第1章学情评估

一、选择题(每题3分，共18分)

1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C＝(　　)

A．30°　 B．40° C．50° D．60°

2．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(　　)

A．HL B．ASA C．AAS D．SAS

(第2题)　　　　 (第3题)　　　　 (第6题)

3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)

A．1 B．2 C. D．4

4．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2:3，则BC:AB＝(　　)

A．12 B．13 C．11 D．23

5．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝36°，则∠DCB的度数为(　　)

A．54° B．64° C．72° D．75°

6. 我国古代数学家赵爽拼成的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼接而成的(如图)，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a²＋b²＝ab＋10，那么小正方形的面积为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题(每题4分，共24分)

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是AB的中点，则CD＝________．

8．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝20°，PM＝PN，则∠AOB＝________．

9．已知a，b，c是△ABC的三边长且c＝5，a，b满足关系式＋(b－3)²＝0，则△ABC的最大内角为________．

10．如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，已知∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝54°，则∠DFE＝________．

(第10题)　　 (第11题)　　 (第12题)

11．如图，一艘轮船以16海里/h的速度从港口A出发向北偏东15°方向航行，另一艘轮船以12海里/h的速度同时从港口A出发向南偏东75°方向航行，离开港口2 h后，两船相距________海里．

12．如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4 cm，AB＝5 cm.则下列结论：①PF⊥BC；②PE＝PF；③△ABP≌△BPF；④△APB的面积为5 cm².其中正确结论的序号是________．

三、解答题(第13～15题每题8分，第16题10分，第17～18题每题12分，共58分)

13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84 cm²，AB＝15 cm，AC＝13 cm，求DE的长．

14．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠C，交边AB于点D.求证：BD＝2AD.

15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝BC，连接AF，EF.求证：AF⊥FE.

16．如图，在△ABC中，已知AB＝10，BC＝8，AC＝6，CD是△ABC的中线，CE⊥AB.

(1)求CD的长；

(2)求DE的长．

17．在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.

(1)若B，C在DE的同侧(如图①)，且AD＝CE，求证：AB⊥AC；

(2)若B，C在DE的两侧(如图②)，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

18．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB＝250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB的距离MN＝120 m，到喷泉B的距离BM＝150 m.

(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

(2)求出喷泉B到小路AC的最短距离．

答案

一、1.D　2.A　3.B　4.A　5.A

6．A　点拨：设大正方形的边长为c.

∵大正方形的面积是18，∴c²＝18，∴a²＋b²＝c²＝18.

∵a²＋b²＝ab＋10，∴ab＋10＝18，∴ab＝8，

∴小正方形的面积＝(b－a)²＝a²＋b²－2ab＝18－2×8＝2.

二、7.6　8.40°　9.90°

10．36°　点拨：在Rt△ABC与Rt△DEF中，

∵AC＝DF，AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF.

∴∠D＝∠A＝54°，

∴∠DFE＝90°－∠D＝90°－54°＝36°.

11．40　12.①②④　

三、13.解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF.

∵△ABC的面积是84 cm²，AB＝15 cm，AC＝13 cm，

∴×15×DE＋×13×DF＝84，

∴14DE＝84，∴DE＝6 cm，即DE的长是6 cm.

14．证明：过点D作DH⊥BC于点H.

∵CD平分∠ACB，DH⊥BC，DA⊥AC，∴DH＝DA.

∵∠DHB＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2DH，∴BD＝2AD.

15．证明：连接AE.由题意知AB＝AD＝DC＝BC＝4，∠D＝∠C＝∠B＝90°.

∵F为DC的中点，CE＝BC，

∴DF＝CF＝2，CE＝1，∴BE＝3.

根据勾股定理，得AF²＝4²＋2²＝20，EF²＝2²＋1²＝5，AE²＝4²＋3²＝25.∴AF²＋EF²＝AE²，

∴△AFE是直角三角形，∴∠AFE＝90°，即AF⊥FE.

16．解：(1)由BC＝8，AC＝6，得BC²＋AC²＝8²＋6²＝100.

由AB＝10，得AB²＝10²＝100，

∴AB²＝BC²＋AC²，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.

又∵CD是△ABC的中线， ∴CD＝AB＝5.

(2)由(1)知△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，

又CE⊥AB，∴S_△ABC＝BC·AC＝AB·CE，

∴×8×6＝×10×CE，解得CE＝4.8.

易知△CDE为直角三角形，

∴由勾股定理，得DE²＝CD²－CE²＝5²－4.8²＝1.96，

∴DE＝1.4.

17．(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，

∴∠ADB＝∠CEA＝90°，

在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB＝CA，AD＝CE，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE.

∴∠DBA＝∠EAC.

∵∠DAB＋∠DBA＝90°，

∴∠DAB＋∠CAE＝90°.∴∠BAC＝90°.

∴AB⊥AC.

(2)解：AB与AC仍垂直．证明：

∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.

在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB＝CA，AD＝CE，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB＝∠ECA，

∵∠CAE＋∠ECA＝90°，

∴∠CAE＋∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.

18．解：(1)在Rt△MNB中，BN＝＝＝90(m)，

∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)，

在Rt△AMN中，AM＝＝＝200(m)，

∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为200＋150＝350(m)．

(2)∵AB＝250 m，AM＝200 m，BM＝150 m，

∴AB²＝BM²＋AM²，∴△ABM是直角三角形，

且∠AMB＝90°，∴BM⊥AC，

∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150 m.