【323850】2024八年级数学下册 第1章二次根式（典型30题专练）（含解析）（新版）浙教版

第1章二次根式（典型30题专练）

一．选择题（共7小题）

1．（海伦市期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2

【分析】二次根式的被开方数是非负数．

【解答】解：依题意，得

a﹣2≥0，

解得，a≥2．

故选：D．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2．（江北区校级期末）下列各式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】最简二次根式的概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可．

【解答】解：A选项，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；

B选项， ＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；

C选项， ＝3 ，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意；

D选项， 是最简二次根式，符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．

3．（永嘉县校级期中）下列式子成立的是（　　）

A． ＝±9 B． C． D．

【分析】直接根据二次根式的性质化简判断即可．

【解答】解： ＝9，故选项A错误；

＝2，故选项B错误；

＝2，故选项C错误；

＝﹣1，故选项D正确．

故选：D．

【点评】此题考查的是二次根式的性质，掌握其性质是解决此题关键．

4．（峨眉山市模拟）若代数式 有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥2 B．x≥0 C．x≥0且x≠2 D．x≠2

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据二次根式有意义得：x≥0，

分式有意义，得x﹣2≠0，解得x≠2．

综上所述，x的取值范围是x≥0且x≠2．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的性质和分式的意义．涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

5．（宁阳县期末）要使二次根式 有意义，那么x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≥﹣1

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得，2x﹣2≥0，

解得，x≥1，

故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

6．（望城区期末）在 中，与 是同类二次根式的有几个（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．

【解答】解：∵ ＝2 ， ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，

∴与 是同类二次根式的有 ， ，共2个，

故选：B．

【点评】本考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．

7．（硚口区月考）下列各式中正确的是（　　）

A． ＝﹣5 B． ＝±4 C．（﹣ ）²＝9 D． ＝

【分析】直接利用二次根式的性质与化简、二次根式乘法运算法则分别判断得出答案．

【解答】解：A. ＝5，故此选项错误；

B. ＝4，故此选项错误；

C．（﹣ ）²＝3，故此选项错误；

D. ＝ ，故此选项正确．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、二次根式乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键．

二．填空题（共12小题）

8．（铁西区期末）若最简二次根式 与 能合并成一项，则a＝　﹣1　．

【分析】由题意可知该二次根式为同类二次根式．

【解答】解：由题意可知： ＝2 ，

∴a+3＝2，

∴a＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确运用同类二次根式的概念，本题属于基础题型．

9．（永嘉县校级期中）（ ）²＝　7　； ＝　3　； × 　5 　；2 ＝　 　．

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：（ ）²＝7，

＝ ＝3，

× ＝ ＝5 ，

2 ＝2× ＝ ，

故答案为：7，3，5 ， ．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

10．（大庆） ＝　2　．

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解： ＝ ＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

11．（德城区一模）在式子 中，x的取值范围是　x＞﹣1　．

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得，x+1＞0，

解得，x＞﹣1，

故答案为：x＞﹣1．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．

12．（郫都区期末）分母有理化： ＝　2﹣ 　．

【分析】给分子分母同乘以（2﹣ ），分母即可化为平方差形式去掉根式，再进行计算即可得出答案．

【解答】解：

＝

＝

＝2 ．

故答案为：2﹣ ．

【点评】本题主要考查了分母有理化及二次根式的乘除，合理运用分母有理化法则进行计算是解决本题的关键．

13．（新蔡县期末）若二次根式 是最简二次根式，则x可取的最小整数是　﹣2　．

【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．

【解答】解：∵二次根式 是最简二次根式，

∴2x+7≥0，

∴2x≥﹣7，

∴x≥﹣3.5，

∵x取整数值，

当x＝﹣3时，二次根式为 ＝1，不是最简二次根式，不合题意；

当x＝﹣2时，二次根式为 ，是最简二次根式，符合题意；

∴若二次根式 是最简二次根式，则x可取的最小整数是﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解答此题的关键．

14．（饶平县校级期末）已知 是整数，自然数n的最小值为　2　．

【分析】根据自然数和二次根式的性质得出18﹣n＝16，求出即可．

【解答】解：∵ 是整数，n为最小自然数，

∴18﹣n＝16，

∴n＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出18﹣n＝16是解此题的关键．

15．（衡阳）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　x≥3　．

【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．

【解答】解：根据题意，得

x﹣3≥0，

解得，x≥3；

故答案为：x≥3．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

16．（连云港）计算： ＝　5　．

【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．

【解答】解：原式＝ ＝5．

故答案为：5．

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．

17．（永嘉县校级期中）已知y＝ + ﹣5，则（x+y）²⁰²¹＝　﹣1　．

【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x和y的的值，进而得出（x+y）²⁰²¹的值．

【解答】解：∵y＝ + ﹣5，

∴x﹣4≥0，4﹣x≥0，

解得x＝4，

∴y＝﹣5，

∴（x+y）²⁰²¹＝（﹣1）²⁰²¹＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

18．（余杭区模拟）已知x＝2+ ，则代数式（7﹣4 ）x²+（2﹣ ）x﹣ 的值为　2﹣ 　．

【分析】将x＝2+ 代入代数式（7﹣4 ）x²+（2﹣ ）x﹣ ，先利用完全平方公式和平方差公式化简计算，再进行实数的混合运算即可得出答案．

【解答】解：∵x＝2+ ，

∴（7﹣4 ）x²+（2﹣ ）x﹣

＝（7﹣4 ）（2+ ）²+（2﹣ ）（2+ ）﹣

＝（7﹣4 ）（7+4 ）+（4﹣3）﹣

＝49﹣48+1﹣

＝2﹣ ．

故答案为：2﹣ ．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式及二次根式的混合运算法则是解题的关键．

19．（永嘉县校级期中）当x＝﹣1时，二次根式 的值是　3　．

【分析】把x＝﹣1代入二次根式 ，再开平方即可．

【解答】解：把x＝﹣1代入 ＝ ＝ ＝3，

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了二次根式定义，关键是掌握算术平方根．

三．解答题（共11小题）

20．（永嘉县校级期中）计算：

（1） ；（2） ．

【分析】（1）利用二次根式的性质计算；

（2）利用二次根式的乘除法则运算．

【解答】解：（1）原式＝3﹣8+3

＝﹣2；

（2）原式＝ ﹣2

＝ ﹣2

＝﹣ ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

21．（淮北月考）如果最简二次根式 与 是同类二次根式．

（1）求出a的值；

（2）若a≤x≤2a，化简： + ．

【分析】（1）利用同类二次根式的定义求出a的值即可；

（2）把a的值代入确定出x的范围，原式变形后，利用二次根式性质化简，即可求出值．

【解答】解：（1）∵最简二次根式 与 是同类二次根式，

∴4a﹣5＝13﹣2a，

解得：a＝3；

（2）把a＝3代入得：3≤x≤6，

则原式＝ + ＝|x﹣2|+|x﹣6|＝x﹣2+6﹣x＝4．

【点评】此题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

22．（永嘉县校级模拟）计算：| ﹣2|+ • ﹣6 ．

【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．

【解答】解：原式＝2﹣ + ﹣2

＝2﹣ +2 ﹣2

＝2﹣ ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

23．（古丈县期末）已知x＝2﹣ ，y＝2+ ，求下列代数式的值：

（1）x²+2xy+y²；（2）x²﹣y²．

【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²＝（x+y）²，然后利用整体代入的方法计算；

（2）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣2 ，再利用平方差公式得到x²﹣y²＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：（1）∵x＝2﹣ ，y＝2+ ，

∴x+y＝4，

∴x²+2xy+y²＝（x+y）²＝4²＝16；

（2））∵x＝2﹣ ，y＝2+ ，

∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2 ，

∴x²﹣y²＝（x+y）（x﹣y）

＝4×（﹣2 ）

＝﹣8 ．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先根据二次根式的性质和运算法则进行化简，然后把满足条件的字母的值代入求值．

24．（永嘉县校级期末）计算：

（1） ﹣|1﹣2 |+（ ）^﹣2+（π+ ）⁰；

（2）（ ﹣2 ）÷ ﹣4 + ．

【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝2 ﹣（2 ﹣1）+9+1

＝2 ﹣2 +1+9+1

＝11；

（2）原式＝ ﹣2 ﹣2 +

＝ ﹣2 ﹣2 + ﹣

＝﹣2 ﹣ ．

【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

25．（海淀区校级期中）已知x＝ ﹣1，求代数式x²+2x﹣6的值．

【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．

【解答】解：x²+2x﹣6＝（x+1）²﹣7

当x＝ 时，

原式＝

＝5﹣7

＝﹣2．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．

26．（黄冈月考）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ﹣ ﹣ ．

【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再根据二次根式的性质得原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去绝对值后合并即可．

【解答】解：∵a＜0＜b，

∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|

＝﹣a﹣b+a﹣b

＝﹣2b．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： ＝|a|．也考查了实数与数轴．

27．（饶平县校级期末）观察下列等式：回答问题：

① ＝1+ ﹣ ＝1

② ＝1+ ﹣ ＝1

③ ＝1+ ﹣ ＝1 ，…

（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ＝　1 　；

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；

（3）验证你的结果．

【分析】根据观察，可得规律： ＝1+ ﹣ ．

【解答】解：（1）根据上面三个等式的信息，猜想 ＝1 ，

故答案为：1 ；

（2） ＝1+ ﹣ ．

（3） ＝

＝

＝

＝

＝1+ ﹣ ．

【点评】本题考查了算术平方根，观察等式发现规律是解题关键．

28．（寻乌县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：

（1）请用不同的方法化简 ；

（2）化简： ．

【分析】（1）分式的分子和分母都乘以 ﹣ ，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．

（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．

【解答】解：（1）

．

（2）原式＝

＝ ．

【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．

29．（永嘉县校级期末）【知识链接】

（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．

例如： 的有理化因式是 ；1﹣ 的有理化因式是1+ ．

（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：

＝ ＝ ﹣1， ＝ ＝ ﹣ ．

【知识理解】

（1）填空：2 的有理化因式是　 　；

（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：

① ＝　 ﹣ 　；② ＝　3 ﹣ 　．

【启发运用】

（3）计算： + + +…+ ．

【分析】（1）由2 × ＝2x，即可找出2 的有理化因式；

（2）①分式中分子、分母同时×（ ﹣ ），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3 ﹣ ），即可得出结论；

（3）利用分母有理化将原式变形为 ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ，合并同类项即可得出结论．

【解答】解：（1）∵2 × ＝2x，

∴2 的有理化因式是 ．

故答案为： ．

（2）① ＝ ＝ ﹣ ；

② ＝ ＝3 ﹣ ．

故答案为：① ﹣ ；②3 ﹣ ．

（3）原式＝ + + +…+ ，

＝ ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ，

＝ ﹣1．

【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2 × ＝2x，找出2 的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为 ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ．

30．（永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数m和n，使m²+n²＝a且mn＝ ，则a+2 可变为m²+n²+2mn，即变成（m+n）²，从而使得 ＝m+n，化简：

例如：∵5+2 ＝3+2+2 ＝（ ）²+（ ）²+2 ＝（ + ）²．

∴ ＝ ＝ + ．

请你仿照上例将下列各式化简：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）利用完全平方公式把4+2 化为（1+ ）²，然后利用二次根式的性质化简即可．

（2）利用完全平方公式把7﹣2 化为（ ﹣ ）²然后利用二次根式的性质化简即可．

【解答】解：（1）∵4+2 ＝1+3+2 ＝1²+ +2 ＝（1+ ）²，

∴ ＝ ＝1+ ；

（2） ＝ ＝ ＝ ﹣ ．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．