第2章学情评估
1．下列图案中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
2．十五边形的内角和为( )
A．2 700° B．2 880°
C．2 340° D．2 160°
3．下列命题是假命题的是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
4．若等边三角形的边长为4，则连接各边中点所组成的三角形的周长是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE＝ cm，则OD＝( )
A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．3 cm
(第5题) (第6题) (第7题)
6．如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，E，F分别是边AB，AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是( )
A．EF＝DO
B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形
D．四边形EBOF是菱形
二、填空题(每题4分，共24分)
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，则AC＝________．
8．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF的大小为________．
(第8题) (第9题) (第10题) (第12题)
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D，E，F分别是边BC，AC，AB上的点，四边形AFDE是平行四边形，那么四边形AFDE的周长是________．
11．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线的长度是否相等，以确保是矩形，这样做的数学道理是__________________________________________．
12．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝18°，则∠DAF＝________．
三、解答题(第13～15题每题8分，第16题10分，第17～18题每题12分，共58分)
13. 已知正多边形的一个内角是与它相邻的外角的4倍，求这个正多边形的边数．
14．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.若∠BAE＝43°，求∠DCF的度数．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证：OE⊥AD.
16．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF和BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)如果CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
17．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB，CD，BD于点E，F，O，连接DE，BF.
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
(2)若AB＝8 cm，BC＝4 cm，求四边形DEBF的面积．
18．如图①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B，C，G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM.易证得DM＝FM，DM⊥FM.
(1)如图②，点B，C，F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．
(2)如图③，点E，B，C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
答案
一、1.C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D
二、7.6 8.45° 9.24
10．10 点拨：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝∠B，∴FD＝FB，同理得DE＝EC.
∴四边形AFDE的周长＝AF＋FD＋AE＋DE＝AF＋FB＋AE＋EC＝AB＋AC＝5＋5＝10.
11．两组对边分别相等且对角线相等的四边形是矩形
12．54° 点拨：连接BF，直接利用菱形的性质并结合全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BCF，
∴∠CDF＝∠CBF＝18°.
∵AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，
∴FA＝FB，∴∠FAB＝∠FBA.
由题意知AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠BCA＝∠ABF，设∠DAF＝x°，故3x°＋18°＝180°，解得x＝54.
三、13.解：设这个正多边形一个外角的度数为x，根据题意，得4x＋x＝180°，解得x＝36°.360°÷36°＝10.
所以这个正多边形的边数是10.
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，∴∠DCF＝∠BAE＝43°.
15．证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，
∴▱AODE是菱形，∴OE⊥AD.
16．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，即DF∥BE.
∵ DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形．
∵ DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．
(2)由(1)可得，∠BFC＝90°.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠FAB，∴AF平分∠DAB.
17．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，
∴∠OBE＝∠ODF.
∵EF垂直平分BD，
∴DF＝FB，OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO＝FO.∵OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵DF＝FB，∴四边形DEBF是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4 cm.
∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE.
在Rt△ADE中，DE2＝AE2＋DA2，
∴BE2＝(8－BE)2＋16，∴BE＝5 cm，
∴四边形DEBF的面积＝BE·BC＝20 cm2.
18．解：(1)线段DM与FM的关系为DM＝FM，DM⊥FM.
证明：连接DF，NF.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，点B，C，F在同一条直线上，∴AD∥BC，BC∥GE.
∴AD∥GE.∴∠DAM＝∠NEM.
∵M是AE的中点，∴AM＝EM.
又∵∠AMD＝∠EMN，
∴△MAD≌△MEN.
∴DM＝MN，AD＝EN.
∵AD＝CD，∴CD＝EN.
∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°，
∴△DCF≌△NEF.
∴DF＝FN，∠CFD＝∠EFN.
∵∠EFN＋∠CFN＝90°，∴∠CFD＋∠CFN＝90°，
即∠DFN＝90°.∴△DFN为等腰直角三角形．
又∵DM＝MN，∴DM＝FM，DM⊥FM.
(2)DM＝FM，DM⊥FM.