第1章二次根式（易错30题专练）

一．选择题（共12小题）

1．（上虞区期末）当x＝0时，二次根式 的值等于（　　）

A．4 B．2 C． D．0

【分析】把x＝0代入二次根式 ，再求出即可．

【解答】解：当x＝0时，式 ＝ ．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键．

2．（永嘉县校级期中）二次根式 中字母x的取值可以是（　　）

A．﹣1 B．﹣ C．0 D．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x﹣1≥0，求解即可．

【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，

解得x≥1．

故x可以取 ，

故选：D．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

3．（东莞市校级期中）在以下实数： ， ，﹣ ，π，3.14159，（ ）²，0.1414414441…中，无理数有（　　）个．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】先把式子进行化简，再根据无理数的概念判断即可．

【解答】解： ＝4，（ ）²＝3，

∴在以下实数： ， ，﹣ ，π，3.14159，（ ）²，0.1414414441…中，无理数有 ，π，0.1414414441…共3个，

故选：B．

【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简，掌握无理数概念是解决此题关键．

4．（永嘉县校级期中）化简 的结果是（　　）

A．4 B．2 C．±2 D．2

【分析】直接根据算术平方根的概念计算即可．

【解答】解： ＝2 ．

故选：D．

【点评】此题考查的是算术平方根，掌握其概念是解决此题的关键．

5．（柳南区校级期末）化简 的结果是（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

【分析】直接根据二次根式的性质计算即可得到答案．

【解答】解：原式＝|﹣4|＝4．

故选：B．

【点评】此题考查的是二次根式的性质，掌握其性质是解决此题的关键．

6．（顺德区期末）下列化简结果正确的是（　　）

A．﹣ ＝﹣8 B． ＝±8

C． ＝﹣64 D． ＝8

【分析】直接根据平方根与算术平方根的概念判断即可．

【解答】解：A、﹣ ＝﹣8，正确；

B、 ＝8，计算不正确；

C、 ＝64，计算不正确；

D、 ＝±8，计算不正确．

故选：A．

【点评】此题考查的是平方根与算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键．

7．（永嘉县校级期中）计算 的结果是（　　）

A． B． C．2 D．4

【分析】直接根据二次根式的加减运算法则计算即可．

【解答】解：原式＝2 ﹣ ＝ ．

故选：A．

【点评】此题考查的是二次根式的运算法则，掌握其运算法则是解决此题关键．

8．（余杭区期中）下列计算正确的是（　　）

A． ＝± B． ＝ C．± ＝ D．± ＝±

【分析】A：算数平方根的结果不可能出现负值；

B：被开方数不能为负；

C：正数平方根结果有两个；

D：正确．

【解答】解：A：原式＝ ，∴不符合题意；

B：原式不成立，∴不符合题意；

C：原式＝± ，∴不符合题意；

D：原式＝± ，∴符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、平方根，掌握二次根式的基本性质，平方根与算数平方根的区别是解题关键．

9．（杭州期末） ＝（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．9

【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．

【解答】解： ＝ ＝3．

故选：A．

【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．

10．（上城区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ，结果为（　　）

A．2a B．2b C．﹣2a D．2

【分析】先把二次根式的化简写成绝对值的形式，再根据绝对值的性质进行化简，去括号计算．

【解答】解：∵

＝|a﹣b|+|b﹣ |﹣a﹣

＝b﹣a+ ﹣b﹣a﹣

＝﹣2a；

故选：C．

【点评】本题考查二次根式的加减法、实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练利用数轴点的位置判断（a﹣b）、（b﹣ ）的符号，用绝对值的性质化简是解题关键．

11．（萧山区期中）下列各式中，错误的是（　　）

A． B．（a﹣b）²＝（b﹣a）²

C．|﹣a|＝a D．

【分析】A：化简立方根分别求出结果；

B：互为相反的两个数的平方结果是相等的；

C：﹣a的取值范围无法确定，因此有两种结果；

D：根据二次根式的性质．

【解答】解：A：∵﹣ ＝﹣a， ＝﹣a，

∴﹣ ＝ ，∴不符合题意；

B：（a﹣b）²＝（b﹣a）²，∴不符合题意；

C：∵﹣a的取值范围无法确定，

∴|﹣a|＝﹣a或a，∴符合题意；

D：∵ ＝a，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式、立方根，掌握这三个知识点的综合应用是解题关键．

12．（西城区二模）以下变形正确的是（　　）

A． + ＝ B．3 ＝ C．（ ）³＝3 D． ＝

【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐个判断．

【解答】解：∵ ＝2 ，

∴A错误．

∵3 ＝ ．

∴B错误．

∵（ ）³＝ ×（ ）²

＝2 ．

∴C错误．

∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2．

故D正确．

故选：D．

【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是求解本题的关键．

二．填空题（共11小题）

13．（永嘉县校级期中）式子 ＝4﹣x成立的x的取值范围是　x≤4　．

【分析】根据二次根式的性质即可得到答案．

【解答】解：∵ ＝4﹣x，

∴x﹣4≤0，

∴x≤4．

故答案为：x≤4．

【点评】此题考查的是二次根式的性质，掌握其性质是解决此题关键．

14．（杭州期末）当a＝2时，二次根式 的值是　2　．

【分析】把a＝2代入二次根式 ，即可解决问题．

【解答】解：当a＝2时， ．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的化简求值．

15．（九江一模）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围为　x≥﹣2且x≠1　．

【分析】利用分式和二次根式有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．

【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，

解得：x≥﹣2且x≠1，

故答案为：x≥﹣2且x≠1．

【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握其条件是解决此题的关键．

16．（阳谷县期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ＝　a+b　．

【分析】依据数轴即可得到a+1＞0，b﹣1＜0，即可化简．

【解答】解：由题可得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，

∴a+1＞0，b﹣1＜0，

∴|原式＝a+1﹣1+b＝a+b．

故答案为：a+b．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．

17．（永嘉县校级期中）化简成最简二次根式： ＝　10 　； ＝　 　．

【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可．

【解答】解：（1）原式＝5× ＝10 ，

故答案为：10 ；

（2）原式＝6× ＝ ．

故答案为： ．

【点评】此题考查的是二次根式，掌握其性质概念是解决此题关键．

18．（拱墅区校级期中）若二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则a＝　2　．

【分析】将 化简，再根据同类二次根式的定义求解即可．

【解答】解：∵ ＝2 与最简二次根式 是同类二次根式，

∴a+1＝3，

解得a＝2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

19．（下城区期末）使二次根式 有意义的a可以是　3（答案不唯一）　（只需填一个）．

【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．

【解答】解：∵二次根式 有意义，

∴a﹣2≥0，即a≥2，

则a可以是3．

故答案为：3（答案不唯一）．

【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

20．（永嘉县校级期中）已知y＝ + ﹣5，则（x+y）²⁰²¹＝　﹣1　．

【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的的值，进而得出（x+y）²⁰²¹的值．

【解答】解：∵y＝ + ﹣5，

∴x﹣4≥0，4﹣x≥0，

解得x＝4，

∴y＝﹣5，

∴（x+y）²⁰²¹＝（﹣1）²⁰²¹＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

21．（古丈县期末）计算： 的结果为　1　．

【分析】先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．

【解答】解：原式＝3× × ，

＝ ，

＝1，

故答案为：1．

【点评】本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力．

22．（上杭县期中）计算 ＝　2019　．

【分析】运用完全平方公式，将被开方数化成2019²，即可运用二次根式的性质 得到结果．

【解答】解：

＝

＝

＝

＝2019，

故答案为：2019．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质的运用，解决问题的关键是利用完全平方公式将被开方数进行变形．

23．（杭州期末）已知（m﹣3） ≤0．若整数k满足m+k＝3 ，则k＝　2　．

【分析】先根据（m﹣3） ≤0，由 ≥0，可知m﹣3≤0，被开方数是非负数列不等式组可得m的取值，又根据m+k＝3 ，表示m的值代入不等式的解集中可得结论．

【解答】解：由题意得： ，

∴2≤m≤3，

∵整数k满足m+k＝3 ，

∴m＝3 ﹣k，

∴2≤3 ﹣k≤3，

∴3 ﹣3≤k≤3 ﹣2，

∴k是整数，

∴k＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了二次根式的性质和估算、不等式组的解法，有难度，能正确表示m的值是本题的关键．

三．解答题（共7小题）

24．（长兴县月考）求下列二次根式中字母的取值范围：

（1） ．（2） ．

【分析】如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

【解答】解：（1）由题可得，2k﹣1≥0，

解得k≥ ；

（2）由题可得k+1＞0，

解得k＞﹣1．

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．

25．（江北区校级期中）求值：

（1） ，其中 ．

（2）已知x²+xy﹣y＝15，y²+xy﹣x＝﹣9，求x+y的值．

【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可；

（2）两式相加，根据完全平方公式、因式分解计算．

【解答】解：（1）原式＝2（a²﹣3）﹣a²+2a+7

＝2a²﹣6﹣a²+2a+7

＝a²+2a+1，

当a＝ ﹣1时，原式＝ ；

（2）两式相加得x²+2xy+y²﹣x﹣y＝6，

则（x+y）²﹣（x+y）﹣6＝0，

（x+y﹣3）（x+y+2）＝0，

解得，x+y＝3或x+y＝﹣2．

【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式的应用，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．

26．（余杭区期末）（1）计算：

（2）当a＝ ，b＝ 时，求代数式a²﹣ab+b²的值．

【分析】（1）先计算乘法，最后计算加法；

（2）先运用完全平方公式整理代数式，而后代入数值计算．

【解答】解：（1） ＝ +4 ＝5 ；

（2）∵a＝ + ，b＝ ﹣ ，

∴a﹣b＝2 ，ab＝1，

a²﹣ab+b²＝（a﹣b）²+ab

＝（2 ）²+（ ）²﹣（ ）²

＝8+1＝9．

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简求值，解题的关键是注意运算顺序以及会运用乘法公式化简代数式以达到简便计算．

27．（东台市校级期末）按要求解决下列问题：

（1）化简下列各式：

＝　2　， ＝　4 　， ＝　6 　， ＝　10 　，…

（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．

【分析】（1）题只需将各式分母有理化即可．

（2）将二次根式进行分母有理化，通过（1）观察得出规律．

【解答】解：（1） ＝2， ＝ ＝4 ， ＝ ＝6 ， ＝ ＝10 ；

（2）由（1）中各式化简情况可得 ．

证明如下： ＝ ＝2n ．

【点评】本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解决此类问题的关键．

28．（浦东新区校级月考）已知x＝ ，y＝ ，且19x²+123xy+19y²＝1985．试求正整数n．

【分析】首先化简x与y，可得：x＝（ ）²＝2n+1﹣2 ，y＝2n+1+2 ，所以x+y＝4n+2，xy＝1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．

【解答】解：化简x与y得：x＝ ＝2n+1﹣2 ，y＝ ＝2n+1+2 ，

∴x+y＝4n+2，xy＝ ＝[（ + ）（ ﹣ ）]²＝1，

∴将xy＝1代入方程，化简得：x²+y²＝98，

∴（x+y）²＝x²+y²+2xy＝98+2×1＝100，

∴x+y＝10．

∴4n+2＝10，

解得n＝2．

【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．

29．（浦东新区校级月考）已知x，y都是有理数，并且满足 ，求 的值．

【分析】观察式子，需求出x，y的值，因此，将已知等式变形： ，x，y都是有理数，可得 ，求解并使原式有意义即可．

【解答】解：∵ ，

∴ ．

∵x，y都是有理数，

∴x²+2y﹣17与y+4也是有理数，

∴

解得

∵ 有意义的条件是x≥y，

∴取x＝5，y＝﹣4，

∴ ．

【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．

30．（射洪市期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：

形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即 ， ，那么便有： ．

根据上述方法化简：

（1） ．

（2） ．

【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；

（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．

【解答】解：（1） ＝ ＝ ；

（2） ＝ ＝2+ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．

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日期：2022/1/14 16:56:44；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539