期末综合素质评价

八年级数学 上(R版)　　时间：90分钟　满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1. 以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四个字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察(个别细微之处的细节可以忽略不计)，其中大致是轴对称图形的是(　　)

2．下列计算正确的是(　　)

A．a³·(－a)²＝a⁶ B．－a²·a³＝a⁵ C．(－a²)³＝－a⁶ D．(－a³)²＝a⁵

3．杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1 cm³甲醇的质量约为0.000 79 kg，将0.000 79用科学记数法表示应为(　　)

A．79×10^－4 B．7.9×10^－4 C．79×10^－5 D．0.79×10^－3

4．如图，点E，C，F，B在一条直线上，AB∥ED，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)

A．AC∥DF B．AB＝DE C．EC＝BF D．AC＝DF

(第4题)　　 (第6题)

5．有四根细木棒，长度分别为3 cm，5 cm，7 cm，9 cm，从中任取三根拼成三角形，则所拼得的三角形的周长不可能是(　　)

A．21 cm B．17 cm C．19 cm D．15 cm

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，在BC的延长线上取点E，连接AE，已知∠BAD＝32°，∠BAE＝84°，则∠CAE为(　　)

A．20° B．32° C．38° D．42°

　 (第7题)　　 (第9题)

7.（2023北京西城区月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(3，b)(b>0)，AC⊥AB且AC＝AB，则点C的横坐标为(　　)

A．－b－1 B．1－b C．b－2 D．2－b

8．把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，分式的值将(　　)

A．不变 B．扩大为原来的2倍

C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍

9．如图所示的是一把六角尺示意图，它能提供常用的几种测量角度．图中x的值为(　　)

A．135 B．120 C．112.5 D．112

10.（2023北京西城区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α.点P在边BC上(点P不与点B，点C重合)，作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP.若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是(　　)

A．∠DEF＝2x－3α B．∠DEF＝2α

C．∠DEF＝2α－x D．∠DEF＝180°－3α

(第10题)　　 (第11题)

二、填空题(每题3分，共18分)

11．如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠DFA的度数为________．

12．若分式的值为0，则x＝________．

13.（2023成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(5，－1)关于y轴对称的点的坐标是________．

14.（2024北京东城区月考)某“数学乐园”展厅的wifi密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是______________．

(第14题)　　 (第15题)

15.（2024宁波奉化区期末)如图，∠AOB＝22°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋PQ＋QN最小时，则α与β的数量关系为________．

16. 我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形，已知△ABC与△DEF是一对面积都等于S的偏等积三角形，且AB＝AC＝DE＝DF，BC＝a，那么EF的长等于________ (结果用含a和S的代数式表示)．

三、解答题(共8小题，满分72分)

17．(7分)(1)计算：(－3)²－(π－2 024)⁰＋＋|－2|.

(2)解方程：＝－.

18.（2024陕西师大附中模拟) (7分)先化简，再求值：÷，再从0，1，2三个数中，选择一个你认为合适的数作为x值代入求值．

19．(7分)如图，在△ABC中，点M，N分别是AB和AC上的点，MN∥BC，且BC＝2MN，点E是CN的中点，连接ME并延长交BC的延长线于点D，若CD＝4，求BC的长．

20．(9分)（2024无锡滨湖区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角．

根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母．(保留作图痕迹，不要求写出作法)

(1)作∠DAC的平分线AM；

(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC交于点E，连接AE，CF；

(3)若∠BAE＝36°，求∠B的度数．

21．(9分)“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，我市正如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图，某小区内有一块长为(3a－b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为(a＋b)米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．

(1)求绿化部分的面积(用含a，b的代数式表示)；

(2)当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．

22．(9分)（2024驻马店期末)为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境，某学校准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18 000元购买A种垃圾桶的组数是用13 500元购买B种垃圾桶的组数的2倍．

(1)求A，B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元．

(2)该学校计划用不超过8 000元的资金购买A，B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？

23．(11分)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为AB的中点，D为线段AM上的动点(不与点A，点M重合)，过点D作DE⊥AB，且DE＝DM，连接CM.

(1)如图①，当点E在线段AC上时，直接写出线段AD与线段DM的数量关系；

(2)当DE位于图②所示的位置时，连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F.用等式表示线段BF与DE的数量关系，并证明．

24．(13分)已知，△ABC中，∠A＋2∠B＝180°.

(1)如图①，求证：AB＝AC；

(2)如图②，D是△ABC外一点，连接AD，BD，且AB＝AD，作∠CAD的平分线交BD于点E，若∠BAC＝60°，则∠AED＝________；

(3)如图③，在(2)的条件下，连接CD交AE于点F，若AF＝2，BE＝3，求DE的长．

答案

一、1.D　2.C　3.B　4.A　5.B　6.A　7.D

8．B　点拨：分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则原分式变形为＝＝2·，所以把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，分式的值将扩大2倍．

9．C　10.B

二、11.70°　12.－3　13.(－5，－1)　14.2 024

15．β－α＝44°

16.　点拨：如图，AB＝AC＝DE＝DF，过C作CM⊥AB于M，过F作FN⊥ED交ED的延长线于N，延长BA到K，使AK＝AB，连接CK.

∵△ABC的面积＝AB·CM＝S，△DEF的面积＝DE·FN＝S，

∴CM＝FN.

又∵AC＝DF，

∴Rt△AMC≌Rt△DNF(HL)．

∴∠MAC＝∠NDF.

∴∠CAK＝∠EDF.

又∵AK＝AB＝AC＝DE＝DF，

∴△ACK≌△DFE(SAS)．

∴EF＝CK，易得△KBC的面积＝2S.

∵AK＝AC＝AB，

∴∠ABC＝∠ACB，∠K＝∠ACK.

∴∠ACB＋∠ACK＝∠ABC＋∠K＝×180°＝90°.

即∠BCK＝90°.∴△KBC的面积＝BC·CK＝2S.

∵BC＝a，∴CK＝.

∴EF＝.

三、17.解：(1)原式＝9－1＋2＋2＝12.

(2)－＝－，

－3(x＋2)＝3(x＋2)－(6－x)，解得x＝－，

检验：当x＝－时，3(x－2)(x＋2)≠0，

∴原方程的解是x＝－.

18．解：原式＝·

＝·

＝·

＝，

∵x≠0，x－4≠0，x－2≠0，

∴x≠0和4和2.

∴x取1.

∴原式＝＝1.

19．解：∵MN∥BC，∴∠NME＝∠D.

∵点E是CN的中点，∴EN＝EC.

在△EMN和△EDC中，

∴△EMN≌△EDC(AAS)．∴MN＝CD＝4.

∴BC＝2MN＝2×4＝8.

20．解：(1)如图，AM即为所作．

(2)如图所示．

(3)∵AB＝AC，∴∠B＝∠3.

∵AM平分∠DAC，∴∠1＝∠2.

∵∠DAC＝∠B＋∠3，

∴易得∠B＝∠2＝∠3＝∠1.

∵EF垂直平分AC，

∴EA＝EC.∴∠3＝∠EAC.

∵∠1＋∠2＋∠EAC＋∠BAE＝180°，∠BAE＝36°，

∴∠1＝×(180°－36°)＝48°.

∴∠B＝48°.

21．解：(1)依题意，得(3a－b)(2a＋b)－(a＋b)²＝6a²＋3ab－2ab－b²－a²－2ab－b²＝5a²－ab－2b².

∴绿化部分的面积是(5a²－ab－2b²)平方米．

(2)当a＝3，b＝1时，

5a²－ab－2b²＝5×3²－3×1－2×1²＝45－3－2＝40.

∴绿化部分的面积是40平方米．

22．解：(1)设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为(x＋150)元，

依题意，得＝×2，

解得x＝300，

经检验，x ＝300是原方程的解，且符合题意，

∴x＋150＝300＋150＝450.

∴A种垃圾桶每组的单价是300元，B种垃圾桶每组的单价是450元．

(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶(20－y)组，

依题意，得300(20－y)＋450y≤8 000，

解得y≤.

又∵y为正整数，

∴y的最大值为13.

答：最多可以购买B种垃圾桶13组．

23．解：(1)AD＝DM　点拨：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°.

∵DE⊥AB，∴易得∠AED＝∠A＝45°.

∴DE＝AD.

又∵DE＝DM，∴AD＝DM.

(2)BF＝2DE.

证明：如图，连接EA，EM.

∵DE＝DM，DE⊥AB，

∴△EDM是等腰直角三角形．

∴∠EMA＝45°.

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为AB的中点，

∴∠CMA＝90°，AM＝CM＝AB.

∴易得∠EMC＝45°.

在△EMA和△EMC中，

∴△EMA≌△EMC.

∴∠EAM＝∠ECM.

∵在四边形CEFM中，EF⊥CE，∠CMA＝90°，

∴∠EFM＋∠ECM＝360°－(∠CEF＋∠CMF)＝180°.

又∵∠EFA＋∠EFM＝180°，

∴∠EFA＝∠ECM.

∴∠EAM＝∠EFA.∴EA＝EF.

又∵DE⊥AF，∴D为AF的中点．

∴AF＝2AD.

∴BF＝AB－AF＝2AM－2AD＝2DM＝2DE，即BF＝2DE.

24．(1)证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋2∠B＝180°，

∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.

(2)60°　点拨：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形．

∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°.

设∠ABD＝x，则易知∠D＝∠ABD＝x，

在四边形ACBD中，

∵∠C＋∠DBC＋∠D＋∠DAC＝360°，

∴60°＋60°＋x＋x＋∠DAC＝360°.

∴∠DAC＝240°－2x.

∵∠CAD的平分线交BD于点E，

∴∠EAD＝∠DAC＝120°－x.

∵∠D＋∠AED＋∠EAD＝180°，

即x＋∠AED＋120°－x＝180°，

∴∠AED＝60°.

(3)解：如图，作AM⊥BD于点M，

∵AB＝AD，∴MD＝MB.

∵AB＝AD，AB＝AC，∴AD＝AC.

又∵AE平分∠CAD，∴AE⊥CD.

∴∠DFE＝90°.

由(2)得∠AED＝60°，

∴∠EDF＝90°－∠AED＝30°.

∴EF＝DE.

∵AM⊥BD，∴∠AME＝90°.

∴∠MAE＝90°－∠AED＝30°.

∴AE＝2ME.

设ME＝y，则AE＝2y，

∵BE＝3，

∴MD＝MB＝y＋3.

∴DE＝MD＋ME＝2y＋3.

∴EF＝.

∵AF＝2，

∴AE＝EF＋AF＝＋2.

∴＋2＝2y，解得2y＝7.

∴DE＝2y＋3＝10.