期中综合素质评价

八年级数学 上(BS版)　　时间：90分钟　满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.（教材P10随堂练习T1变式) 下列数据能作为直角三角形三边的是(　　)

A．1，1， B．1，2，3 C.，， D．12，16，20

2．如图，已知∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为(2，30°)，点B可表示为(3，150°)，则点D可表示为(　　)

A．(4，75°) B．(75°，4) C．(4，90°) D．(4，60°)

3.（2024厦门双十中学思明分校期中) 下列式子中，为最简二次根式的是(　　)

A. B. C. D.

4．下面四幅图中，不能说明勾股定理的是(　　)

5．下列说法中正确的是(　　)

①1的平方根是1；②5是25的算术平方根；③(－4)²的平方根是－4；

④(－4)³的立方根是－4；⑤0.01是0.1的一个平方根．

A．①④ B．②④ C．②③ D．②⑤

6．如图，在正方形网格中，若A(1，1)，B(2，0)，则C点的坐标为(　　)

A．(－3，－2) B．(3，－2) C．(－2，－3) D．(2，－3)

7.（新考向 身边的数学） 学习了《植物生长》后，实践小组观察记录了一段时间娃娃菜幼苗的生长，娃娃菜幼苗的高度y(cm)与观察时间x(天)的函数关系如图所示，那么娃娃菜幼苗的高度最高是(　　)

A．6 cm B．12 cm C．16 cm D．19 cm

8．已知函数y＝|x－b|，当x＝1或x＝3时，对应的两个函数值相等，则实数b的值是(　　)

A．2 B．1 C．－1 D．－2

9. （新视角 新定义题）定义新运算“※”的运算法则为：当a>0，b>0时，a※b＝.例如：6※4＝＝.那么2×(4※6)的值是(　　)

A．8 B．48 C. D．2

10. （新考向 数学文化）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s(单位：里)关于行走时间t(单位：日)的函数图象如图所示，下列说法：①劣马比良马早出发12日；②良马出发32日时，良马追上劣马；③良马的速度比劣马的速度快90里/日．其中正确的是(　　)

A．①③ B．①② C．②③ D．①②③

二、填空题(每题3分，共18分)

11．如图，一根12米高的电线杆AB，用铁丝AC，AD固定，现已知用去铁丝AC＝15米，AD＝13米，又测得地面上B，C两点之间距离是9米，B，D两点之间距离是5米，则电线杆AB和BC，BD是否都垂直________．(填“是”或“否”)

12．若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x₁，y₁)和点B(x₂，y₂)，当x₁＜x₂时y₁＞y₂，则m的取值范围是__________．

13．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于P，Q两点，则P点所表示的数为________．(可以用含根号的式子表示)

14．已知点A的坐标为(n＋3，3)，点B的坐标为(n－4，n)，AB∥x轴，则线段AB＝________．

15．若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是________．

16.（2024苏州模拟) 已知函数y₁＝x，y₂＝2x＋3，y₃＝－x＋4，若无论x取何值，y总取y₁，y₂，y₃中的最小值，则y的最大值为________．

三、解答题(17～22题每题10分，23题12分，共72分)

17．计算：

(1)－2²＋＋|－4|；　　　　(2)÷3×.

18．已知4a＋7的立方根是3，2a＋2b＋2的算术平方根是4.

(1)求a，b的值；

(2)求6a＋3b的平方根．

19.（新视角 探究题）甲同学在拼图探索活动中发现：用4个形状大小完全相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c，可以拼成像图①那样的正方形，并由此得出了关于a²，b²，c²的一个等式．

(1)请你写出这一结论：____________，并给出验证过程；

(2)试用上述结论解决问题：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以AB，BC，CD，AD为一边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．

20.（2024武汉光谷实验中学开学考试) 如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点的坐标为(－2，1)，B点的坐标为(－1，2)．

(1)请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？(直接写答案)

(2)作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁；请直接写出A₁，B₁，C₁三点的坐标．

(3)在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．

21．如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图象经过点(1，2)，把此正比例函数的图象向上平移6个单位长度，得到直线l₁.已知直线l₁与x轴交于点A，与y轴交于点B.

(1)求直线l₁的表达式，并直接写出A，B两点的坐标；

(2)求原点O到直线l₁的距离；

(3)点C(－2，n)是直线l₁上一点，直线l₂：y＝mx＋3－2m(m≠0)与线段AC有公共点，直接写出m的最小值．

22．小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：

(1)小明家到学校的距离是________米；小明在书店停留了________分钟；

(2)如果骑车的速度超过了300米/分钟就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由；

(3)请直接写出小明出发后多长时间离家的距离为900米？

23. （新视角 存在性探究题） 综合与探究

如图①，平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB＝OC.点E是线段AB上的动点，过点E作x轴的垂线交直线BC于点F.设点E的横坐标为m.

(1)求点A，B的坐标；

(2)如果m＝2，求△BEF的面积；

(3)在(2)的条件下，如图②，连接CE，直线EF上是否存在点P，使△CEP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

一、1.D　2.C　3.A　4.D　5.B　6.B

7．C　点拨：由题知，A(0，6)，B(30，12)，

当0≤x≤50时，设y＝kx＋b(k≠0)．

将点A(0，6)，B(30，12)的坐标代入得，

解得

所以y＝0.2x＋6(0≤x≤50)．

将x＝50代入得y＝0.2×50＋6＝16.

所以娃娃菜幼苗的高度最高为16 cm.

8．A　9.A

10．A　点拨：①由图象可知，劣马从第0日出发，良马从第12日出发．劣马比良马早出发12日，该说法正确；②由图象可知，当t＝32时，两直线有交点，代表良马追上劣马，此时良马出发32－12＝20(天)，该说法错误；③良马行走4 800里用了20日，故速度为240里/日，劣马行走4 800里用了32日，故速度为150里/日．由此可知，良马的速度比劣马的速度快240－150＝90(里/日)，该说法正确．

二、11.是　点拨：因为AC＝15米，AD＝13米，AB＝12米，BC＝9米，BD＝5米，

所以AB²＋BD²＝12²＋5²＝169，AD²＝169，AB²＋BC²＝12²＋9²＝225，AC²＝225.

所以AB²＋BD²＝AD²，AB²＋BC²＝AC².

所以∠ABC＝∠ABD＝90°.

所以电线杆AB和BC，BD都垂直．

12．m＜2

13.＋1　点拨：由勾股定理可得，AD＝＝，则AP＝AD＝.

因为点A表示的数是1，所以P点所表示的数为＋1.

14．7　点拨：因为点A的坐标为(n＋3，3)，点B的坐标为(n－4，n)，AB∥x轴，

所以3＝n.所以n＋3＝6，n－4＝－1.所以点A的坐标为(6，3)，点B的坐标为(－1，3)．

所以AB＝6－(－1)＝6＋1＝7.

15．±　点拨：因为与同时成立，

所以x²－4＝0，即x＝±2.

又因为x－2≠0，所以x＝－2.所以y＝＝－.

所以4y－3x＝－1－(－6)＝5，

故4y－3x的平方根是±.

16．2　点拨：如图，由y₁＝x，y₂＝2x＋3求得交点A的坐标为(－3，－3)．

由y₁＝x，y₃＝－x＋4求得交点B的坐标为(2，2)．

由y₂＝2x＋3，y₃＝－x＋4求得交点C的坐标为，

则由一次函数的性质结合函数图象可知y最大值为2.

三、17.解：(1)原式＝－4＋0.1＋4－＝0.1－.

(2)原式＝a÷×＝.

18．解：(1)因为4a＋7的立方根是3，2a＋2b＋2的算术平方根是4，

所以4a＋7＝27，2a＋2b＋2＝16.

所以a＝5，b＝2.

(2)由(1)知a＝5，b＝2，

所以6a＋3b＝6×5＋3×2＝36.

所以6a＋3b的平方根为±6.

19．解：(1)a²＋b²＝c²

验证：因为阴影部分的面积＝4×ab＝2ab，

阴影部分的面积＝S_大正方形－S_小正方形＝(a＋b)²－c²，

所以(a＋b)²－c²＝2ab，即a²＋b²＝c².

(2)连接AC.

因为∠ABC＝∠ADC＝90°，

所以AB²＋BC²＝AC²，AD²＋CD²＝AC².

又因为S_甲＝AB²，S_乙＝BC²，S_丙＝CD²，S_丁＝AD²，

所以S_甲＋S_乙＝S_丙＋S_丁．

又因为甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，

所以30＋16＝17＋S_丁．所以S_丁＝29.

20．解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．△ABC与△A′B′C′关于y轴对称．

(2)如图，△A₁B₁C₁即为所求，A₁(－2，－1)，B₁(－1，－2)，C₁(－3，－3)．

(3)如图，点M即为所求．M(－1，0)．

21．解：(1)设正比例函数的表达式为y＝kx.

因为正比例函数的图象经过点(1，2)，

所以k＝2.

所以正比例函数的表达式为y＝2x.

所以直线l的表达式为y＝2x＋6.

所以A(－3，0)，B(0，6)．

(2)过点O作OM⊥l₁于点M，

则易得×3×6＝××OM，

所以OM＝.

所以原点O到直线l的距离为.

(3)m的最小值为.

22．解：(1)1 500；4

(2)不在安全限度内．理由：由图象可知：12～14分钟时，平均速度为＝450(米/分钟)．　

因为450＞300，所以小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度不在安全限度内．

(3)小明出发4.5分钟或7分钟或12分钟时离家的距离为900米．

点拨：从图象上看，小明出发后离家距离为900米时，一共有三个时间：

①在0～6分钟内，平均速度为＝200(米/分钟)，

距家900米的时间为900÷200＝4.5(分钟)；

②在6～8分钟内，平均速度为＝300(米/分钟)，

设距家900米的时间为t₂分钟，则有1 200－300(t₂－6)＝900，

解得t₂＝7；

③在12～14分钟内，平均速度为450米/分钟，

设距家900米的时间为t₃分钟，则600＋450(t₃－12)＝900，

解得t₃＝12.

综上所述，小明出发4.5分钟或7分钟或12分钟时离家的距离900米．

23．解：(1)当x＝0时，y＝－×0＋2＝2，即B(0，2)；

当y＝0时，0＝－x＋2，解得x＝4，

所以A(4，0)．

(2)因为OB＝OC，B(0，2)，

所以C(－2，0)．

设直线BC的表达式为y＝kx＋b，

将点B(0，2)，C(－2，0)的坐标代入得

解得

所以直线BC的表达式为y＝x＋2.

当m＝2时，在y＝－x＋2中，y＝－×2＋2＝1，

所以E(2，1)；

当m＝2时，在y＝x＋2中，y＝2＋2＝4，所以F(2，4)．

所以S_△BEF＝×(4－1)×2＝3.

(3)存在．点P的坐标为(2，－1)，，(2，1＋)或(2，1－)．