第1章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·湖南师大附中期中]下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是(　　)

A.1，3，4 B.2，3，4 C.1，1， D.5，12，13

2.[2023·岳阳]如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是(　　)

(第2题)

A.40° B.45° C.50° D.60°

3.[2023·人大附中期中]如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为 的是(　　)

(第3题)

A.线段AB B.线段BC C.线段CD D.线段AD

4.(母题：教材P16习题T2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边.下列条件中，不能得出△ABC是直角三角形的是(　　)

A.b²＝a²－c² B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

C.∠C＝∠A－∠B D.a∶b∶c＝1∶ ∶

5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是(　　)

(第5题)

A.2 B.2 C.4 D.4

6.[2023·永州一中模拟]如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是(　　)

(第6题)

A.8 B.10 C.12 D.16

7.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)²＋｜a²＋b²－c²｜＝0，则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定

8.[2022·张家界]如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ ，则△AOB与△BOC的面积之和为(　　)

(第8题)

A. B. C. D.

9.[2023·宜宾]如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为(　　)

(第9题)

A.3( －1) B.3(3 －2) C.6( －1) D.6(3 －2)

10. “春节”是我国最重要的传统节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，按如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高(　　)

(第10题)

A.2 cm B. cm C.12 cm D.48 cm

二、填空题(每题3分，共24分)

11.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝　　　　.

(第11题)

12.[2023·重庆B卷]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为　　　　.

(第12题)

13.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为　　　　.

(第13题)

14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为　　　　　　　.

15.[2022·泰州]如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为　　　　.

(第15题)

16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为　　　　dm².

(第16题)

17. 如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是　　　　　　.

(第17题)

18.[2023·湖南师大附中期中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S₁，S₂，若S₁＝16，S₂＝25，则四边形ACBP的面积等于　　　　.

(第18题)

三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)

19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD＝3.

(1)求DE的长；

(2)若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积.

20.(母题：教材P16习题T2)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：

(1)求△ABC的周长；

(2)试判断△ABC的形状.

21. 海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地的周长(结果保留根号).

22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.

23. 如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿D→A→C的路径测得所经过的路程为18米，这时小明说：“我能求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”小红说：“我也知道怎么求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”你能求出这个直角三角形空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.

24.[2023·临沂]如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.

(1)写出AB与BD的数量关系；

(2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF，求证：EF⊥AB；

(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.

答案

一、1.D　2.C

3.B 【点拨】由题意得AB＝ ＝ ，BC＝ ＝ ，CD＝ ＝ ，AD＝ ＝ ，故选B.

4.B 【点拨】根据三角形内角和等于180°判断B，C；根据勾股定理的逆定理判断A，D，即可得出答案.

5.A

6.C 【点拨】作点Q关于BD的对称点H，易知点H在直线AB上，连接PH，则PQ＝PH，BH＝BQ，∴CP＋PQ＝CP＋PH，∴当C，H，P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP＋PQ＝CH为最短.易得此时∠BCH＝30°，∴BH＝ BC＝ ×24＝12，∴BQ＝12.故选C.

7.C　8.C

9.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形，

∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.

又∵DM＝DM，

∴△ADM≌△CDM(SAS)，

∴∠DAM＝∠DCM.

∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM，

∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.

又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°，

∴∠DAM＝30°.

设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x，

∴AD＝ ＝ x＝6，解得x＝2 ，

∴PM＝6－x＝6－2 ，AP＝2x＝4 ，

∴AM＝AP－PM＝4 －(6－2 )＝6( －1).

10.D

二、11.80° 【点拨】∵∠BPC＝130°，

∴∠CBP＋∠BCP＝180°－∠BPC＝50°.

∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠ABC＝2∠CBP，∠ACB＝2∠BCP，

∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBP＋∠BCP)＝100°，

∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.

12.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.

∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.

在Rt△ABD中，根据勾股定理，

得AD＝ ＝ ＝4.

13.3　14.12或7＋

15. 【点拨】如图，第一步到①，第二步到②.

故走两步后的落点与出发点间的最短距离为 ＝ .

16.2 【点拨】如图所示，

依题意，得OD＝ AD＝2 dm，

OE＝ OD＝ dm.

∴阴影部分的面积为OE²＝( )²＝2(dm²).

17.1＋ 【点拨】取AB中点D，连接OD，DC，

∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD.

∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D为AB中点，

∴AB＝BC＝2，BD＝1，CD⊥AB，

∴CD＝ ＝ .

∵△AOB为直角三角形，点D为斜边AB的中点，

∴OD＝ AB＝1，∴OD＋CD＝1＋ ，

即OC的最大值为1＋ .

18.18.5 【点拨】∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S₁，S₂，且S₁＝16，S₂＝25，

∴AC＝4，AB＝5.易得正方形CBGF的面积＝CB²＝AB²－AC²＝25－16＝9，∴BC＝3.

∴四边形ACBP的面积＝S_△ABC＋S_△ABP＝ ×3×4＋ ×5×5＝18.5.

三、19.【解】(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，∴DE＝CD.

∵CD＝3，∴DE＝CD＝3.

(2)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝ ＝10.

∵由(1)知，DE＝CD＝3，

∴S_△ABD＝ AB·DE＝ ×10×3＝15.

20.【解】(1)∵AB＝ ＝ ，AC＝ ＝2 ，BC＝ ＝5，∴AB＋AC＋BC＝ ＋2 ＋5＝3 ＋5，即△ABC的周长为3 ＋5.

(2)∵AB²＋AC²＝( )²＋(2 )²＝25，BC²＝5²＝25，∴AB²＋AC²＝BC².

∴△ABC是直角三角形.

21.【解】连接AC，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，如图.

∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形.

∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°.

∵AB∥CD，

∴∠ACE＝∠BAC＝60°.

又∵∠AEC＝90°，∴∠CAE＝30°.∴CE＝ AC＝10米.

∴AE＝ ＝10 米.

∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°.

∴DE＝AE＝10 米.

由勾股定理得AD＝ ＝10 米.

∴该绿地的周长＝AB＋BC＋CD＋DA

＝20＋20＋10＋10 ＋10

＝50＋10 ＋10 (米).

22.(1)【证明】∵∠ABC的平分线交AC于点D，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.

∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE.

(2)【解】∵∠A＝80°，∠C＝40°，∴∠ABC＝60°.

∵∠ABC的平分线交AC于点D，

∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝30°.

由(1)知∠BDE＝∠EBD，∴∠BDE＝30°.

23.【解】能.

设BC＝a米，AC＝b米，AD＝x米，斜边AC上的高为h米，则9＋a＝x＋b＝18，∴a＝9，b＝18－x.

在Rt△ABC中，由勾股定理得(9＋x)²＋a²＝b²，

∴(9＋x)²＋9²＝(18－x)²，解得x＝3，即AD＝3米.

∴AB＝AD＋DB＝3＋9＝12(米)，AC＝15米.

∴ ×9×12＝ ×15h，解得h＝ .

答：这个直角三角形空地斜边上的高为 米.

24.(1)【解】∵∠A＝90°，AB＝AC，∴BC＝ AB.

∵BC＝AB＋BD，∴ AB＝AB＋BD，

即( －1)AB＝BD.

(2)【证明】如图①，∵CE＝BC，∠2＝∠1，CF＝DC，∴△CEF≌△CBD，

①

∴∠E＝∠DBC，∴EF∥BD，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB.

(3)【证明】如图②，延长BA，EF交于点M，延长CH交ME于点G.

②

∵EF⊥AB，AC⊥AB，

∴ME∥AC，∴∠CGE＝∠ACG.

∵CH是∠ACE的平分线，

∴∠ACG＝∠ECG，∴∠CGE＝∠ECG，

∴EG＝EC＝BC＝AB＋BD.

∵△CBD≌△CEF，

∴EF＝BD，∴EG＝AB＋BD＝AC＋EF，

即FG＋EF＝AC＋EF，∴AC＝FG.

在△AHC和△FHG中，

∴△AHC≌△FHG(AAS)，

∴AH＝HF.