出AB，CG，CE之间的关系.

答案

一、1.C　2.D　3.B　4.B　5.C　6.D

7.C 【点拨】根据题意知四边形EFGH为正方形，设正方形纸片的边长为x，正方形EFGH的边长为y，则矩形纸片的宽为x－y.根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得矩形纸片的长为x＋y，先表示出图中阴影部分的面积，再分别表示出四个选项中的面积，即可得出正确答案.

8.C 【点拨】过点P作PM⊥OB，垂足为M，易得∠ABD＝30°，AC⊥BD，OB＝OD，∴AO＝ AB＝2，∴OB＝2 .易得PM＝1，BM＝ ，∴MO＝ ＝ OB＝ OD＝OQ，再计算出MQ＝OM＋OQ＝2OM＝2 ，最后根据勾股定理计算出PQ的长.

9.C 【点拨】先根据矩形的性质得出CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，∠EAF＝∠CDF＝90°，然后由折叠的性质得BE＝EF，CF＝BC＝5，然后利用勾股定理求出DF的长度，进而求出AF的长度，再设AE＝x，在Rt△EAF中利用勾股定理即可求解.

10.A 【点拨】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值，过D点作DM⊥AC于点M，过G点作GP⊥AC于点P，则GP∥DM，利用平行四边形的面积求DM的长，再利用三角形的中位线定理可求PG的长，进而可求解.

二、11.5 【点拨】∵正n边形的一个外角为72°，

∴n＝360÷72＝5.

12.30　13.2.5

14. 【点拨】在正方形ABCD中，∠DCE＝90°，BC＝CD，OB＝OD.

∵F为DE的中点，∴CF＝EF＝DF.

∵△CEF的周长为32，CE＝7，

∴CF＋EF＝25，即DE＝25.

在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝24，

∴BC＝24.

∴BE＝24－7＝17，

根据三角形的中位线定理可得OF＝ BE＝ .

15.2

16.16或20 【点拨】设此四边形为四边形ABCD，BE为∠ABC的平分线.

6× ＝2，6× ＝4.

①如图，当AE＝2，DE＝4时，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，AB＝CD，AD∥BC.

∴∠AEB＝∠CBE.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.

∴∠ABE＝∠AEB.∴AB＝AE＝2.

∴平行四边形ABCD的周长为2(AB＋AD)＝16.

②当AE＝4，DE＝2时，同理可得AB＝AE＝4，平行四边形ABCD的周长为2(AB＋AD)＝20.

综上所述，这个平行四边形的周长为16或20.

17.10　【点拨】连接HE，EF，FG，GH，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形HEFG是平行四边形，由已知条件易得BD⊥AC，从而可得平行四边形HEFG是矩形，然后根据勾股定理即可得到答案.

18. ＋1 【点拨】

如图，取CD的中点N，连接PN，PB，BN，则CN＝1.

由翻折的性质以及对称性可知

PQ＝PN，PG＝PC，GH＝CD＝2，

∵点Q是GH的中点，

∴QG＝ GH＝1，

在Rt△BCN中，BN＝ ＝ .

∵∠CBG＝90°，PC＝PG，

∴PB＝PG＝PC，∴PQ＋PG＝PN＋PB≥BN＝ ，

∴PQ＋PG的最小值为 ，

∴△GPQ的周长的最小值为 ＋1.

三、19.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，CD＝AB，∴∠DCF＝∠BAE.

在△CDF和△ABE中，

∴△CDF≌△ABE(SAS)，∴DF＝BE.

20.【解】如图，过点D作DF⊥AE于点F.

∵DB⊥AB，EA⊥AB，

∴四边形ABDF是矩形，

∴AB＝DF，BD＝AF.

∵AE＝12 m，BD＝6 m，AB＝8 m，

∴FE＝AE－AF＝AE－BD＝6 m，DF＝8 m，

∴DE＝ ＝10 m.

∵∠DCB＝60°，DB⊥AC，∴∠BDC＝30°，∴CD＝2BC，∴CD²＝ ＋6²，解得CD＝4 m(负值已舍去)，故电线CDE的总长L＝DE＋CD＝(10＋4 )m.

21.【证明】(1)∵AD＝BC，

∴AD＋CD＝BC＋CD，∴AC＝BD.

∵AE＝BF，CE＝DF，

∴△AEC≌△BFD(SSS)，

∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.

(2)∵△AEC≌△BFD，

∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF.

∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.

∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形.

22.(1)【证明】∵点O分别是AB，CD的中点，

∴OA＝OB，OC＝OD.

∴四边形ADBC为平行四边形.

(2)【解】∵α＝90°，∴AB⊥CD.

又∵四边形ADBC为平行四边形，

∴四边形ADBC为菱形.

∵AB＝4，CD＝2，O既是AB的中点，也是CD的中点，

∴OA＝2，OD＝1.

∴AD＝ ＝ .

∴四边形ADBC的周长为4 .

23.【解】(1)BF＝DE.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°.

∵AF⊥AC，∴∠FAC＝90°，

∴∠BAF＝45°＝∠BAC＝∠DAC.

又∵AB＝AD，AF＝AE，

∴△AFB≌△AED(SAS).∴BF＝DE.

(2)四边形AFBE是正方形.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，E是AC的中点，

∴易得AE＝BE.

在△ABF和△ABE中，

∴△ABF≌△ABE(SAS).∴BF＝BE.

∴AE＝BE＝BF＝AF.

∴四边形AFBE是菱形.

又∵AF⊥AE，∴四边形AFBE是正方形.

24.【解】(1)AB＝CG－CE.证明如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形.

∴AB＝AC.

∵∠EAG＝60°，∴∠BAC＝∠EAG.

∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAG＋∠CAE，

即∠BAE＝∠CAG.

又∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG.

在△ABE和△ACG中，

∴△ABE≌△ACG(SAS).∴BE＝CG.

∵AB＝BC＝BE－CE，∴AB＝CG－CE.

(2)AB＝CE－CG.