第2章一元二次方程（单元基础卷）

（满分100分，完卷时间90分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．

2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．

一．选择题（共10小题）

1．（温岭市期末）已知x＝1是方程x²﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

【分析】把x＝1代入方程得到1﹣3+c＝0，然后解关于c的方程即可．

【解答】解：∵x＝1是方程x²﹣3x+c＝0的一个根，

∴1﹣3+c＝0，

∴c＝2．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

2．（椒江区期末）下列方程为一元二次方程的是（　　）

A．x+1＝0 B．x²+3y+1＝0 C．x²+3x＝5 D．x²+ ＝5

【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：A．是一元一次方程，故本选项不合题意；

B．含有两个未知数，故本选项不合题意；

C．是一元二次方程，故本选项符合题意；

D．是分式方程，故本选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

3．（南丹县期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21

C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21

【分析】根据题意可知，这是一道典型的单循环比赛，然后根据计划安排21场比赛，即可得到 x（x﹣1）＝21，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

x（x﹣1）＝21，

故选：B．

【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题目中的数量关系，列出相应的方程．

4．（临海市期末）用配方法解方程x²+2x＝1，变形后的结果正确的是（　　）

A．（x+1）²＝﹣1 B．（x+1）²＝0 C．（x+1）²＝1 D．（x+1）²＝2

【分析】方程两边加上1，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．

【解答】解：用配方法解方程x²+2x＝1，

变形得：x²+2x+1＝2，即（x+1）²＝2．

故选：D．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

5．（怀化期末）一元二次方程x²﹣2x+3＝0的二次项系数是（　　）

A．1 B．2 C．﹣2 D．3

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．

【解答】解：方程x²﹣2x+3＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣2，常数项为3，

故选：A．

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax²叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

6．（永春县期末）用配方法解方程x²﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（　　）

A．（x﹣2）²＝1 B．（x+2）²＝1 C．（x﹣2）²＝3 D．（x+2）²＝3

【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．

【解答】解：方程移项得：x²﹣4x＝﹣1，

配方得：x²﹣4x+4＝3，即（x﹣2）²＝3．

故选：C．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

7．（椒江区期末）某校组织了一次篮球邀请赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），共进行了36场比赛，请问共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程正确的是（　　）

A． ＝36 B． ＝36 C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36

【分析】设共有x支队伍参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛球队数量×（参赛球队数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程．

【解答】解：设共有x支队伍参加比赛，

依题意得： ＝36，

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．（温岭市期末）2021年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．1.4x²＝2.3 B．1.4（1+x²）＝2.3

C．1.4（1+x）²＝2.3 D．1.4（1+2x）＝2.3

【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月的增长率为x，那么根据题意可用x表示11月份新冠疫苗接种量，从而得出方程．

【解答】解：设平均每月的增长率为x，

那么根据题意得：1.4（1+x）²＝2.3．

故选：C．

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握平均增长率问题的一般形式为a（1+x）²＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键．

9．（环江县期末）关于x的方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣ B．k≥﹣ 且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣ 且k≠0

【分析】由方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，可得△≥0且k≠0，即可求得k的取值范围．

【解答】解：当k＝0时，原方程可化为﹣x﹣3＝0，

∴x＝﹣3，

∵方程kx²+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个实数根，

∴Δ＝b²﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]²﹣4k（k﹣3）＝8k+1≥0，

解得：k≥﹣ ，

∴k的取值范围为：k≥﹣ ．

故选：A．

【点评】此题考查了根的判别式．注意当△≥0时，方程有两个实数根．

10．（惠安县期末）现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45

C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45

【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛 x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为 x（x﹣1）＝45．

【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

∴共比赛场数为 x（x﹣1）．

∴共比赛了45场，

∴ x（x﹣1）＝45，

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二．填空题（共8小题）

11．（拱墅区校级开学）若方程x²﹣x﹣1＝0的一个根是m，则代数式m²﹣m+5＝　6　．

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：把x＝m代入x²﹣x﹣1＝0，得

m²﹣m﹣1＝0，

∴m²﹣m＝1，

∴代数式m²﹣m+5＝1+5＝6．

故答案是：6．

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．

12．（大连期末）若x＝1是一元二次方程x²﹣3x+m＝0的一个根，则m＝　2　．

【分析】将x＝1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．

【解答】解：将x＝1代入得：1﹣3+m＝0，

解得：m＝2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13．（鄞州区校级期末）已知等腰三角形三边分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两个根，则m的值是　34　．

【分析】讨论：当a＝4时，则4+b＝12，解得b＝8，此时不符合三角形三边的关系；同理可得当b＝4时，不符合三角形三边的关系；当a＝b时，利用根与系数的关系得到12＝a+b，解得a＝b＝6，则m+2＝36，从而得到m的值．

【解答】解：当a＝4时，

∵a，b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+b＝12，

∴b＝8，

而4+4≠0，不符合题意；

当b＝4时，

∵a，b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+a＝12，

而4+4＝8，不符合题意；

当a＝b时，

∵a，b是关于x的一元二次方程x²﹣12x+m+2＝0的两根，

∴12＝a+b，解得a＝b＝6，

∴m+2＝36，

∴m＝34，

故m的值为34，

故答案为34．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b²﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．

14．（定西期末）方程（x﹣4）（x+3）＝0的解是　x₁＝4，x₂＝﹣3　．

【分析】直接利用因式分解法解方程即可．

【解答】解：∵（x﹣4）（x+3）＝0，

∴x﹣4＝0或x+3＝0，

∴x₁＝4，x₂＝﹣3；

故答案为：x₁＝4，x₂＝﹣3．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

15．（达川区期末）如图，有一块长21m，宽10m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90m²．设人行通道的宽度为xm，根据题意可列方程：　（21﹣3x）（10﹣2x）＝90　．

【分析】设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积和为90m²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，

依题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．

故答案为：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16．（濂溪区校级期末）设m、n分别为一元二次方程x²+3x﹣7＝0的两个实数根，则2mn﹣m﹣n＝　﹣11　．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n＝﹣2，mn＝﹣1，将其代入m+n+mn中即可求出结论．

【解答】解：∵m、n分别为一元二次方程x²+3x﹣7＝0的两个实数根，

∴m+n＝﹣3，mn＝﹣7，

则2mn﹣m﹣n＝2mn﹣（m+n）＝2×（﹣7）﹣（﹣3）＝﹣11．

故答案为﹣11．

【点评】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣7是解题的关键．

17．（辛集市期末）将一元二次方程x²﹣3x+1＝0变形为（x+h）²＝k的形式为　（x﹣ ）²＝ 　．

【分析】先移项，再配方，即可得出答案．

【解答】解：x²﹣3x+1＝0，

x²﹣3x＝﹣1，

x²﹣3x+（ ）²＝﹣1+（ ）²，

（x﹣ ）²＝ ，

故答案为：（x﹣ ）²＝ ．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

18．（鄞州区校级期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm²，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为　（40﹣2x）（30﹣2x）＝600　．

【分析】设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，根据纸盒的底面积为600cm²，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm的长方形，

依题意，得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．

故答案为：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

三．解答题（共10小题）

19．（临海市期末）“惠民政策”陆续出台，老百姓得到实惠．某种心脏支架原价10000元一副，经过连续两次降价后，现在仅卖729元一副．求该种支架平均每次降价的百分率．

【分析】设该种支架平均每次降价的百分率为x，利用心脏支架经过连续两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

【解答】解：设该种支架平均每次降价的百分率为x，

依题意得：10000（1﹣x）²＝729，

解得：x₁＝0.73＝73%，x₂＝1.27（不合题意，舍去）．

答：该种支架平均每次降价的百分率为73%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．（河南模拟）解方程：

（1）x²﹣2x﹣3＝0；

（2）3x²﹣2 x＝﹣1．

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．

【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，

x﹣3＝0或x+1＝0，

所以x₁＝3，x₂＝﹣1；

（2）3x²﹣2 x+1＝0，

Δ＝（﹣2 ）²﹣4×3×1＝0，

x＝ ＝ ＝ ，

所以x₁＝x₂＝ ．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

21．（九龙坡区期末）解下列一元二次方程：

（1）（x﹣4）（x﹣5）＝20；

（2）x²﹣6x﹣1＝0．

【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；

（2）方程利用配方法求出解即可．

【解答】解：（1）方程整理得：x²﹣5x﹣4x+20＝20，

即x²﹣9x＝0，

分解因式得：x（x﹣9）＝0，

所以x＝0或x﹣9＝0，

解得：x₁＝0，x₂＝9；

（2）方程移项得：x²﹣6x＝1，

配方得：x²﹣6x+9＝10，即（x﹣3）²＝10，

开方得：x﹣3＝± ，

解得：x₁＝3+ ，x₂＝3﹣ ．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．

22．（衡阳期末）超市销售某种儿童玩具，经市场调查发现，每件利润为40元时，每天可售出50件；销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．物价管理部门规定，该种玩具每件利润不得超过60元．设销售单价增加x元，每天可售出y件．

（1）写出y与x之间的函数关系式：　y＝50﹣ 　（不要求写出自变量取值范围）；

（2）当x取何值时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元？此时每天可销售多少件？

【分析】（1）利用每天可售出的数量＝50﹣销售单价增加的钱数÷2，即可得出y与x之间的函数关系式；

（2）利用超市每天销售这种玩具获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该种玩具每件利润不得超过60元，即可确定x的值，再将其代入y＝50﹣ 中即可求出此时每天的销售量．

【解答】解：（1）依题意得：y＝50﹣ ．

故答案为：y＝50﹣ ．

（2）依题意得：（40+x）（50﹣ ）＝2250，

整理得：x²﹣60x+500＝0，

解得：x₁＝10，x₂＝50．

∵每件利润不得超过60元，

∴0≤x≤20，

∴x＝10，此时y＝50﹣ ＝50﹣ ＝45．

答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获得利润2250元，此时每天可销售45件．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．

23．（临海市期末）如图，钢球（不计大小）在一个光滑的“V”型轨道上滚动，其中右侧轨道长为25m，左侧轨道长为30m．钢球先由静止开始沿右侧斜面滚下，速度每秒增加8m/s，到达底端后又沿着左侧斜面向上滚动，速度每秒减少am/s．（提示：钢球滚动的距离＝平均速度 ×时间t， ＝ ，其中v₀表示开始的速度，v_t表示t秒时的速度．）

（1）若钢球在右侧轨道滚动2s，则v₁＝　16　m/s， ＝　8　m/s；

（2）写出钢球在右侧斜面滚动的距离s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数解析式，并求出t的取值范围；

（3）若钢球滚出左侧斜面，直接写出a的取值范围　0≤a＜ 　．

【分析】（1）根据题意求得v_t＝8t．把t＝2代入，得到v₁＝16m/s，根据 ＝ ，代入计算即可；

（2）由“钢球滚动的距离＝平均速度 ×时间t”列出关于t的一元二次方程，进而得到t的取值范围；

（3）令钢球在底端时t＝0，得出钢球在左侧斜面滚动t秒时的速度为v＝20﹣at，求出v＝0时， ＝ ＝ ＝10m/s，那么钢球在左侧斜面滚动的时间t＝ ＝3，由钢球滚出了左侧斜面得出20﹣3a＞0，进而求出a的取值范围．

【解答】解：（1）由已知得v_t＝v₀+at＝0+8t＝8t，

∴当t＝2时，v₁＝8×2＝16（m/s），

＝ ＝ ＝8（m/s）．

故答案为：16，8；

（2）∵v_t＝8t，

∴ ＝ ＝ ＝4t，

∴s＝ t＝4t²，

当s＝25时，25＝4t²，解得t＝ （负值舍去），

∴s＝4t²（0≤t≤ ）；

（3）当t＝ 时，v＝8× ＝20（m/s），

令钢球在底端时t＝0，

根据题意得，钢球在左侧斜面滚动t秒时的速度为v＝20﹣at，

当v＝20﹣at＝0时， ＝ ＝ ＝10（m/s），

∴t＝ ＝3（s），

∴20﹣3a＞0，

∴a＜ ，

又a≥0，

∴0≤a＜ ．

故答案为：0≤a＜ ．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意得到关系式是解题的关键．

24．（庆阳期末）如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；

（1）为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求边AB为多少米？

（2）用这些篱笆，能使围成的长方形ABCD面积是110平方米吗？说明理由．

【分析】（1）根据题意得出长×宽＝96，进而得出答案；

（2）根据题意得出长×宽＝110，得到方程无解即可．

【解答】解：（1）设AB的长为x米，

依题意的方程：x（34+2﹣3x）＝96，

解得：x₁＝4，x₂＝8，

答：当AB的长度为4米或8米时，长方形ABCD的面积为96平方米；

（2）不能．

理由：假设长方形ABCD的面积是110平方米，

依题意得：x（34+2﹣3x）＝110．即3x²﹣36x+110＝0，

∵Δ＝（﹣36）²﹣4×3×110＝﹣24＜0，

∴该一元二次方程无实数根，

∴假设不成立，

∴长方形ABCD的面积是不能为110平方米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

25．（枣阳市期末）已知关于x的方程x²+2x+k﹣4＝0．

（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若k＝1，求该方程的根．

【分析】（1）根据根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；

（2）将k＝1代入方程x²+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．

【解答】解：（1）Δ＝2²﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0．

∴20﹣4k＞0，

解得k＜5；

∴k的取值范围为k＜5．

（2）当k＝1时，原方程化为x²+2x﹣3＝0，

（x﹣1）（x+3）＝0，

x﹣1＝0或x+3＝0，

解得x₁＝1，x₂＝﹣3．

【点评】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b²﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．

26．（西湖区校级期末）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3＝0有两个实数根x₁，x₂．

（1）若x₁²+x₂²＝2，求m的值；

（2）令T＝ + ，求T的取值范围．

【分析】首先根据方程有两个实数根及m是不小于﹣1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．

（1）变形x₁²+x₂²为（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；

（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．

【解答】解：∵关于x的方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3＝0有两个实数根，

∴Δ＝4（m﹣2）²﹣4（m²﹣3m+3）≥0，

解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的实数，

∴﹣1≤m≤1，

∵方程x²+2（m﹣2）x+m²﹣3m+3＝0的两个实数根为x₁，x₂，

∴x₁+x₂＝﹣2（m﹣2）＝4﹣2m，x₁•x₂＝m²﹣3m+3．

（1）∵x₁²+x₂²＝2，

∴（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂＝2，

∴4（m﹣2）²﹣2（m²﹣3m+3）＝2，

整理得m²﹣5m+4＝0，解得m₁＝1，m₂＝4（舍去），

∴m的值为1；

（2）T＝ +

＝

＝

＝

＝

＝2﹣2m．

∵当m＝0时，方程为x²﹣4x+3＝0，

解得x＝1或x＝3．

此时T没有意义．

当m≠0时，﹣1≤m≤1，

所以0≤2﹣2m≤4．

即0≤T≤4且T≠2．

【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、一元二次方程的解法及分式的化简．解决本题的关键是掌握根与系数的关系，并能把要求的代数式变形为含两根的和、两根的积的式子．

27．（盐都区期末）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．

（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；

（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？

【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为：25（1+x）；五月份的全天包车数为：25（1+x）²，又知五月份的全天包车数为：64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可；

（2）每辆全天包车的租金×全天包车数量＝8800列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，

根据题意可得：25（1+x）²＝64，

解得：x₁＝0.6＝60%，x₂＝﹣2.6（不合题意舍去），

答：全天包车数的月平均增长率为60%；

（2）根据题意可得：（120﹣a）（64+1.6a）＝8800，

化简得：a²﹣80a+700＝0，

解得：a₁＝10，a₂＝70．

答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键．

28．（宁远县期末）某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为30元，按物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，且为整数．经市场调查发现，当售价为40元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款口罩售价为x元．

（1）这款口罩日均销售量为　（300﹣5x）　袋．（用含x的代数式表示）

（2）若该商店这款口罩日均销售额为2500元，求x的值．（销售额＝销售量×售价）

（3）是否存在x的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为1200元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．（毛利润＝销售量×（售价﹣成本价））

【分析】根据题意可知：①口罩日均销售量＝100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）．

②销售额＝销售量×售价，x（300﹣5x）＝2500

③总利润＝单价利润×总的销售量（x﹣30）（300﹣5x）＝1200

【解答】解：（1）100﹣5（x﹣40）或100+5（40﹣x）＝（300﹣5x）．

故答案为：（300﹣5x）．

（2）依题意得：x（300﹣5x）＝2500，

﹣5x²+300x＝2500，

x²﹣60x+500＝0

（x﹣10）（x﹣50）＝0，

x₁＝10或x₂＝50，

∵物价部门规定，每袋售价大于30元但不得高于60元，

∴x＝50符合题意

故答案为：x＝50，该商店这款口罩日均销售额为2500元．

（3）答：不存在．

依题意得：（x﹣30）（300﹣5x）＝1200

﹣5x²+450x﹣10200＝0，

x²﹣90x+2040＝0，

Δ＝﹣60＜0

∴方程没有实数根，

∴不存在这样的x值

【点评】应用题关键明白题目的数量关系式，然后根据题意列出有关的式子或方程．