第1章二次根式（单元提升卷）

一．选择题（共10小题）

1．（新化县期末）下列各式计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．

【解答】解：A、原式＝6 ，所以A选项的计算错误；

B、5 与5 不能合并，所以B选项的计算错误；

C、原式＝8 ＝8 ，所以C选项的计算正确；

D、原式＝2，所以D选项的计算错误．

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

2．（东阳市期末）要使二次根式 有意义，下列数值中字母x可以取的是（　　）

A．﹣3 B．2 C．1 D．0

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．

【解答】解：要使二次根式 有意义，

则2x﹣3≥0，

解得：x≥ ，

故x可以取2．

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．

3．（惠城区期末）使二次根式 有意义的x的取值范围是（　　）

A． B． C．x≤3 D．x≤﹣3

【分析】根据二次根式有意义的条件可得3x+1≥0，再解即可．

【解答】解：由题意得：3x+1≥0，

解得：x≥﹣ ，

故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

4．（市中区模拟）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≥0 C．x＞0且x≠2 D．x≥0且x≠2

【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：

，

∴x≥0且x≠2，

故选：D．

【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

5．（遂宁期末）下列二次根式为最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的性质，逐个进行分析即可．

【解答】解：A选项中， ；B选项中， ；C选项中， ．

故选：D．

【点评】本题主要考查了最简二次根式的相关概念，熟练掌握最简二次根式是解答此题的关键．

6．（赣榆区期末）若 为二次根式，则m的取值范围是（　　）

A．m＜3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＞3

【分析】根据二次根式的定义得出3﹣m≥0，求出不等式的解集即可．

【解答】解：∵ 为二次根式，

∴3﹣m≥0，

解得：m≤3，

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的定义和解一元一次不等式，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．

7．（丛台区期末）若x＜0，则 的结果是（　　）

A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．2

【分析】根据二次根式的意义化简．

【解答】解：若x＜0，则 ＝﹣x，

∴ ＝ ＝ ＝2，

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简．二次根式 规律总结：当a≥0时， ＝a；当a≤0时， ＝﹣a．

8．（北仑区期末）下列计算正确的为（　　）

A． + ＝ B． × ＝ C． ＝4 D． ﹣ ＝

【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断．

【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；

B、原式＝ ＝ ，所以B选项正确；

C、原式＝2 ，所以C选项错误；

D、 与﹣ 不能合并，所以D选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

9．（萧山区期末）化简 ，正确的是（　　）

A．2 B． C．6 D．

【分析】原式化简得到结果，即可作出判断．

【解答】解： ＝ ＝ ．

故选：D．

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解本题的关键．

10．（奉化区期末）下列计算正确的是（　　）

A． ＝﹣3 B．（2 ）²＝6 C． + ＝ D． × ＝

【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．

【解答】解：A． ＝|﹣3|＝3，此选项计算错误；

B．（2 ）²＝12，此选项计算错误；

C． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

D． × ＝ ＝ ，此选项计算正确；

故选：D．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．

二．填空题（共8小题）

11．（黄州区校级模拟）已知a、b满足 ＝a﹣b+1，则ab的值为　± 　．

【分析】直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．

【解答】解：∵ ＝a+3，

若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，

故a＜2，

∴2﹣a＝a+3，

∴a＝﹣ ，

∵ ＝a﹣b+1，

∴a﹣b+1＝1或0，

∴b＝﹣ 或 ，

∴ab＝± ．

故答案为：± ．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的值是解题关键．

12．（温江区校级月考）已知 ，则x^y的值是　25　．

【分析】由二次根式的性质，可知5﹣x≥0，x﹣5≥0，得出x＝5，代入已知等式，可求出y的值，进而计算出x^y的值．

【解答】解：由题意，得 ，

解得x＝5．

∴ ＝2，

∴x^y＝5²＝25．

【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

13．（资中县月考）若a+ ﹣b＝0且ab≠0，则 的值为　 　．

【分析】求出a、b同号，分为两种情况：当a＞0，b＞0时， ＝0，求出方程的解即可；当a＜0，b＜0时， ＝0，求出方程的解即可．

【解答】解：∵ab≥0，ab≠0，

∴ab＞0，

即a、b同号，

∵a+ ﹣b＝0，

∴ ＝b﹣a＞0，

即b＞a，

当a＞0，b＞0时， ＝0，即 ＝0，

解这个方程得， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ＝ ；

当a＜0，b＜0时， ＝0，即 ＝0，

解这个方程得， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ＝ ，

∵b＞a，

∴此时不符合，舍去

综上， ＝ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了二次根式的加减和分式的值能求出符合的所有情况是解此题的关键．

14．（永嘉县校级期末）已知x＝ ，则4x²+4x﹣2017＝　﹣2015　．

【分析】方法一：先对式子4x²+4x﹣2017进行化简变为完全平方式，然后将x的代入求值即可解答本题；

方法二：先对x化简，然后将x的值代入所求的式子，然后计算即可．

【解答】解：方法一：∵x＝ ，

∴4x²+4x﹣2017

＝（2x+1）²﹣2018

＝

＝

＝（ +1）²﹣2018

＝（ +1）²﹣2018

＝（ +1）²﹣2018

＝

＝3﹣2018

＝﹣2015．

故答案为；﹣2015．

方法二：∵x＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，

∴4x²+4x﹣2017

＝（2x+1）²﹣2018

＝（2× +1）²﹣2018

＝（ ）²﹣2018

＝（ ）²﹣2018

＝3﹣2018

＝﹣2015，

故答案为：﹣2015．

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可．

15．（资中县月考）实数a、b满足 + ＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，则a²+b²的最大值为　41　．

【分析】首先化简 + ＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，可得：|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10；然后根据|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，判断出a、b的取值范围，求出a²+b²的最大值是多少即可．

【解答】解：∵ + ＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，

∴|a﹣1|+|a﹣5|＝10﹣|b+4|﹣|b﹣2|，

∴|a﹣1|+|a﹣5|+|b+4|+|b﹣2|＝10，

∵|a﹣1|+|a﹣5|≥4，|b+4|+|b﹣2|≥6，

∴|a﹣1|+|a﹣5|＝4，|b+4|+|b﹣2|＝6，

∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，

∴a²+b²的最大值为：

5²+（﹣4）²＝41．

故答案为：41．

【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

16．（都江堰市校级月考）若 +|b﹣3﹣2 |＝0，则a²⁰⁰⁴×b²⁰⁰⁵＝　3+2 　．

【分析】先根据非负数的性质得到a﹣3+2 ＝0，b﹣3﹣2 ＝0，解得a＝3﹣2 ，b＝3+2 ，再计算ab的值，然后根据积的乘方进行计算．

【解答】解：∵ +|b﹣3﹣2 |＝0，

∴a﹣3+2 ＝0，b﹣3﹣2 ＝0，

∴a＝3﹣2 ，b＝3+2 ，

∴ab＝（3﹣2 ）（3+2 ）＝9﹣8＝1，

∴a²⁰⁰⁴×b²⁰⁰⁵＝（ab）²⁰⁰⁴×b＝1×（3+2 ）＝3+2 ．

故答案为3+2 ．

【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了非负数的性质．

17．（四川）已知xy＝3，那么 的值是　±2 　．

【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答．

【解答】解：因为xy＝3，所以x、y同号，

于是原式＝x +y ＝ + ，

当x＞0，y＞0时，原式＝ + ＝2 ；

当x＜0，y＜0时，原式＝﹣ +（﹣ ）＝﹣2 ．

故原式＝±2 ．

【点评】此题比较复杂，解答此题时要注意x，y同正或同负两种情况讨论．

18．（武汉）当x＝2+ ，y＝2﹣ 时， 的值为　 　．

【分析】首先将所给的式子分母有理化，然后再代值求解．

【解答】解：由题意，知：x+y＝4，x﹣y＝2 ，（x+1）（y+1）＝6；

原式＝

＝

＝

＝ ＝ + ．

【点评】此题的关键是正确的对分式进行分母有理化，然后根据化简的结果，代值计算．

三．解答题（共6小题）

19．（海门市期末）计算：

（1）2 ﹣6 +3 ；

（2）（ +3）（ ﹣5）．

【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算加减即可．

【解答】解：（1）原式＝4 ﹣2 +12

＝14 ；

（2）原式＝2﹣5 +3 ﹣15

＝﹣13﹣2 ．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

20．（开福区校级期末）已知 ， ，求代数式的值：

（1）x²﹣y²；

（2）x²+xy+y²．

【分析】（1）根据x、y的值可以求得所求式子的值；

（2）根据x、y的值可以求得所求式子的值．

【解答】解：（1）∵ ， ，

∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2 ，

∴x²﹣y²

＝（x+y）（x﹣y）

＝4×（﹣2 ）

＝﹣8 ；

（2）∵ ， ，

∴x+y＝4，xy＝1，

∴x²+xy+y²

＝（x+y）²﹣xy

＝4²﹣1

＝16﹣1

＝15．

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．

21．（泰宁县期中）我们规定，若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．

（1）若3与x是关于1的平衡数，5﹣ 与y是关于1的平衡数，求x，y的值；

（2）若（m+ ）×（1﹣ ）＝﹣2n+3（ ﹣1），判断m+ 与5n﹣ 是否是关于1的平衡数，并说明理由．

【分析】（1）根据题意列式计算即可；

（2）将已知等式化简可得，m+2n﹣2 ﹣m ＝0，然后分三种情况分别列式计算：①当m和n均为有理数时，②当m和n中一个为有理数，另一个为无理数时，③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，进而可得结论．

【解答】解：（1）根据题意可知：3+x＝2，

解得x＝﹣1，

5﹣ +y＝2，

解得y＝﹣3+ ；

（2）（m+ ）×（1﹣ ）＝﹣2n+3（ ﹣1），

∴m﹣ m+ ﹣3＝﹣2n+3 ﹣3，

∴m+2n﹣2 ﹣ m＝0，

①当m和n均为有理数时，

则有m+2n＝0，﹣2﹣m＝0，

解得：m＝﹣2，n＝1，

当m＝﹣2，n＝1时，

m+ +5n﹣ ＝﹣2+ +5﹣ ＝3≠2，

所以m+ 与5n﹣ 不是关于1的平衡数；

②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，

m+ +5n﹣ ＝m+5n，而此时m+5n为无理数，故m+5n≠2，

所以m+ 与5n﹣ 不是关于1的平衡数；

③当m和n均为无理数时，当m+5n＝2时，

∵m+2n﹣2 ﹣ m＝0，

解得m＝ ，n＝ ，

使得m+ 与5n﹣ 是关于1的平衡数，

当m≠ ，n≠ 时，

m+ 与5n﹣ 不是关于1的平衡数，

综上可得：当m＝ ，n＝ 时，m+ 与5n﹣ 是关于1的平衡数，否则m+ 与5n﹣ 不是关于1的平衡数．

【点评】本题考查了二次根式的加减法，解决本题的关键是掌握分母有理化的方法．

22．先阅读下面的解题过程，然后再解答：

形如 的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即 ， ，那么便有： ．

根据上述方法化简：

（1） ．

（2） ．

【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；

（2）直接利用完全平方公式化简求出答案．

【解答】解：（1） ＝ ＝ ；

（2） ＝ ＝2+ ．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．

23．（永嘉县校级期末）【知识链接】

（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．

例如： 的有理化因式是 ；1﹣ 的有理化因式是1+ ．

（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：

＝ ＝ ﹣1， ＝ ＝ ﹣ ．

【知识理解】

（1）填空：2 的有理化因式是　 　；

（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：

① ＝　 ﹣ 　；② ＝　3 ﹣ 　．

【启发运用】

（3）计算： + + +…+ ．

【分析】（1）由2 × ＝2x，即可找出2 的有理化因式；

（2）①分式中分子、分母同时×（ ﹣ ），即可得出结论；②分式中分子、分母同时×（3 ﹣ ），即可得出结论；

（3）利用分母有理化将原式变形为 ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ，合并同类项即可得出结论．

【解答】解：（1）∵2 × ＝2x，

∴2 的有理化因式是 ．

故答案为： ．

（2）① ＝ ＝ ﹣ ；

② ＝ ＝3 ﹣ ．

故答案为：① ﹣ ；②3 ﹣ ．

（3）原式＝ + + +…+ ，

＝ ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ，

＝ ﹣1．

【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由2 × ＝2x，找出2 的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为 ﹣1+ ﹣ +2﹣ +…+ ﹣ ．

24．（永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将 化简，若你能找到两个数m和n，使m²+n²＝a且mn＝ ，则a+2 可变为m²+n²+2mn，即变成（m+n）²，从而使得 ＝m+n，化简：

例如：∵5+2 ＝3+2+2 ＝（ ）²+（ ）²+2 ＝（ + ）²．

∴ ＝ ＝ + ．

请你仿照上例将下列各式化简：

（1） ；

（2） ．

【分析】（1）利用完全平方公式把4+2 化为（1+ ）²，然后利用二次根式的性质化简即可．

（2）利用完全平方公式把7﹣2 化为（ ﹣ ）²然后利用二次根式的性质化简即可．

【解答】解：（1）∵4+2 ＝1+3+2 ＝1²+ +2 ＝（1+ ）²，

∴ ＝ ＝1+ ；

（2） ＝ ＝ ＝ ﹣ ．

【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．