期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2023·巴中]下列各数为无理数的是(　　)

A．0．618 B． C． D．

2．下列计算正确的是(　　)

A．2a－a＝1 B．a²＋b²＝a²b²

C．(－2a)³＝8a³ D．(－a³)²＝a⁶

3．下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是(　　)

A．4，5，6 B．1．5，2，2．5

C．2，3，4 D．1， ，3

4．[2023·益阳]下列因式分解正确的是(　　)

A．2a²－4a＋2＝2(a－1)² B．a²＋ab＋a＝a(a＋b)

C．4a²－b²＝(4a＋b)(4a－b) D．a³b－ab³＝ab(a－b)²

5．[母题·教材P7习题T5]估计 ＋1的值在(　　)

A．2和3之间 B．3和4之间

C．4和5之间 D．5和6之间

6．[2023·郑州外国语学校期末]下列命题中，正确的是(　　)

A．如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b

B．一个角的补角一定大于这个角

C．直角三角形的两个锐角互余

D．一个角的余角一定小于这个角

7．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若｜b｜＝｜c｜，则下列结论错误的是(　　)

A．a＋c＜0 B．a－b＜0 C．ab＜0 D． ＜0

8．[2024·杭州上城区期末]某商场2024年1～4月份各月的销售总额如图①所示，其中A商品的销售额占当月销售总额的百分比如图②所示．

根据图中信息，以下关于该商场2024年1～4月份销售额的结论中，正确的是(　　)

A．2月份A商品的销售额为80万元

B．1～4月份A商品销售额最低的是2月份

C．A商品2月份的销售额比3月份的销售额高

D．1～4月份A商品的销售额占销售总额的百分比为81．6％

9．在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是(　　)

A．∠A＋∠B＝2∠C B．AB∶AC∶BC＝1∶1∶

C．(AC＋BC)(AC－BC)＝AB² D．∠A－∠B＝90°

10．[2024·石家庄第二外国语学校期中]下列命题的逆命题是真命题的是(　　)

A．如果两个角互补，则这两个角的和为90°

B．如果一个数能被6整除，那么这个数一定能被3整除

C．已知两个数x和y，如果x＞0，y＞0，则x＋y＞0

D．如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b

二、填空题(每题3分，共24分)

11．[2023·安徽] ＋1＝　　　　．

12．某校对1200名女生的身高进行测量，身高在1．58m～1．63m这一组的频率为0．25，则该组的人数为　　　　．

13．已知(a－b)^m＝3，(b－a)ⁿ＝2，则(a－b)^3m－2ⁿ＝　　　　．

14．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是　　　　．

　　 　　 　　

　(第14题)　　　　(第16题)　　　(第17题)　　(第18题)

15．若(a－3)²＋ ＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为　　　　．

16．[2024·西安翱翔中学月考]如图，在Rt△ABC中，BC＝12，AB＝13，AC＝5，P是AB边上一动点，将△PBC沿PC折叠，点B落在B'处，B'C交AB于D，则B'D的最大值为　　　　．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有　　　　个．

18．[2024·南通崇川区期末]如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADB，交AB于点E，EF⊥AC于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝8，则AB的长为　　　　．

三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)

19．[母题·教材P49复习题T8]分解因式：

(1)－3a²＋6ab－3b²； (2)9a²(x－y)＋4b²(y－x)．

20．先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(4xy³－8x²y²)÷4xy，其中x＝1，y＝ ．

21．[新考向·知识情境化]消防云梯的使用可以大幅度提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，一架云梯AB斜靠在墙AO上，已知AO＝24米，云梯的长度比云梯底端到墙的距离长18米．

(1)求云梯AB的长度．

(2)现云梯顶端下方4米C处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点C处，则云梯底端在水平方向上滑动距离BD为多少米？

22．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC上一点，AB＝BE，连结AE，BD是∠ABC的平分线，交AE于点F，交AC于点D，连结DE．

(1)若∠C＝50°，求∠CAE的度数；

(2)求证：ED＝AD．

23．[2024·佛山禅城区七年级期末]文具店售卖A4和B5两种规格的笔记本，A4规格每本利润为1．2元，B5规格每本利润为0．9元，文具店将两种规格的销量分别用折线图表示，同时用表格表示前5个月的总销量与总利润；根据上述信息，解答下列问题：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　笔 记本销量折线图

月份	1月	2月	3月	4月	5月
总销量/本	90	92	98	105	a
总利润/元	106．5	105．6	107．4	111	b

(1)填空：a＝　　　　，b＝　　　　；

(2)从1月到5月，A4规格笔记本的销量呈　　　　趋势，B5规格笔记本的销量呈　　　　趋势(用“上升”或“下降”填空)；

(3)文具店预计9月份这两种规格的笔记本销量需求很大，估计可达400本，相应利润将达390元，根据估计，请你计算文具店9月份两种规格笔记本的销量各是多少．

24．[2024·海口期末]如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在AC边上，AE⊥BD于点E，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．

(1)求证：△CAF≌△ABD；

(2)如图②，过点D作DG∥CB交AB于点G，连结CG交AF于点H，判断△HFC的形状，并说明理由．

答案

一、1．C

2．D　【点拨】A．2a－a＝a，故A错误；B．a²与b²不能合并，故B错误；C．(－2a)³＝－8a³，故C错误； ＝a⁶，故D正确．故选D．

3．B

4．A【点拨】2a²－4a＋2＝2(a²－2a＋1)＝2(a－1)²，故A正确；a²＋ab＋a＝a(a＋b＋1)，故B错误；4a²－b²＝(2a＋b)(2a－b)，故C错误；a³b－ab³＝ab(a²－b²)＝ab(a＋b)(a－b)，故D错误．故选A．

5．C【点拨】∵3＜ ＜4，∴4＜ ＋1＜5，即 ＋1的值在4和5之间．

6．C

7．C【点拨】∵｜b｜＝｜c｜，∴数轴原点是b，c在数轴上对应点的中点．∴a＜0，b＜0，c＞0，且｜a｜＞｜c｜．∴a＋c＜0，故A选项正确，不符合题意；ab＞0，故C选项错误，符合题意； ＜0，故D选项正确，不符合题意．∵a在b的左边，∴a－b＜0，故B选项正确，不符合题意．故选C．

8．C【点拨】∵由两个统计图可知2月份的销售总额是80万元，其中A商品的销售额占15％，∴2月份A商品的销售额为80×15％＝12(万元)，故A不符合题意；∵1月份A商品的销售额为85×23％＝19．55(万元)，2月份A商品销售额为12万元，3月份A商品销售额为60×18％＝10．8(万元)，4月份A商品销售额为65×17％＝11．05(万元)，∴A商品销售额最低的是3月份，故B不符合题意；∵2月份A商品销售额为12万元，3月份A商品销售额为10．8万元，∴A商品2月份的销售额比3月份的销售额高，故C符合题意；1～4月份A商品的销售额占销售总额的百分比为 ×100％≈18．4％，故D不符合题意．故选C．

9．C

10．D【点拨】A．逆命题为“如果两个角的和为90°，那么两个角互补”．根据互余的定义可知，如果两个角的和为90°，那么两个角互余．因此这个逆命题是假命题．

B．逆命题为“如果一个数能被3整除，那么这个数一定能被6整除”．举例：9能被3整除，但不能被6整除，因此这个逆命题是假命题．

C．逆命题为“已知两个数x和y，如果x＋y＞0，那么x＞0，y＞0”．举例：5＋(－3)＞0，但是5＞0，－3＜0，因此这个逆命题是假命题．

D．逆命题为“如果a＝b，那么｜a｜＝｜b｜”．根据绝对值的性质可知该逆命题是真命题．故选D．

二、11．3　12．300

13． 【点拨】(a－b)^3m－2ⁿ＝(a－b)^3m÷(a－b)²ⁿ＝[(a－b)^m]³÷[(a－b)ⁿ]²＝[(a－b)^m]³÷[(b－a)ⁿ]²＝3³÷2²＝ ．

14．13【点拨】∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD．∴AC＝AD＋CD＝AD＋BD．∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AC＝5＋8＝13．

15．11或13【点拨】∵(a－3)²＋ ＝0，(a－3)²≥0， ≥0，∴a－3＝0，b－5＝0．

∴a＝3，b＝5．当3为腰长时，所求等腰三角形的周长＝3＋5＋3＝11；当5为腰长时，所求等腰三角形的周长＝3＋5＋5＝13．

16．

17．6

18． 【点拨】如图，连结CG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD＝ BC＝4，∠B＋∠BAD＝90°．

∵EF⊥AC，∴∠AFG＝90°．∴∠AGF＋∠CAD＝90°．∴∠AGF＝∠B．

∵∠AGF＝∠EGD，∴∠B＝∠EGD．

∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE．

又∵DE＝DE，∴△DEG≌△DEB(A．A．S．)．

∴DG＝BD＝4．

∵AG＝2，∴AD＝AG＋DG＝6．

∴AB＝ ＝ ＝ ．

三、19．【解】(1)原式＝－3(a²－2ab＋b²)＝－3(a－b)²．

(2)原式＝9a²(x－y)－4b²(x－y)

＝(x－y)(9a²－4b²)

＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)．

20．【解】原式＝x²－y²＋y²－2xy＝x²－2xy，

当x＝1，y＝ 时，原式＝1²－2×1× ＝0．

21．【解】(1)设AB＝x米，则OB＝(x－18)米．根据勾股定理可得OA²＋OB²＝AB²，∴24²＋(x－18)²＝x²，解得x＝25．∴云梯AB的长度为25米．

(2)根据题意可得AC＝4米，AB＝CD＝25米，OB＝25－18＝7(米)，∴OC＝OA－AC＝20米．根据勾股定理可得OD＝ ＝ ＝15(米)，∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(米)．

即云梯底端在水平方向上滑动距离BD为8米．

22．(1)【解】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，

∴∠ABC＝40°．

∵AB＝BE，BD是∠ABC的平分线，

∴BD⊥AE，∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABE＝20°．

∴∠AFD＝90°，∠ADB＝180°－90°－20°＝70°．

∴∠CAE＝180°－90°－70°＝20°．

(2)【证明】在△ABD和△EBD中，

∴△ABD≌△EBD(S．A．S．)．

∴ED＝AD．

23．【解】(1)110；112．5【点拨】由题意得a＝65＋45＝110，b＝45×1．2＋65×0．9＝112．5．

(2)下降；上升

(3)设文具店9月份A4规格笔记本的销量为x本，则B5规格笔记本的销量为(400－x)本．由题意得1．2x＋0．9(400－x)＝390，解得x＝100．∴400－x＝300．∴文具店9月份A4规格笔记本的销量为100本，B5规格笔记本的销量为300本．

24．(1)【证明】如图．∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠3＝90°．

∵AE⊥BD，∴∠2＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2．

∵CF∥AB，∴∠ACF＝90°＝∠BAD．

又∵AC＝AB，∴△CAF≌△ABD(A．S．A．)．

(2)【解】△HFC是等腰三角形．理由如下：

∵DG∥CB，∴∠AGD＝∠ABC，∠ADG＝∠ACB．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠AGD＝∠ADG．

∴AG＝AD．

又∵∠CAG＝∠BAD，∴△ACG≌△ABD(S．A．S．)．

由(1)知△CAF≌△ABD，∴△CAF≌△ACG．

∴∠F＝∠AGC．

∵CF∥AB，∴∠AGC＝∠FCH．∴∠F＝∠FCH．

∴HF＝HC，即△HFC是等腰三角形．