第1章二次根式单元测试(A卷夯实基础）

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（前郭县月考）计算 的结果是（　　）

A．﹣7 B．7 C．﹣14 D．49

【思路点拨】根据二次根式的基本性质解答即可．

【答案】解： ＝|﹣7|＝7．

故选：B．

【点睛】此题考查的是二次根式的性质，掌握其性质是解决此题关键．

2．（饶平县校级模拟）若代数式 有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1

【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．

【答案】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，

解得：x≥﹣1，且x≠1，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．

3．（封丘县期中）下列为最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

【答案】解：A． 是最简二次根式，故本选项符合题意；

B． 被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C． 被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D． ＝2 ，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．

4．（卢龙县期末）实数5不能写成的形式是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据二次根式的性质计算，判断即可．

【答案】解：A、 ＝5，

B、 ＝5，

C、（ ）²＝5，

D、﹣ ＝﹣5，

故选：D．

【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．

5．（爱辉区期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】首先把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式可得答案．

【答案】解：A、 与 不是同类二次根式；

B、 ＝ 与 不是同类二次根式；

C、 ＝ 与 不是同类二次根式；

D、 ＝2 与 是同类二次根式；

故选：D．

【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．

6．（大连期末）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． ＝6 D． ÷ ＝3

【思路点拨】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．

【答案】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；

B、原式＝2 ﹣ ＝ ，所以B选项错误；

C、原式＝ ＝ ，所以C选项错误；

D、原式＝ ＝3，所以D选项正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

7．已知 ＝ ，则a的取值范围是（　　）

A．a≥0 B．a＞0 C．a≥1 D．a＞1

【思路点拨】直接利用二次根式的性质以及分式有意义的条件、二次根式有意义的条件得出关于a的取值范围，进而得出答案．

【答案】解：∵ ＝ ，

∴ ，

解得：a≥1．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

8．（鄂州期末）把（2﹣x） 的根号外的（2﹣x）适当变形后移入根号内，得（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可以得到2﹣x＜0，根号外的（2﹣x）提出负号后移入根号内即可．

【答案】解：（2﹣x） ＝﹣（x﹣2） ＝﹣ ＝﹣ ，

故选：D．

【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．

9．（新泰市期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|﹣ 的结果是（　　）

A．3k﹣11 B．k+1 C．1 D．11﹣3k

【思路点拨】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简．

【答案】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，

∴ ，

解得，3＜k＜5，

所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0，

∴|2k﹣5|﹣ ＝2k﹣5﹣ ＝2k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11．

故选：A．

【点睛】化简 ，要根据二次根式的性质，先将 化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简．

10．（内江期末）已知﹣1＜a＜0，化简 的结果为（　　）

A．2a B．﹣2a C．﹣ D．

【思路点拨】先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据a的取值范围去掉绝对值符号合并即可．

【答案】解：

＝ ﹣

＝| |﹣| |，

当﹣1＜a＜0时，原式＝a﹣ + ＝2a．

故选：A．

【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，在化简二次根式时要根据二次根式的性质先讨论被开方数的符号，再进行解答．

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．（西湖区期末）若 在实数范围内有意义，则x满足　x≥3　．

【思路点拨】根据二次根式的概念，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．

【答案】解： 在实数范围内有意义，则x﹣3≥0，

解得：x≥3．

故答案为：x≥3．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．

12．（平房区三模）化简： ﹣3 的结果是　 　．

【思路点拨】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．

【答案】解：原式＝2 ﹣ ＝ ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．

13．（金牛区期末）若实数x、y满足：y＝ + + ，则xy＝　2　．

【思路点拨】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y，计算即可．

【答案】解：由题意得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，

解得，x＝4，

则y＝ ，

∴xy＝4× ＝2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

14．（苏州期中）已知实数﹣1＜a＜ ，化简|a+1|+ ＝　3　．

【思路点拨】根据绝对值的意义及二次根式的性质进行化简．

【答案】解：∵﹣1＜a＜ ，

∴a+1＞0，a﹣2＜0，

∴原式＝a+1+2﹣a＝3，

故答案为：3．

【点睛】本题考查绝对值及二次根式的化简，理解绝对值的意义及二次根式的性质 ＝|a|是解题关键．

15．（广州一模）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为　b　．

【思路点拨】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可．

【答案】解：∵|a|＞|b|，∴ ＝﹣a+（a+b）＝b．

故答案为：b．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握相关性质是解题关键．

16．（锡山区期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm²和18cm²的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为　24cm²　．

【思路点拨】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．

【答案】解：∵两个小正方形面积为8cm²和18cm²，

∴大正方形边长为： + ＝2 +3 ＝5 （cm），

∴大正方形面积为（5 ）²＝50（cm²），

∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm²）．

故答案为：24cm²．

【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．

三．解答题（共7小题，共66分）

17．（于洪区期末）计算：

（1） ；

（2）（ ）÷ +（1+ ）²．

【思路点拨】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；

（2）先算除法和完全平方公式，然后合并同类二次根式即可．

【答案】解：（1）

＝ ﹣ +

＝ ；

（2）（ ）÷ +（1+ ）²

＝ ﹣ +1+2 +5

＝ +1+2 +5

＝3﹣ +1+2 +5

＝9+ ．

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序．

18．（肃州区期末）化简：

（1）（ ﹣2 ）× ﹣6 ；

（2）（3+2 ）（3﹣2 ）﹣ ÷ ．

【思路点拨】（1）先利用乘法分配律和二次根式的乘法计算、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可；

（2）先利用平方差公式和二次根式的除法计算，再计算加减即可．

【答案】解：（1）原式＝3 ﹣6 ﹣6×

＝3 ﹣6 ﹣3

＝﹣6 ；

（2）原式＝3²﹣（2 ）²﹣

＝9﹣8﹣3

＝﹣2．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

19．（静安区期末）已知：a＝﹣1+ ，b＝﹣1﹣ ．

求：（1）a+b和ab的值；

（2）a²+2a﹣1的值．

【思路点拨】（1）将a、b的值分别代入a+b、ab计算即可；

（2）将a的值代入a²+2a﹣1＝a²+2a+1﹣2＝（a+1）²﹣2计算即可．

【答案】解：（1）当a＝﹣1+ ，b＝﹣1﹣ 时，

a+b＝﹣1+ ﹣1﹣ ＝﹣2，

ab＝（﹣1+ ）（﹣1﹣ ）

＝（﹣1）²﹣（ ）²

＝1﹣2

＝﹣1；

（2）a²+2a﹣1

＝a²+2a+1﹣2

＝（a+1）²﹣2

＝（﹣1+ +1）²﹣2

＝（ ）²﹣2

＝2﹣2

＝0．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

20．（兴平市期中）若a，b为实数，且 +2 ＝b+5，求a+b的值．

【思路点拨】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，再求出b的值，进而得出答案．

【答案】解：由题意可得：

，

解得：a＝6，

故b+5＝0，

解得：b＝﹣5，

故a+b＝6﹣5＝1．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a的值是解题关键．

21．（高陵区月考）已知x＝ ，y＝ ，求（x﹣y）²+xy的值．

【思路点拨】根据x＝ ，y＝ ，可以计算出x﹣y、xy的值，然后代入所求式子计算即可．

【答案】解：∵x＝ ，y＝ ，

∴x﹣y＝（ ）﹣（ ）＝ ﹣ + ＝2 ，

xy＝（ ）×（ ）＝3﹣2＝1，

∴（x﹣y）²+xy

＝（2 ）²+1

＝8+1

＝9，

即（x﹣y）²+xy的值是9．

【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是求出x﹣y、xy的值．

22．（峄城区期中）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝ （a+b+c），则有下列面积公式：S＝ （海伦公式）．

（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式求这个三角形的面积；

（2）一个三角形边长依次为2、 、3，利用海伦公式求这个三角形的面积．

【思路点拨】（1）直接用公式计算即可．

（2）代公式，化简计算．

【答案】解：（1）P＝ （a+b+c）＝ （5+6+7）＝9．

∴S＝ ＝6 ．

（2）由题意：P＝ （2+3+ ）＝ ．

∴P﹣a＝ ，P﹣b＝ ，p﹣c＝ ．

∴S＝ ＝ ＝ ．

【点睛】本题考查用海伦公式求三角形面积，将a，b，c，p的值正确代入公式并化简是求解本题的关键．

23. （芗城区校级期中）我们有时会碰上形如 ， ， 的式子，其实我们可以将其进一步分母有理化．形如 的式子还可以用以下方法化简：

（*）．参照（*）式的化简方法解决下列问题：

（1）化简 ；

（2）化简 ．

【思路点拨】（1）分子、分母都乘以 ﹣ ，再进一步计算即可；

（2）利用以上规律将原式变形为 ×（ ﹣1+ ﹣ + ﹣ + ﹣ ），再进一步计算加减即可．

【答案】解：（1）原式＝

＝

＝

＝ ﹣ ；

（2）原式＝ ×（ ﹣1+ ﹣ + ﹣ + ﹣ ）

＝ ×（﹣1+ ）

＝ ×（﹣1+3）

＝ ×2

＝1．

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

24．（二道区期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 ＝（1+ ）²．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b ＝（m+n ）²＝m²+2n²+2mn （其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m²+2n²，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若a+b ＝（m+n ）²，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　m²+5n²　，b＝　2mn　．（均用含m、n的式子表示）

（2）若x+4 ＝（m+n ）²，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．

【拓展延伸】

（3）化简 ＝　 　．

【思路点拨】（1）根据完全平方公式将等式右边展开，然后分析求解；

（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解；

（3）根据完全平方公式和二次根式的性质进行变形化简．

【答案】解：（1）（m+n ）²＝m²+2 mn+5n²，

∵a+b ＝（m+n ）²，且a、b、m、n均为整数，

∴a＝m²+5n²，b＝2mn，

故答案为：m²+5n²，2mn；

（2）（m+n ）²＝m²+2 mn+3n²，

∵x+4 ＝（m+n ）²，

∴ ，

又∵x、m、n均为正整数，

∴ 或 ，

即m＝1，n＝2，x＝13或m＝2，n＝1，x＝7；

（3）原式＝

＝

＝ ，

故答案为： + ．

【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，理解二次根式的性质 ＝|a|，掌握完全平方公式（a±b）²＝a²±2ab+b²的结构是解题关键．