期中综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·宿迁]已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是(　　)

A.89 B.94 C.95 D.98

2.下列约分正确的是(　　)

A. ＝x³ B. ＝0 C. ＝ D. ＝

3.[母题教材P49例]某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分、9分、7分，若将这三项得分按5∶3∶2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为(　　)

A.8分 B.8.1分 C.8.2分 D.8.3分

4.[2024·日照期中]多项式x²y－4y，x²y－2xy，x²y－4xy＋4y的公因式是(　　)

A. y(x＋2) B. y(x－4) C. y(x－2)² D. y(x－2)

5.[2023·益阳]下列因式分解正确的是(　　　)

A.2a²－4a＋2＝2(a－1)² B. a²＋ab＋a＝a(a＋b)

C.4a²－b²＝(4a＋b)(4a－b) D. a³b－ab³＝ab(a－b)²

6.[2023·济宁]为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示.对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是(　　)

A.中位数是5

B.众数是5

C.平均数是5.2

D.方差是2

7.[2024·济南济阳区二模]若a＋b＝2，则代数式 ÷ 的值为(　　)

A. B.－ C.2 D.－2

8.[新考向数学文化]《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文能买椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　)

A. ＝3x B.3(x－1)＝6210

C.3(x－1)＝ D.3(x－1)＝

9.[2023·淄博张店区月考]对于任意整数m，多项式(2m＋3)²－25都能被下列各式中的哪一个整除(　　)

A.4 B.6 C. m＋1 D. m－4

10.[新视角新定义题]对于a，b定义：a★b＝ ，已知分式方程x★(－1)＝ 的解满足不等式(2－a)x－3＞0，则a的取值范围为(　　)

A. a＜1 B. a＞1

C. a＜3 D. a＞3

二、填空题(每题3分，共18分)

11.[2023·北京]若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　　　　.

12.[2023嘉兴新视角结论开放题]一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：　　　　.

13.[2024·淄博张店区期中]为迎接即将举办的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛.如图是他们6次的测试成绩的折线统计图，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选　　　　.(填“小洋”或“小亮”)

14.[2024·德州德城区期末]若a²－2a－1＝0，则a⁴－2a³－2a＋1＝　　　　.

15.在某校组织的“共享好书伴你成长”活动中，八年级(1)班第一小组的5名同学所分享的好书册数分别是7，3，x，6，4.已知这组数据的中位数是5，则这组数据的方差是　　　　.

16.[新考法分类讨论法]若关于x的方程 － ＝ 有增根，则实数m的值为　　　　.

三、解答题(共72分)

17.(6分)分解因式：

(1)(x－1)(x＋4)＋4x－7x；

(2)mn＋3m－6n－18.

18.(6分)[新考法过程辨析法]以下是某同学化简 ÷ 的部分运算过程.

解：原式＝ ÷a－ ÷ …………第一步

＝ · － · …………第二步

＝ － …………第三步

……

(1)上面的运算过程中第　　　　步开始出现了错误；

(2)请你写出正确的解答过程.

19.(8分)下面是某同学对多项式(a²－2a－1)(a²－2a＋3)＋4进行因式分解的过程.

解：设a²－2a＝b，

原式＝(b－1)(b＋3)＋4(第一步)

＝b²＋2b＋1(第二步)

＝(b＋1)²(第三步)

＝(a²－2a＋1)²(第四步).

(1)该同学因式分解的结果是否彻底？　　　　(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：　　　　.

(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(a²－6a－1)(a²－6a＋19)＋100进行因式分解.

20.(8分)[2023·天津]为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄(单位：岁).根据调查的结果，绘制出如图①、②所示的统计图.

请根据相关信息，解答下列问题：

(1)填空：a的值为　　　　，图①中m的值为　　　　；

(2)求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数.

21.(10分)已知关于x的分式方程 ＋ ＝1.

(1)当a＝5时，求该方程的解；

(2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值.

22.(10分)[新考法作差法]现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图①所示(1＜a＜2).某同学用这些卡片拼出了两个不同的长方形(不重叠无缝隙)，如图②和图③所示，其面积分别为S₁，S₂.

(1)请用含a的式子分别表示S₁，S₂；

(2)比较S₁与S₂的大小，并说明理由.

23.(12分)[情境题方案策略型]某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.

(1)求每台A型机器、B型机器每天分别搬运货物多少吨；

(2)每台A型机器的售价为1.5万元，每台B型机器的售价为2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，采购金额不超过55万元，请帮助该公司求出最省钱的采购方案.

24.(12分)[2023·重庆]为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间(单位：分钟)，并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80)，下面给出了部分信息：

A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是60，64，67，69，71，71，72，72，72，82.

B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是70，71，72，72，73.

两款智能玩具飞机运行最长时间统计表

	A	B
平均数	70分钟	70分钟
中位数	71分钟	b分钟
众数	a分钟	67分钟
方差	30.4	26.6

B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中a＝　　　　，b＝　　　　，m＝　　　　.

(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由(写出一条理由即可).

(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计该仓库中两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

答案及点拨

一、1. C　2. C　3. B　4. D　5. A　6. D

7. D　【点拨】原式＝ ÷ ＝－ · ＝－(a＋b).

当a＋b＝2时，原式＝－2.

8. C

9. A　【点拨】(2m＋3)²－25＝(2m＋3＋5)(2m＋3－5)＝(2m＋8)(2m－2)＝4(m＋4)(m－1)，

∴对于任意整数m，多项式(2m＋3)²－25都能被4整除.

10. D　【点拨】∵a★b＝ ，

∴x★(－1)＝ ＝ ，

∴原方程为 ＝ ，解得x＝－3，

经检验，x＝－3是原分式方程的解.

把x＝－3代入(2－a)x－3＞0，

得－3(2－a)－3＞0，解得a＞3.

二、11. x≠2　12. x²－1(答案不唯一)

13.小亮

14.2　【点拨】∵a²－2a－1＝0，

∴a⁴－2a³－2a＋1

＝a⁴－2a³－a²＋a²－2a－1＋1＋1

＝a²(a²－2a－1)＋(a²－2a－1)＋2

＝0＋0＋2

＝2.

15.2　【点拨】∵数据7，3，x，6，4的中位数是5，

∴x＝5，

∴这组数据的平均数为 ＝5，

∴这组数据的方差为 ×[(3－5)²＋(4－5)²＋(5－5)²＋(6－5)²＋(7－5)²]＝2.

16.－ 或－2　【点拨】原方程去分母，得2mx－(m＋1)＝x＋1.

∵关于x的方程 － ＝ 有增根，

∴增根为x＝－1或x＝0.

将x＝－1代入2mx－(m＋1)＝x＋1，

得－2m－(m＋1)＝0，解得m＝－ ；

将x＝0代入2mx－(m＋1)＝x＋1，

得－(m＋1)＝1，解得m＝－2.

∴m的值为－ 或－2.

三、17.【解】(1)原式＝x²＋3x－4＋4x－7x

＝x²－4

＝(x＋2)(x－2).

(2)原式＝(mn＋3m)－(6n＋18)

＝m(n＋3)－6(n＋3)

＝(n＋3)(m－6).

18.【解】(1)一

(2)原式＝ ÷

＝ ÷

＝ ÷

＝ ·

＝ .

19.【解】(1)不彻底；(a－1)⁴

(2)设b＝a²－6a，

原式＝(b－1)(b＋19)＋100

＝b²＋18b＋81

＝(b＋9)²

＝(a²－6a＋9)²

＝(a－3)⁴.

20.【解】(1)40；15

(2)∵ ＝14，

∴这组数据的平均数是14.

∵在这组数据中，15出现了16次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是15.

∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是14， ＝14，∴这组数据的中位数是14.

21.【解】(1)当a＝5时，分式方程为 ＋ ＝1，

解得x＝3.检验：当x＝3时，x－1≠0，

∴x＝3是原方程的解.

(2) ＋ ＝1，整理，得x＝a－2.

∵方程的解是增根，

∴方程的解为x＝1，∴a－2＝1，解得a＝3.

22.【解】(1)S₁＝a²＋2×1·a＋1²＝a²＋2a＋1，

S₂＝4×1·a＋1²＝4a＋1.

(2)S₁＜S₂.理由如下：

S₁－S₂＝a²＋2a＋1－(4a＋1)＝a²＋2a＋1－4a－1＝a²－2a＝a(a－2).

∵1＜a＜2，∴a＞0，a－2＜0，

∴a(a－2)＜0，∴S₁－S₂＜0，∴S₁＜S₂.

23.【解】(1)设每台B型机器每天搬运货物x吨，则每台A型机器每天搬运货物(x－10)吨，

由题意，得 ＝ ，解得x＝100.

经检验，x＝100是分式方程的解，且符合题意，

则x－10＝100－10＝90.

答：每台A型机器、B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨.

(2)设该公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器(30－m)台，

由题意，得

解得10≤m≤12.

设该公司采购金额为w元，

则w＝1.5m＋2(30－m)＝－0.5m＋60.

∵－0.5＜0，∴w随m的增大而减小，

∴当m＝12时，w取得最小值，此时30－m＝18.

答：购买A型机器12台，B型机器18台最省钱.

24.【解】(1)72；70.5；10

(2)B款智能玩具飞机运行性能更好.因为B款智能玩具飞机运行最长时间的方差比A款智能玩具飞机运行最长时间的方差小，所以运行最长时间比较稳定.(答案不唯一)

(3)200架A款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架数大约为200× ＝120，

120架B款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的架数大约为120×(1－40％)＝72，120＋72＝192.

答：该仓库中两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架.