期末综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共36分)

1．[2022·淄博]下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

A B C D

2．下列计算正确的是(　　)

A. ＋ ＝ B. × ＝6

C. － ＝ D. ÷ ＝4

3．[母题教材P3练习T1] 要使分式 有意义，则x的取值范围是(　　)

A. x＜1 B. x＞1 C. x≠1 D. x≠－1

4．[2023·盐城]小华将一副三角板(∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°)按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为(　　)

(第4题)

A.45° B.60° C.75° D.105°

5．若a，b均为正整数，且a＞ ，b＜ ，则a＋b的最小值是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

6．[母题教材P20练习T1] 分式方程 ＝ 的解是(　　)

A. x＝2 B. x＝1 C. x＝ D. x＝－2

7．[2022·荆门]数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(　　)

(第7题)

A.20 B.60 C.30 D.30

8．下列命题：①两个周长相等的三角形是全等三角形；②两个周长相等的直角三角形是全等三角形；③两个周长相等的等腰三角形是全等三角形；④两个周长相等的等边三角形是全等三角形.其中，真命题有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

9．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，三条角平分线将△ABC分为三个小三角形，则S_△ABO∶S_△BCO∶S_△CAO等于(　　)

(第9题)

A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5

10．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长度为(　　)

(第10题)

A. B.2 C.3 D.4

11．[新考法等积法] 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于(　　)

(第11题)

A. B. C. D.

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，已知BD＝DE，若

△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为(　　)

(第12题)

A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm

二、填空题(每题3分，共12分)

13．[母题教材P99做一做] 计算 ＋10 的结果为　　　　.

14．[母题教材P34练习T1] 命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是　　　　；

逆命题是　　　　(填“真命题”或“假命题”).

15．如图，点A，B，C分别在边长为1的正方形网格图顶点处，则∠ABC＝　　　　.

(第15题)

16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠DAB＝30°，且BC＝CD＝DB，则AC的长为　　　　.

(第16题)

三、解答题(第17～22题每题10分，第23题12分，共72分)

17．[2024·邯郸永年区期末]已知a＝ ，b＝ .

(1)求a＋b的值；

(2)求a²－3ab＋b²

18．[母题教材P16做一做] 先化简，再求值： ÷ ，其中x＝ .

19．[母题教材P160练习T2] 如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE＝CD.求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，分别延长AE，BC交于点F.求证：

(1)AD＝FC；

(2)AB＝BC＋AD.

21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.

22．[2024·石家庄第八十九中学期末]为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工.经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的1.5倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天.

(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？

(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲、乙两队合

作清淤.已知甲队施工一天的费用为3.2万元，乙队施工一天的费用为2.8万元，求完成该条河道清淤施工的总费用.

23．课外兴趣小组活动时，老师出示了如下问题：如图①，已知在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补.求证：AB＋AD＝ AC.

小敏反复探索，不得其解.她想，可先将四边形ABCD特殊化，再进一步解决该问题.

(1)由特殊情况入手，添加条件：“∠B＝∠D”.如图②，请你证明

AB＋AD＝ AC.

(2)受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：过C点分别作AB，

AD的垂线，垂足分别为点E，F，如图③.请你证明AB＋AD＝ AC.

答案

一、1. D　2. C　3. C　4. C

5. B【点拨】∵ ＜ ＜ ，∴2＜ ＜3，∵a＞ ，且a为正整数，∴a的最小值为3，∵ ＜ ＜ ，∴1＜ ＜2，∵b＜ ，且b为正整数，∴b的值为1，∴a＋b的最小值为3＋1＝4.

6. A　7. C

8. A【点拨】两个周长相等的三角形不一定全等，故①是假命题；两个周长相等的直角三角形不一定全等，故②是假命题；两个周长相等的等腰三角形不一定全等，故③是假命题；两个周长相等的等边三角形一定全等，因为三条边对应相等，故④是真命题.故真命题有1个.

9. C

【点拨】如图，过点O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为点F，D，E，

由角平分线的性质得OD＝OE＝OF，

∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，

∴S_△ABO∶S_△BCO∶S_△CAO＝（ AB·OF）∶（ BC·OD）∶（ CA·OE）＝AB∶BC∶CA＝20∶30∶40＝2∶3∶4.

10. D【点拨】∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴BC＝CD＝DE＝CE＝4，∠DCE＝∠CDE＝60°，∴BE＝8，∠BCD＝120°，

∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠BDE＝90°，

∴BD＝ ＝4 .

11. C【点拨】连接AD，则由已知易得AD⊥BC，BD＝5，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝ ＝ ＝12.根据三角形面积公式，可得 AB·DE＝ BD·AD，即13DE＝5×12，解得DE＝ .

12. B【点拨】∵△ABC的周长为26cm，

∴AB＋BC＋AC＝26cm.

∵EF垂直平分AC，AF＝5cm，

∴AC＝2AF＝10cm，EA＝EC，∴AB＋BC＝16cm.

∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC，

∴AB＋BD＝EC＋DE＝ （AB＋BC）＝8cm，

∴DC＝DE＋CE＝8cm.

二、13.4

14.三边对应相等的三角形全等；真命题

15.45°【点拨】如图，连接AC，

根据题意，可知BC²＝1²＋2²＝5，AC²＝1²＋2²＝5，AB²＝1²＋3²＝10.

∴AB²＝AC²＋BC²，AC＝BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°.

16.5【点拨】以AC为边向上作等边三角形AEC，连接DE，如图，

在等边三角形AEC中，

AC＝AE＝EC，∠EAC＝∠AEC＝∠ECA＝60°.

∵BC＝CD＝DB，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠DBC＝∠BDC＝∠DCB＝60°，∴∠ECA＝∠ECD＋∠DCA＝60°＝∠DCB＝∠BCA＋∠DCA，

∴∠ECD＝∠BCA.

∵BC＝CD，EC＝AC，

∴△ABC≌△EDC（SAS），

∴∠BAC＝∠DEC，AB＝DE.

∵∠DAB＝30°，∴∠DAC＋∠BAC＝30°，

∴∠DAC＋∠DEC＝30°.

∵∠EAC＋∠AEC＝60°＋60°＝120°，

∴∠DEA＋∠DAE＝（∠EAC＋∠AEC）－（∠DAC＋∠DEC）＝90°，

∴∠EDA＝90°，

∵AB＝3，∴DE＝AB＝3.

又∵AD＝4，

∴在Rt△EDA中，AE＝ ＝5，

∴AC＝AE＝5.

三、17.【解】（1）a＝ ＝ ＋ ，

b＝ ＝ － ，

∴a＋b＝ ＋ ＋ － ＝2 .

（2）∵ab＝（ ＋ ）×（ － ）＝1，

∴a²－3ab＋b²＝（a＋b）²－5ab＝（2 ）²－5×1＝12－5＝7.

18.【解】原式＝ · ＝ · ＝ .

当x＝ 时，原式＝ ＝2＋ .

19.【证明】∵BD，CE分别是△ABC的高，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°.

在Rt△BEC和Rt△CDB中，

∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）.

20.【证明】（1）∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF.

∵E为CD的中点，∴DE＝CE.

又∵∠AED＝∠FEC，

∴△ADE≌△FCE（ASA）.∴AD＝FC.

（2）由（1）知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.

又∵BE⊥AF，∴AB＝FB.

∵CF＝AD，∴AB＝FB＝BC＋CF＝BC＋AD.

21.【证明】∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE.

∴∠DAE＝∠ADE.

∵AD⊥BD，

∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，

∴∠B＝∠BDE.

∴BE＝DE，即△BDE是等腰三角形.

22.【解】（1）设乙队每天清淤的河道长度是x米，则甲队每天清淤的河道长度是1.5x米，

根据题意，得 － ＝2，解得x＝200，

经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝1.5×200＝300，

答：甲队每天清淤的河道长度是300米，乙队每天清淤的河道长度是200米；

（2）设乙队施工y天，则甲队施工（y＋2）天，

根据题意，得300（y＋2）＋200y＝4100，解得y＝7，

∴3.2（y＋2）＋2.8y＝3.2×（7＋2）＋2.8×7＝48.4，

答：完成该条河道清淤施工的总费用是48.4万元.

23.【证明】（1）∵∠B与∠D互补，且∠B＝∠D，

∴∠B＝∠D＝90°.

∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，

∴CD＝CB，∠CAB＝∠CAD＝30°.

设CD＝CB＝x，则AC＝2x.

由勾股定理，得AD＝ CD＝ x，AB＝ CB＝ x.

∴AD＋AB＝ x＋ x＝2 x＝ AC，

即AB＋AD＝ AC.

（2）由（1）知，AE＋AF＝ AC.

∵AC平分∠DAB，CF⊥AD，CE⊥AB，

∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°.

∵∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE互补，

∴∠D＝∠CBE，∴△CDF≌△CBE.∴DF＝BE，

∴AB＋AD＝AB＋（AF＋FD）＝（AB＋BE）＋AF＝AE＋AF＝ AC.