第1章二次根式（基础30题专练）

一．选择题（共9小题）

1．（永嘉县校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．

【解答】解：A、 ＝ ，不是最简二次根式，不符合题意；

B、 是最简二次根式，符合题意；

C、 ＝2 ，不是最简二次根式，不符合题意；

D、 ＝2 ，不是最简二次根式，不符合题意；

故选：B．

【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．

2．（义乌市月考）下列各式计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的定义分别化简，进而判断得出答案．

【解答】解：A. ＝2，故此选项不合题意；

B. ＝﹣2，故此选项符合题意；

C. ＝4，故此选项不合题意；

D. ＝ ＝ ，故此选项不合题意；

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的定义，正确化简二次根式是解题关键．

3．（鄞州区月考）二次根式 中字母x的取值范围是（　　）

A．x≤﹣5 B．x＜﹣5 C．x＞﹣5 D．x≥﹣5

【分析】利用二次根式有意义的条件可得x+5≥0，再解即可．

【解答】解：由题意得：x+5≥0，

解得：x≥﹣5，

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

4．（路桥区一模）下列计算中正确的是（　　）

A．2a²•3a＝6a³ B．（2a²）³＝6a⁶ C． + ＝ D． ＝﹣3

【分析】分别计算每个选项中的式子，可知（2a²）³＝8a⁶， + 不能合并同类项， ＝3，即可求解．

【解答】解：A.2a²•3a＝6a³，计算正确，符合题意；

B．（2a²）³＝8a⁶，不符合题意；

C. + 不能合并同类项，不符合题意；

D. ＝ ＝3，不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查二次根式的运算、整式的运算，熟练掌握二次根式的运算方法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式运算法则是解题的关键．

5．（宁波模拟）要使二次根式 有意义，则a的取值可以是（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2

【分析】根据二次根式有意义的条件列式计算可求解．

【解答】解：由题意，得a﹣1≥0，

解得a≥1，

观察选项，只有选项C符合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键．

6．（滨江区校级期中）下列计算结果正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用二次根式的性质和立方根的概念进行化简，从而作出判断．

【解答】解：A、原式＝2，故此选项符合题意；

B、原式＝1，故此选项不符合题意；

C、原式＝2，故此选项不符合题意；

D、原式＝4，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查利用二次根式的性质进行化简，理解立方根的概念及 ＝|a|是解题关键．

7．（南湖区校级模拟）下列计算正确的是（　　）

A． B．x²+x²＝2x⁴

C．（x﹣y）²＝x²﹣y² D．（﹣2x²）³＝﹣8x⁶

【分析】根据 ＝|a|判断A选项；根据合并同类项判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据积的乘方和幂的乘方判断D选项．

【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；

B选项，原式＝2x²，故该选项不符合题意；

C选项，原式＝x²﹣2xy+y²，故该选项不符合题意；

D选项，原式＝﹣8x⁶，故该选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，掌握 ＝|a|是解题的关键．

8．（金华模拟）代数式 在实数范围内有意义时，x的取值范围为（　　）

A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0

【分析】根据被开方数为非负数并且分母不能为0可得问题的答案．

【解答】解：根据题意得x+1≥0，且x≠0．

∴x≥﹣1且x≠0．

故选：C．

【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数为非负数并且分母不能为0是解决此题关键．

9．（仙居县期末）下列运算正确的是（　　）

A． + ＝ B．4+ ＝4

C． ＝ ＝2 D． ＝6

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘法运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A. + ＝ +2，故此选项不合题意；

B.4+ 无法合并，故此选项不合题意；

C. ＝ ＝ ，故此选项不合题意；

D. ＝ ＝6，故此选项符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

二．填空题（共12小题）

10．（南湖区校级期中）当x＝1时，二次根式 的值为　2　．

【分析】将x＝1代入二次根式 ，即可求出结果．

【解答】解：因为 ，

所以当x＝1时，二次根式 的值为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质与化简．

11．（东阳市期末）若y＝ ，则x+y的值为　 　．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可．

【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，1﹣2x≥0，

解得：x＝ ，

∴y＝3，

∴x+y＝ +3＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

12．（东阳市期末）二次根式 中，字母m的取值范围是　m≥ 　．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得：2m﹣1≥0，

解得：m≥ ，

故答案为：m≥ ．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

13．（浦江县期末）二次根式 中，字母a的取值范围是　a≥﹣4　．

【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．

【解答】解：二次根式 中，a+4≥0，

解得a≥﹣4，

∴字母a的取值范围是a≥﹣4．

故答案为：a≥﹣4．

【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．

14．（杭州期末）若a＝ +1，b＝ ﹣1，则a²﹣ab+b²＝　5　．

【分析】根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：∵a＝ +1，b＝ ﹣1，

∴a+b＝ +1+ ﹣1＝2 ，

ab＝（ +1）（ ﹣1）＝2﹣1＝1，

∴原式＝a²+2ab+b²﹣3ab

＝（a+b）²﹣3ab

＝（2 ）²﹣3×1

＝8﹣3

＝5．

故答案为：5．

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

15．（湖州模拟）函数y＝ 中自变量x的取值范围是　x≤2　．

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：4﹣2x≥0，

∴x≤2，

故答案为：x≤2．

【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

16．（下城区期末）使二次根式 有意义的a可以是　3（答案不唯一）　（只需填一个）．

【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．

【解答】解：∵二次根式 有意义，

∴a﹣2≥0，即a≥2，

则a可以是3．

故答案为：3（答案不唯一）．

【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

17．（连云港）计算： ＝　5　．

【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．

【解答】解：原式＝ ＝5．

故答案为：5．

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．

18．（诸暨市月考）已知：2、3、y是一个三角形的三条边，则|y﹣1|+ 的化简结果　4　．

【分析】根据三角形三边之间的关系确定y的取值范围，然后根据y的取值范围去绝对值化简即可．

【解答】解：∵2，3，y是一个三角形的三条边，

∴1＜y＜5，

∴原式＝y﹣1+

＝y﹣1+|y﹣5|

＝y﹣1+5﹣y

＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，三角形三边之间的关系，能够使用完全平方公式进行变形是解题的关键．

19．（永嘉县校级期中）计算： ＝　3 　；﹣ 　﹣ 　； （a＞0）＝　2a 　．

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．

【解答】解： ＝ ＝3 ，

﹣ ＝﹣ ，

（a＞0）＝2a ，

故答案为：3 ，﹣ ，2a ；

【点评】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是正确计算的前提．

20．（硚口区月考）计算： ＝　3 　，（2 ）²＝　28　， ＝　 　．

【分析】直接利用二次根式的性质与化简、二次根式乘法运算法则分别判断得出答案．

【解答】解： ＝3 ，

（2 ）²＝2²×（ ）²＝4×7＝28，

＝ ＝ ＝ ．

故答案为：3 ，28， ．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、二次根式乘法运算，正确掌握二次根式乘法运算法则是解题关键．

21．（永嘉县校级期中）化简：（1） ＝　 　；（2）﹣ ＝　﹣ 　．

【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝ ；

故答案为： ；

（2）﹣ ＝﹣ ＝﹣ ．

故答案为：﹣ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

三．解答题（共9小题）

22．（南湖区校级期中）计算：

（1） ；（2） ．

【分析】（1）根据二次根式的性质化简再合并同类二次根式即可；

（2）利用多项式乘法法则进行计算，再合并即可．

【解答】解：（1） ；

（2） ．

【点评】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．

23．（丽水期末）计算：

（1） ；（2）﹣ ．

【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的除法运算法则分别化简得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．

【解答】解：（1）原式＝ +3

＝3+3

＝6；

（2）原式＝﹣2 +6×

＝﹣2 +2

＝0．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

24．（南浔区期末）计算： ﹣ × +5 ．

【分析】直接利用二次根式的性质结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝

＝

＝0．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

25．（滨江区期末）计算：

（1） ；（2） ．

【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；

（2）先把后面括号内提 ，然后利用平方差公式计算．

【解答】解：（1）原式＝

＝ ；

（2）原式＝（1+ ）× （ ﹣1）

＝ ×（2﹣1）

＝ ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．

26．（海淀区校级期中）计算：

（1）4 ；（2）（ +2）（ ﹣2）．

【分析】（1）根据二次根式的加减法则运输；

（2）利用平方差公式进行计算．

【解答】解：（1）原式＝4 ﹣ + ﹣3

＝ ﹣ ；

（2）原式＝（ ）²﹣2²

＝5﹣4

＝1．

【点评】本题考查了二次根式的加减和乘法运算，第一小题先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；第二小题利用平方差公式进行计算．

27．（澄城县期末）计算：

（1） ；（2） ．

【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．

（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．

【解答】解：（1）原式＝3 ﹣ +

＝3 +2 ﹣

＝ ．

（2）原式＝3﹣1+6﹣2 +1

＝9﹣2 ．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

28．（永嘉县校级模拟）计算： × + +| ﹣1|．

【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质和绝对值的意义计算．

【解答】解：原式＝ +2+ ﹣1

＝ +2+ ﹣1

＝2 +1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

29．（下城区校级期中）计算下列各式：

（1） ﹣3 + × ；（2）（ ﹣ ）²+ ．

【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；

（2）利用完全平方公式计算．

【解答】解：（1）原式＝6 ﹣6 +

＝ ；

（2）原式＝2﹣2 +3+2

＝5．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

30．（长春期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 ﹣ ．

【分析】直接利用二次根式的性质以及实数与数轴分别化简得出答案．

【解答】解：由数轴可得：1＜b＜2，则b﹣1＞0，a﹣b＜0，

故原式＝b﹣1+a﹣b

＝a﹣1．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．