期末综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[情境题航空航天]搭载神舟十八号载人飞船的运载火箭于2024年4月25日成功发射升空，3名航天员开启了“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度.下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是(　　)

A　　　　　　 B　　　　　　C　　　　　　 D

2.[2023·娄底]一个小组7名同学的身高(单位：cm)分别为：175，160，158，155，168，151，170.这组数据的中位数是(　　)

A.151cm B.155cm C.158cm D.160cm

3.[母题教材P4习题T2]下列式子从左到右的变形是因式分解的是(　　)

A. a²＋4a－21＝a(a＋4)－21 B. a²＋4a－21＝(a－3)(a＋7)

C.(a－3)(a＋7)＝a²＋4a－21 D. a²＋4a－21＝(a＋2)²－25

4.如图，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，若AD＝5，∠B＝70°，则(　　)

(第4题)

A. FG＝5，∠G＝70° B. EH＝5，∠F＝70°

C. EF＝5，∠F＝70° D. EF＝5，∠E＝70°

5.[2024·济南历下区期末]计算 － 的结果是(　　)

A. a＋2 B. a－2 C. D.

6.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处.若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为(　　)

(第6题)

A.108° B.109° C.110° D.111°

7.[2023·滨州]在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩(环)如下表所示：

靶次	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次	第6次	第7次	第8次	第9次	第10次
成绩/环	8	9	9	10	10	7	8	9	10	10

则小明射击成绩的众数和方差分别为(　　)

A.10环和0.1 B.9环和0.1

C.10环和1 D.9环和1

8.近年来，某市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10km的普通道路，路线b包含快速通道，全程7km，走路线b比路线a平均速度提高40％，时间节省了10min，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为xkm/h，依题意，可列方程为(　　)

A. － ＝ B. － ＝10

C. － ＝ D. － ＝10

9.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D在BC上，且BD∶CD＝1∶3.连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE，则△BDE的面积是(　　)

(第9题)

A. B. C. D.

10. 如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A₁B₁C₁，再以△AB₁C₁各边的中点为顶点作△A₂B₂C₂……如此下去，则△A_nB_nC_n的周长为(　　)

(第10题)

A. a B. a C. a D. a

二、填空题(每题3分，共18分)

11.[母题教材P45复习题T6]若分式 有意义，则x应满足的条件是　　　　.

12.[2024·潍坊潍城区期末]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F都在AC上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是　　　　(写出一个即可).

(第12题)

13.已知ab＝2，a－b＝3，则代数式2a³b－4a²b²＋2ab³＝　　　　.

14.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩(单位：秒)如下表：

运动员	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次	第6次
甲	12.3	12.1	11.8	12.0	11.7	12.1
乙	12.0	12.0	12.2	11.8	12.1	11.9

由于甲、乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是　　　　.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，2)，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为　　　　.

16.[2023·重庆]若关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 ＋ ＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　　　　.

三、解答题(共72分)

17.(6分)分解因式：

(1)x³－x； (2)2a²－4a＋2；

(3)m⁴－2m²＋1.

18.(6分)(1)化简： ÷ ；

(2)先化简，再求值： ÷ ，其中a＝3.

19.(8分)如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：

(1)△DOF≌△BOE；

(2)DE＝BF.

20.(8分)[2024·济南钢城区期末]在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上).

(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标；

(2)若(1)中的把△A₁B₁C₁向上平移4个单位长度得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂；

(3)若(2)中的△A₂B₂C₂与△ABC成中心对称，则对称中心的坐标为　　　　.

21.(10分)[新考向传统文化] “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30％，求每套B型号的“文房四宝”的价格.

(1)某学习小组用表格的形式对本问题中的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整；

	总价/元	单价/(元/套)	购买套数
A型
B型	3000	x

(2)请你完整解答本题.

22.(10分)[2024·青岛莱西市期末]近年来，网约车给人们的出行带来了便利，为了解网约车司机的收入情况，小飞和数学兴趣小组的同学从甲、乙两家网约车公司分别随机抽取10名司机的月收入进行统计，并整理成如图所示的统计图.

根据以上信息，整理分析数据如表：

	平均数/千元	中位数/千元	众数/千元	方差
甲公司	a	6	b	1.2
乙公司	6	c	4	d

(1)表中a＝　　　　，b＝　　　　，c＝　　　　，d＝　　　　.

(2)小飞的叔叔决定从两家公司中选择一家入职做网约车司机，如果你是小飞，你建议他选哪家公司？请简述理由.

23.(12分)如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，连接EB并延长至点F，使BF＝BE，连接EC并延长至点G，使CG＝CE，连接FG，点H为FG的中点，连接DH，AF.

(1)若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；

(2)求证：四边形AFHD为平行四边形；

(3)连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：OE＝ BC.

24.(12分)[新视角条件探究题] (1)如图①，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD.

①旋转角的度数为　　　　；

②线段OD的长为　　　　；

③求∠BDC的度数.

(2)如图②，O是等腰直角三角形ABC(∠ABC＝90°)内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD，当OA，OB，OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明.

答案及点拨

一、1. C　2. D　3. B　4. B　5. B

6. C　【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠1＝56°.

根据折叠可知∠ABD＝∠EBD，

∴∠ABD＝ ∠ABE＝ ×56°＝28°.

又∵∠2＝42°，

∴∠A＝180°－∠ABD－∠2＝110°.

7. C

8. A　【点拨】∵走路线b的平均速度比走路线a提高了40％，且走路线a的平均速度为xkm/h，

∴走路线b的平均速度为(1＋40％)xkm/h.

根据题意，得 － ＝ .

9. B　【点拨】∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴∠EAB＋∠BAD＝90°.

∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠C＝∠ABC＝45°，

∴∠EAB＝∠DAC，

∴△EAB≌△DAC(SAS)，

∴∠ABE＝∠C＝45°，CD＝BE，

∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝90°.

∵BC＝2，BD∶CD＝1∶3，

∴BD＝ ，BE＝CD＝ ，

∴S_△BDE＝ BD·BE＝ × × ＝ .

10. A　【点拨】∵点A₁，B₁，C₁分别为BC，AC，AB的中点，

∴B₁C₁＝ BC，A₁C₁＝ AC，A₁B₁＝ AB，

∴△A₁B₁C₁的周长＝ a，

同理，△A₂B₂C₂的周长＝ a＝ a，….

∴△A_nB_nC_n的周长＝ a.

二、11. x≠±1　12. OE＝OF(答案不唯一)

13.36　【点拨】2a³b－4a²b²＋2ab³＝2ab(a²－2ab＋b²)＝2ab(a－b)²，

把ab＝2，a－b＝3代入原式，

则原式＝2×2×3²＝4×9＝36.

14.乙

15. 　【点拨】如图，作CH⊥x轴于点H.

∵A(3，0)，B(0，2)，

∴OA＝3，OB＝2.

∵∠BAC＝∠AHC＝90°，

∴∠BAO＋∠HAC＝90°，

∠HAC＋∠ACH＝90°，

∴∠BAO＝∠ACH.

∵AB＝AC，∠AOB＝∠CHA＝90°.

∴△ABO≌△CAH(AAS)，

∴AH＝OB＝2，CH＝OA＝3，

∴OH＝OA＋AH＝3＋2＝5，

∴OC＝ ＝ ＝ .

16.4　【点拨】

解不等式①，得x≤5，解不等式②，得x≥1＋ .

∵不等式组至少有2个整数解，

∴不等式组的解集为1＋ ≤x≤5，

且1＋ ≤4，解得a≤6.

解分式方程 ＋ ＝2，得y＝ .

∵分式方程的解为非负整数，∴ 为不等于2的非负整数.综上，a可以取1，3，∴1＋3＝4.

三、17.【解】(1)x³－x＝x(x²－1)＝x(x＋1)(x－1).

(2)2a²－4a＋2＝2(a²－2a＋1)＝2(a－1)².

(3)m⁴－2m²＋1＝(m²－1)²＝(m＋1)²(m－1)².

18.【解】(1)原式＝ ·

＝ ·

＝2.

(2)原式＝ ÷

＝ ·

＝ ，

当a＝3时，原式＝ ＝ .

19.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，

∴AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(ASA).

(2)∵△BOE≌△DOF，∴EO＝FO.

又∵OB＝OD，

∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE＝BF.

20.【解】(1)如图，△A₁B₁C₁为所求作的三角形，

A₁(3，0)，B₁(5，－3)，C₁(1，－1).

(2)如图，△A₂B₂C₂为所求作的三角形.

(3)(0，2)

21.【解】(1)1 300；1.3x；

(2)由题意，得 ＋ ＝40，解得x＝100，

经检验，x＝100是原方程的解，

∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元.

22.【解】(1)6；6；4.5；7.6

(2)选甲公司，理由如下：

虽然两家公司的司机月收入的平均数一样，但是甲公司的司机月收入的中位数、众数大于乙公司，且甲公司的司机月收入的方差小，更稳定.

23.(1)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠BCD＝∠BAE＝70°.

∴∠DEC＝∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝70°－20°＝50°.

(2)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，

∴BC∥FG，BC＝ FG，∴AD∥FH.

∵H为FG的中点，∴FH＝ FG，

∴BC＝FH，∴AD＝FH，

∴四边形AFHD是平行四边形.

(3)【证明】连接BH，CH.

∵CE＝CG，FH＝HG，

∴CH是△EGF的中位线.

∴CH＝ EF，CH∥EF.

∵EB＝BF＝ EF，∴BE＝CH，

∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH.

又∵OC＝OH，∴OE＝ BC.

24.【解】(1)①60°　②4

③∵△BCD是由△BAO绕点B顺时针旋转后得到的，

∴CD＝AO＝3，BO＝BD＝4，∠BOD＝60°，

∴△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，OD＝OB＝4.

在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5.

∵3²＋4²＝5²，∴CD²＋OD²＝OC².

∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°.

∴∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝60°＋90°＝150°.

(2)当OA²＋2OB²＝OC²时，∠ODC＝90°.

证明：∵△BCD是由△BAO绕点B顺时针旋转后得到的，

∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO.

∴△OBD为等腰直角三角形.∴OD＝ OB.

∵当CD²＋OD²＝OC²时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA²＋2OB²＝OC².

∴当OA，OB，OC满足OA²＋2OB²＝OC²时，∠ODC＝90°.